Respuesta: 61

Pista pequeña:

Si $S$ tuviera seis elementos, compara la varianza de sus $64$ sumas de subconjuntos con la de $64$ enteros consecutivos

Pista grande:

Después de acotar el tamaño de $S,$ examina los subconjuntos de cinco elementos cuyas sumas superan el valor candidato

Solución:

Primero, $S$ tiene a lo sumo cinco elementos. Si tuviera seis elementos $s_1,\ldots,s_6,$ sus $64$ sumas de subconjuntos serían todas distintas: una igualdad entre dos sumas, después de cancelar los elementos comunes, violaría la condición dada.

Elige uniformemente al azar un subconjunto y sea $X$ su suma. Entonces $$\begin{gathered} \operatorname{Var}(X) =\frac14\sum_{i=1}^6s_i^2\\ {}\leq\frac14(10^2+11^2+\cdots+15^2)\\ {}=\frac{955}{4}. \end{gathered}$$ Por otra parte, $X$ es uniforme sobre $64$ enteros distintos. La menor varianza posible para $64$ enteros distintos ocurre cuando son consecutivos, y es $$\frac{64^2-1}{12}=\frac{1365}{4},$$ una contradicción.

Un conjunto con a lo sumo cuatro elementos tiene suma máxima $12+13+14+15=54.$ Solo hay siete subconjuntos de cinco elementos de $\{1,\ldots,15\}$ cuyas sumas son al menos $62.$ Todos fallan, como muestran las siguientes sumas iguales:

$\{8,12,13,14,15\}:$ $13+14=12+15.$ $\{9,11,13,14,15\}:$ $11+13=9+15.$ $\{9,12,13,14,15\}:$ $13+14=12+15.$

$\{10,11,12,14,15\}:$ $11+14=10+15.$ $\{10,11,13,14,15\}:$ $11+13=10+14.$

$\{10,12,13,14,15\}:$ $12+13=10+15.$ $\{11,12,13,14,15\}:$ $12+13=11+14.$

Por tanto, la respuesta es a lo sumo $61.$

El conjunto $\{8,11,13,14,15\}$ alcanza $61.$ Sus $32$ sumas de subconjuntos, en orden, son $$\begin{gathered} 0,8,11,13,14,15,19,21,\\ 22,23,24,25,26,27,28,29,\\ 32,33,34,35,36,37,38,39,\\ 40,42,46,47,48,50,53,61, \end{gathered}$$ todas distintas. Si dos subconjuntos cualesquiera tuvieran la misma suma, al eliminar su intersección se obtendrían dos subconjuntos disjuntos con la misma suma; por tanto, esto verifica la propiedad requerida.