Question

Sea $ABCD$ un tetraedro con $AB=41,$ $AC=7,$ $AD=18,$ $BC=36,$ $BD=27,$ y $CD=13,$ como se muestra en la figura. Sea $d$ la distancia entre los puntos medios de las aristas $AB$ y $CD.$ Halla $d^2.$

Let $ABCD$ be a tetrahedron with $AB=41,$ $AC=7,$ $AD=18,$ $BC=36,$ $BD=27,$ and $CD=13,$ as shown in the figure. Let $d$ be the distance between the midpoints of edges $AB$ and $CD.$ Find $d^2.$

Respuesta

Respuesta: 137

Conceptos:Geometría 3D punto medio vector

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Representa los vértices con vectores y escribe el vector entre los dos puntos medios

Represent the vertices by vectors and write the vector between the two midpoints

Pista grande:

Desarrolla $\lVert A+B-C-D\rVert^2$ en función de las seis longitudes de las aristas

Expand $\lVert A+B-C-D\rVert^2$ in terms of the six edge lengths

Solución:

Hagamos que los nombres de los vértices también denoten sus vectores de posición. El vector entre los puntos medios es $\frac{A+B-C-D}{2}.$ Al desarrollar los cuadrados de las longitudes se obtiene $\begin{aligned}4d^2={}&AC^2+AD^2\\&+BC^2+BD^2\\&-AB^2-CD^2.\end{aligned}$ Por lo tanto, $\begin{aligned}4d^2={}&7^2+18^2+36^2+27^2\\&-41^2-13^2=548,\end{aligned}$ de modo que $d^2=137.$

Let the vertex names also denote their position vectors. The vector between the midpoints is $\frac{A+B-C-D}{2}.$ Expanding squared lengths gives $\begin{aligned}4d^2={}&AC^2+AD^2\\&+BC^2+BD^2\\&-AB^2-CD^2.\end{aligned}$ Therefore $\begin{aligned}4d^2={}&7^2+18^2+36^2+27^2\\&-41^2-13^2=548,\end{aligned}$ so $d^2=137.$

1989 AIME Problema 12

Respuesta: 137

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años