Question

Los vértices de $\triangle ABC$ son $A=(0,0),$ $B=(0,420),$ y $C=(560,0).$ Las seis caras de un dado están marcadas con dos $A$ , dos $B$ y dos $C$ . Se elige el punto $P_1=(k,m)$ en el interior de $\triangle ABC,$ y se generan los puntos $P_2,$ $P_3,$ $P_4,$ $\ldots$ lanzando repetidamente el dado y aplicando la regla siguiente: si el dado muestra la marca $L,$ donde $L\in\{A,B,C\},$ y $P_n$ es el punto obtenido más recientemente, entonces $P_{n+1}$ es el punto medio de $\overline{P_nL}.$ Dado que $P_7=(14,92),$ ¿cuál es $k+m$ ?

The vertices of $\triangle ABC$ are $A=(0,0),$ $B=(0,420),$ and $C=(560,0).$ The six faces of a die are labeled with two $A$ ’s, two $B$ ’s, and two $C$ ’s. Point $P_1=(k,m)$ is chosen in the interior of $\triangle ABC,$ and points $P_2,$ $P_3,$ $P_4,$ $\ldots$ are generated by rolling the die repeatedly and applying the rule: If the die shows label $L,$ where $L\in\{A,B,C\},$ and $P_n$ is the most recently obtained point, then $P_{n+1}$ is the midpoint of $\overline{P_nL}.$ Given that $P_7=(14,92),$ what is $k+m?$

Respuesta

Respuesta: 344

Conceptos:geometría analítica potencia de 2 recursión

Nivel de dificultad: 2600

Pista pequeña:

Invierte las seis operaciones de punto medio tomando la ecuación de $P_7$ y multiplicándola por $64$

Reverse the six midpoint operations by multiplying the equation for $P_7$ by $64$

Pista grande:

Los seis vértices obtenidos reciben los pesos distintos $1,$ $2,$ $4,$ $8,$ $16,$ y $32$ ; usa primero la coordenada $x$

The six rolled vertices receive the distinct weights $1,$ $2,$ $4,$ $8,$ $16,$ and $32$ ; use the $x$ -coordinate first

Solución:

Sean $X$ y $Y$ las sumas de los pesos $1,$ $2,$ $4,$ $8,$ $16,$ y $32$ asignados a los lanzamientos que dan $C$ y $B,$ respectivamente. Al iterar la regla del punto medio se obtiene $\begin{aligned}64P_7&=P_1+X(560,0)\\&\quad+Y(0,420).\end{aligned}$ Por consiguiente, $k=896-560X.$ Como $P_1$ es interior, $0<k<560,$ lo que obliga a que $X=1$ y $k=336.$ La condición de estar dentro del triángulo da entonces $0<m<168.$ Como $m=5888-420Y,$ el único entero posible $Y$ es $14,$ lo que da $m=8.$ Por lo tanto, $k+m=344.$

Let $X$ and $Y$ be the sums of the weights $1,$ $2,$ $4,$ $8,$ $16,$ and $32$ assigned to rolls of $C$ and $B,$ respectively. Iterating the midpoint rule gives $\begin{aligned}64P_7&=P_1+X(560,0)\\&\quad+Y(0,420).\end{aligned}$ Hence $k=896-560X.$ Because $P_1$ is interior, $0<k<560,$ forcing $X=1$ and $k=336.$ The triangle inequality for its coordinates then gives $0<m<168.$ Since $m=5888-420Y,$ the only possible integer $Y$ is $14,$ giving $m=8.$ Therefore $k+m=344.$

1993 AIME Problema 12

Respuesta: 344

Nivel de dificultad: 2600

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años