Soluciones del 1989 AIME | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Calcula $\sqrt{(31)(30)(29)(28)+1}.$

Compute $\sqrt{(31)(30)(29)(28)+1}.$

Respuesta

Conceptos:diferencia de cuadrados factorización radical

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Agrupa los factores exteriores y los factores interiores

Pair the outer factors and the inner factors

Pista grande:

Los dos productos agrupados son enteros pares consecutivos

The two paired products are consecutive even integers

Solución:

Tenemos $31\cdot28=868$ y $30\cdot29=870.$ Estos productos son uno menos y uno más que $869,$ así que su producto es $869^2-1.$ Al sumar el $1$ final, el radicando es $869^2.$ Su raíz cuadrada positiva es $869.$

We have $31\cdot28=868$ and $30\cdot29=870.$ These products lie one below and one above $869,$ so their product is $869^2-1.$ After the final $1$ is added, the radicand is $869^2.$ Its positive square root is $869.$

2.

Hay diez puntos marcados en una circunferencia. ¿Cuántos polígonos convexos distintos de tres o más lados pueden dibujarse usando algunos (o todos) de los diez puntos como vértices?

Ten points are marked on a circle. How many distinct convex polygons of three or more sides can be drawn using some (or all) of the ten points as vertices?

Respuesta

Conceptos:combinaciones conteo complementario subconjuntos

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Cada selección de al menos tres puntos marcados determina un polígono convexo

Each choice of at least three marked points determines one convex polygon

Pista grande:

Cuenta todos los subconjuntos y elimina los de tamaños $0,$ $1,$ y $2$

Count all subsets and remove those of sizes $0,$ $1,$ and $2$

Solución:

Cada subconjunto de al menos tres puntos determina exactamente un polígono convexo. Hay $2^{10}=1024$ subconjuntos en total. De ellos, $\binom{10}{0}=1,$ $\binom{10}{1}=10,$ y $\binom{10}{2}=45$ tienen menos de tres puntos. Por lo tanto, el número pedido es $1024-1-10-45=968.$

Every subset of at least three points determines exactly one convex polygon. There are $2^{10}=1024$ subsets in all. Of these, $\binom{10}{0}=1,$ $\binom{10}{1}=10,$ and $\binom{10}{2}=45$ have fewer than three points. Therefore the required number is $1024-1-10-45=968.$

3.

Supón que $n$ es un entero positivo y que $d$ es un solo dígito en base $10.$ Halla $n$ si $\frac{n}{810}=0.d25d25d25\ldots.$

Suppose $n$ is a positive integer and $d$ is a single digit in base $10.$ Find $n$ if $\frac{n}{810}=0.d25d25d25\ldots.$

Respuesta

Conceptos:dígitos divisibilidad decimal periódico

Nivel de dificultad: 1970

Pista pequeña:

Convierte el bloque periódico de tres dígitos en una fracción con denominador $999$

Convert the repeating three-digit block into a fraction with denominator $999$

Pista grande:

Usa que $n$ es entero para determinar qué dígito hace que $4d+1$ sea divisible por $37$

Use the integrality of $n$ to determine which digit makes $4d+1$ divisible by $37$

Solución:

El decimal periódico es $\frac{100d+25}{999}.$ Por lo tanto, $\begin{aligned}n&=\frac{810(100d+25)}{999}\\&=\frac{750(4d+1)}{37}.\end{aligned}$ Como $0\leq d\leq9,$ la única manera de que $4d+1$ sea divisible por $37$ es que $4d+1=37,$ de modo que $d=9$ y $n=750.$

The repeating decimal is $\frac{100d+25}{999}.$ Thus $\begin{aligned}n&=\frac{810(100d+25)}{999}\\&=\frac{750(4d+1)}{37}.\end{aligned}$ Since $0\leq d\leq9,$ the only way $4d+1$ can be divisible by $37$ is $4d+1=37,$ so $d=9$ and $n=750.$

4.

