Question

El rombo $PQRS$ está inscrito en el rectángulo $ABCD$ de modo que los vértices $P,$ $Q,$ $R,$ y $S$ son puntos interiores de los lados $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ $\overline{CD},$ y $\overline{DA},$ respectivamente. Se sabe que $PB=15,$ $BQ=20,$ $PR=30,$ y $QS=40.$ Sea $\frac{m}{n},$ en su mínima expresión, el perímetro de $ABCD.$ Halla $m+n.$

Rhombus $PQRS$ is inscribed in rectangle $ABCD$ so that vertices $P,$ $Q,$ $R,$ and $S$ are interior points on sides $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ $\overline{CD},$ and $\overline{DA},$ respectively. It is given that $PB=15,$ $BQ=20,$ $PR=30,$ and $QS=40.$ Let $\frac{m}{n},$ in lowest terms, denote the perimeter of $ABCD.$ Find $m+n.$

Respuesta

Respuesta: 677

Conceptos:rombo geometría analítica vector

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

El centro del rombo también es el centro del rectángulo, y las semidiagonales del rombo tienen longitudes $15$ y $20$

The center of the rhombus is also the center of the rectangle, and its half-diagonals have lengths $15$ and $20$

Pista grande:

Usa coordenadas para $P$ y $Q$ ; los vectores desde el centro común hasta esos puntos son perpendiculares

Use coordinates for $P$ and $Q$ ; their vectors from the common center are perpendicular

Solución:

Sea $w$ el ancho del rectángulo y $h$ su altura, con $A=(0,0)$ y $B=(w,0).$ Entonces $P=(w-15,0)$ y $Q=(w,20).$ Las diagonales del rombo se bisecan en el centro del rectángulo $O=(\frac{w}{2},\frac{h}{2}).$ Define $p=\overrightarrow{OP}=(\frac{w}{2}-15,-\frac{h}{2}).$ Como $OP=15,$ $OQ=20,$ y las diagonales del rombo son perpendiculares, mientras que $\overrightarrow{PQ}=(15,20),$ se tiene $\begin{aligned}|p|&=15,\\p\mathbin{\cdot}(15,20)&=-225.\end{aligned}$ Al resolver estas dos ecuaciones, teniendo en cuenta que la segunda coordenada es negativa porque $h>0,$ se obtiene $p=(\frac{21}{5},-\frac{72}{5}).$ Por consiguiente, $\begin{aligned}w&=2\left(15+\frac{21}{5}\right)=\frac{192}{5},\\h&=\frac{144}{5}.\end{aligned}$ El perímetro es $2(w+h)=\frac{672}{5},$ así que $m+n=672+5=677.$

Let the rectangle have width $w$ and height $h,$ with $A=(0,0)$ and $B=(w,0).$ Then $P=(w-15,0)$ and $Q=(w,20).$ The diagonals of the rhombus bisect each other at the rectangle’s center $O=(\frac{w}{2},\frac{h}{2}).$ Put $p=\overrightarrow{OP}=(\frac{w}{2}-15,-\frac{h}{2}).$ Since $OP=15,$ $OQ=20,$ and the rhombus diagonals are perpendicular, while $\overrightarrow{PQ}=(15,20),$ we have $\begin{aligned}|p|&=15,\\p\mathbin{\cdot}(15,20)&=-225.\end{aligned}$ Solving these two equations, with the second coordinate negative because $h>0,$ gives $p=(\frac{21}{5},-\frac{72}{5}).$ Hence $\begin{aligned}w&=2\left(15+\frac{21}{5}\right)=\frac{192}{5},\\h&=\frac{144}{5}.\end{aligned}$ The perimeter is $2(w+h)=\frac{672}{5},$ so $m+n=672+5=677.$

1991 AIME Problema 12

Respuesta: 677

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años