Si $a<b<c<d<e$ son enteros positivos consecutivos tales que $b+c+d$ es un cuadrado perfecto y $a+b+c+d+e$ es un cubo perfecto, ¿cuál es el menor valor posible de $c$ ?

If $a<b<c<d<e$ are consecutive positive integers such that $b+c+d$ is a perfect square and $a+b+c+d+e$ is a perfect cube, what is the smallest possible value of $c?$

Respuesta

Conceptos:potencia perfecta cuadrado perfecto factorización en primos

Nivel de dificultad: 2190

Pista pequeña:

Expresa ambas sumas en función del entero central $c$

Express both sums in terms of the middle integer $c$

Pista grande:

Compara los exponentes primos de $3c$ y $5c$ módulo $2$ y módulo $3$

Compare the prime exponents in $3c$ and $5c$ modulo $2$ and modulo $3$

Solución:

Las dos sumas son $3c$ y $5c.$ Si $c=\prod p^{v_p},$ que $3c$ sea un cuadrado y $5c$ sea un cubo impone condiciones sobre cada exponente. Para $p=3,$ el menor exponente de $c$ que es impar y divisible por $3$ es $3.$ Para $p=5,$ el menor exponente que es par y congruente con $2\pmod3$ es $2.$ Todos los demás exponentes primos pueden ser $0.$ Por lo tanto, el menor valor posible es $c=3^3\cdot5^2=675.$

The two sums are $3c$ and $5c.$ If $c=\prod p^{v_p},$ then $3c$ being a square and $5c$ being a cube impose conditions on every exponent. For $p=3,$ the smallest exponent in $c$ that is odd and divisible by $3$ is $3.$ For $p=5,$ the smallest exponent that is even and congruent to $2\pmod3$ is $2.$ Every other prime exponent can be $0.$ Thus the least possible value is $c=3^3\cdot5^2=675.$

5.

Al lanzar cinco veces cierta moneda sesgada, la probabilidad de obtener cara exactamente una vez no es $0$ y es igual a la de obtener cara exactamente dos veces. Sea $\frac{i}{j},$ en su mínima expresión, la probabilidad de que la moneda dé cara en exactamente $3$ de los $5$ lanzamientos. Halla $i+j.$

When a certain biased coin is flipped five times, the probability of getting heads exactly once is not equal to $0$ and is the same as that of getting heads exactly twice. Let $\frac{i}{j},$ in lowest terms, be the probability that the coin comes up heads in exactly $3$ out of $5$ flips. Find $i+j.$

Respuesta

Conceptos:probabilidad binomial fracción ecuación lineal

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Sea $p$ la probabilidad de obtener cara e iguala las dos probabilidades binomiales

Let $p$ be the probability of heads and equate the two binomial probabilities

Pista grande:

Cancela los factores comunes no nulos antes de despejar $p$

Cancel the nonzero common factors before solving for $p$

Solución:

Sea $p$ la probabilidad de obtener cara. La condición da $5p(1-p)^4=10p^2(1-p)^3.$ La condición de que la probabilidad no sea cero permite cancelar factores, lo que da $1-p=2p,$ y por tanto $p=\frac{1}{3}.$ La probabilidad de obtener exactamente tres caras es $\binom53\left(\frac13\right)^3\left(\frac23\right)^2=\frac{40}{243}.$ Por lo tanto, $i+j=40+243=283.$

Let $p$ be the probability of heads. The condition gives $5p(1-p)^4=10p^2(1-p)^3.$ The stated nonzero condition permits cancellation, yielding $1-p=2p,$ so $p=\frac{1}{3}.$ The probability of exactly three heads is $\binom53\left(\frac13\right)^3\left(\frac23\right)^2=\frac{40}{243}.$ Therefore $i+j=40+243=283.$

6.

Dos patinadores, Allie y Billie, están en los puntos $A$ y $B,$ respectivamente, sobre un lago llano y congelado. La distancia entre $A$ y $B$ es de $100$ metros. Allie parte de $A$ y patina a $8$ metros por segundo en una línea recta que forma un ángulo de $60^\circ$ con $AB.$ Al mismo tiempo que Allie parte de $A,$ Billie parte de $B$ a $7$ metros por segundo y sigue la trayectoria recta que, dadas sus velocidades, permite que ambos se encuentren lo antes posible. ¿Cuántos metros patina Allie antes de encontrarse con Billie?

Two skaters, Allie and Billie, are at points $A$ and $B,$ respectively, on a flat, frozen lake. The distance between $A$ and $B$ is $100$ meters. Allie leaves $A$ and skates at a speed of $8$ meters per second on a straight line that makes a $60^\circ$ angle with $AB.$ At the same time Allie leaves $A,$ Billie leaves $B$ at a speed of $7$ meters per second and follows the straight path that produces the earliest possible meeting of the two skaters, given their speeds. How many meters does Allie skate before meeting Billie?

Respuesta

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo ley de los cosenos cuadrática

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Después de $t$ segundos, Allie está a $8t$ metros de $A$ y Billie puede estar a $7t$ metros de $B$

After $t$ seconds, Allie is $8t$ meters from $A$ and Billie can be $7t$ meters from $B$

Pista grande:

Aplica la ley de los cosenos al triángulo y elige el menor tiempo positivo

Apply the Law of Cosines to the triangle and select the smaller positive time

Solución:

Supón que los patinadores se encuentran después de $t$ segundos. Sus distancias desde $A$ y $B$ son $8t$ y $7t,$ y el ángulo comprendido en $A$ es $60^\circ.$ La ley de los cosenos da $\begin{aligned}(7t)^2&=(8t)^2+100^2\\&\quad-2(8t)(100)\cos60^\circ.\end{aligned}$ De aquí, $3t^2-160t+2000=0,$ cuyas raíces son $20$ y $\frac{100}{3}.$ El encuentro más temprano ocurre cuando $t=20,$ así que Allie patina $8(20)=160$ metros.

Suppose the skaters meet after $t$ seconds. Their distances from $A$ and $B$ are $8t$ and $7t,$ and the included angle at $A$ is $60^\circ.$ The Law of Cosines gives $\begin{aligned}(7t)^2&=(8t)^2+100^2\\&\quad-2(8t)(100)\cos60^\circ.\end{aligned}$ Hence $3t^2-160t+2000=0,$ whose roots are $20$ and $\frac{100}{3}.$ The earliest meeting occurs at $t=20,$ so Allie skates $8(20)=160$ meters.

7.

Si se suma el entero $k$ a cada uno de los números $36,$ $300,$ y $596,$ se obtienen los cuadrados de tres términos consecutivos de una progresión aritmética. Halla $k.$

If the integer $k$ is added to each of the numbers $36,$ $300,$ and $596,$ one obtains the squares of three consecutive terms of an arithmetic series. Find $k.$

Respuesta

Conceptos:sucesión aritmética diferencia de cuadrados sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2250

Pista pequeña:

Escribe los tres términos de la progresión aritmética como $x,$ $x+r,$ y $x+2r$

Write the three arithmetic-sequence terms as $x,$ $x+r,$ and $x+2r$

Pista grande:

Resta ecuaciones de cuadrados adyacentes y después resta entre sí las dos ecuaciones resultantes

Subtract adjacent square equations, then subtract those two resulting equations

Solución:

Sean los tres términos $x,$ $x+r,$ y $x+2r.$ Al restar las ecuaciones de los cuadrados se obtiene $r(2x+r)=300-36=264$ y $r(2x+3r)=596-300=296.$ Su diferencia es $2r^2=32,$ así que $r=\pm4.$ Cambiar de signo los tres términos no altera sus cuadrados, por lo que podemos tomar $r=4.$ Luego, $4(2x+4)=264,$ de donde $x=31.$ Por lo tanto, $k=x^2-36=961-36=925.$

Let the three terms be $x,$ $x+r,$ and $x+2r.$ Subtracting the square equations gives $r(2x+r)=300-36=264$ and $r(2x+3r)=596-300=296.$ Their difference is $2r^2=32,$ so $r=\pm4.$ Negating all three terms does not change their squares, so take $r=4.$ Then $4(2x+4)=264,$ giving $x=31.$ Therefore $k=x^2-36=961-36=925.$

8.

Supón que $x_1,$ $x_2,$ $\ldots,$ $x_7$ son números reales tales que

$\begin{aligned}x_1+4x_2+9x_3&\\+16x_4+25x_5&\\+36x_6+49x_7&=1,\\4x_1+9x_2+16x_3&\\+25x_4+36x_5&\\+49x_6+64x_7&=12,\\9x_1+16x_2+25x_3&\\+36x_4+49x_5&\\+64x_6+81x_7&=123.\end{aligned}$

Halla el valor de

$\begin{aligned}16x_1+25x_2+36x_3&\\+49x_4+64x_5&\\+81x_6+100x_7.&\end{aligned}$

Assume that $x_1,$ $x_2,$ $\ldots,$ $x_7$ are real numbers such that

$\begin{aligned}x_1+4x_2+9x_3&\\+16x_4+25x_5&\\+36x_6+49x_7&=1,\\4x_1+9x_2+16x_3&\\+25x_4+36x_5&\\+49x_6+64x_7&=12,\\9x_1+16x_2+25x_3&\\+36x_4+49x_5&\\+64x_6+81x_7&=123.\end{aligned}$

Find the value of

$\begin{aligned}16x_1+25x_2+36x_3&\\+49x_4+64x_5&\\+81x_6+100x_7.&\end{aligned}$

Respuesta

Conceptos:reconocimiento de patrones polinomio sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Sea $S(t)=\sum_{i=1}^7(i+t)^2x_i$

Let $S(t)=\sum_{i=1}^7(i+t)^2x_i$

Pista grande:

Como $S(t)$ es cuadrática en $t,$ sus segundas diferencias finitas son constantes

Because $S(t)$ is quadratic in $t,$ its second finite differences are constant

Solución:

Define $S(t)=\sum_{i=1}^7(i+t)^2x_i.$ Este es un polinomio cuadrático en $t,$ y las ecuaciones dicen que $S(0)=1,$ $S(1)=12,$ y $S(2)=123.$ Sus dos primeras diferencias son $11$ y $111,$ así que la segunda diferencia constante es $100.$ Por lo tanto, la siguiente primera diferencia es $211,$ lo que da $S(3)=123+211=334.$

Define $S(t)=\sum_{i=1}^7(i+t)^2x_i.$ This is a quadratic polynomial in $t,$ and the equations say $S(0)=1,$ $S(1)=12,$ and $S(2)=123.$ Its first two differences are $11$ and $111,$ so the constant second difference is $100.$ The next first difference is therefore $211,$ giving $S(3)=123+211=334.$

9.

Una de las conjeturas de Euler fue refutada en la década de $1960$ por tres matemáticos estadounidenses cuando demostraron que existía un entero positivo $n$ tal que $133^5+110^5+84^5+27^5=n^5.$ Halla el valor de $n.$

One of Euler’s conjectures was disproved in the $1960$ s by three American mathematicians when they showed there was a positive integer $n$ such that $133^5+110^5+84^5+27^5=n^5.$ Find the value of $n.$

Respuesta

Conceptos:estimación exponente operaciones con números enteros

Nivel de dificultad: 2090

Pista pequeña:

Estima la raíz quinta para reducir los posibles valores enteros de $n$

Estimate the fifth root to narrow the possible integer values of $n$

Pista grande:

Calcula las quintas potencias mediante cuadrados y multiplicaciones sucesivas, y compara su suma con el candidato cercano

Evaluate the fifth powers by repeated squaring and multiplication, then compare their sum with the nearby candidate

Solución:

La aritmética directa con enteros da $\begin{aligned}133^5&=41{,}615{,}795{,}893,\\110^5&=16{,}105{,}100{,}000,\\84^5&=4{,}182{,}119{,}424,\\27^5&=14{,}348{,}907.\end{aligned}$ Su suma es $61{,}917{,}364{,}224.$ Las multiplicaciones sucesivas también dan $144^5=61{,}917{,}364{,}224,$ así que el entero positivo $n$ es $144.$

Direct integer arithmetic gives $\begin{aligned}133^5&=41{,}615{,}795{,}893,\\110^5&=16{,}105{,}100{,}000,\\84^5&=4{,}182{,}119{,}424,\\27^5&=14{,}348{,}907.\end{aligned}$ Their sum is $61{,}917{,}364{,}224.$ Repeated multiplication also gives $144^5=61{,}917{,}364{,}224,$ so the positive integer $n$ is $144.$

10.

Sean $a,$ $b,$ $c$ los tres lados de un triángulo, y sean $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma$ los ángulos opuestos a ellos. Si $a^2+b^2=1989c^2,$ halla $\frac{\cot\gamma}{\cot\alpha+\cot\beta}.$

Let $a,$ $b,$ $c$ be the three sides of a triangle, and let $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma$ be the angles opposite them. If $a^2+b^2=1989c^2,$ find $\frac{\cot\gamma}{\cot\alpha+\cot\beta}.$

Respuesta

Conceptos:ley de los cosenos ley de los senos identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 2530

Pista pequeña:

Simplifica $\cot\alpha+\cot\beta$ usando $\alpha+\beta=\pi-\gamma$

Simplify $\cot\alpha+\cot\beta$ using $\alpha+\beta=\pi-\gamma$

Pista grande:

Usa la ley de los senos para los factores de seno resultantes y la ley de los cosenos para $\cos\gamma$

Use the Law of Sines for the resulting sine factors and the Law of Cosines for $\cos\gamma$

Solución:

Primero, $\begin{aligned}\cot\alpha+\cot\beta&=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta}\\&=\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha\sin\beta}.\end{aligned}$ Por consiguiente, la razón pedida es $\frac{\cos\gamma\sin\alpha\sin\beta}{\sin^2\gamma}=\frac{ab\cos\gamma}{c^2},$ donde se usó la ley de los senos en la última igualdad. Por la ley de los cosenos, $\begin{aligned}2ab\cos\gamma&=a^2+b^2-c^2\\&=1988c^2.\end{aligned}$ Por lo tanto, la razón es $\frac{1988}{2}=994.$

First, $\begin{aligned}\cot\alpha+\cot\beta&=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta}\\&=\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha\sin\beta}.\end{aligned}$ Hence the desired ratio is $\frac{\cos\gamma\sin\alpha\sin\beta}{\sin^2\gamma}=\frac{ab\cos\gamma}{c^2},$ where the Law of Sines was used in the final equality. By the Law of Cosines, $\begin{aligned}2ab\cos\gamma&=a^2+b^2-c^2\\&=1988c^2.\end{aligned}$ Therefore the ratio is $\frac{1988}{2}=994.$

11.

Se da una muestra de $121$ enteros, cada uno entre $1$ y $1000$ , inclusive, con repeticiones permitidas. La muestra tiene una moda única (el valor más frecuente). Sea $D$ la diferencia entre la moda y la media aritmética de la muestra. ¿Cuál es el mayor valor posible de $\lfloor D\rfloor$ ? (Para un número real $x,$ $\lfloor x\rfloor$ es el mayor entero menor o igual que $x.$ )

A sample of $121$ integers is given, each between $1$ and $1000$ inclusive, with repetitions allowed. The sample has a unique mode (most frequent value). Let $D$ be the difference between the mode and the arithmetic mean of the sample. What is the largest possible value of $\lfloor D\rfloor?$ (For real $x,$ $\lfloor x\rfloor$ is the greatest integer less than or equal to $x.$ )

Respuesta

Conceptos:media moda optimización

Nivel de dificultad: 3270

Pista pequeña:

Por simetría, coloca la moda en el extremo inferior y haz que las demás entradas sean tan grandes como permita la restricción de frecuencia

By symmetry, place the mode at the low endpoint and push every other entry as high as the frequency restriction allows

Pista grande:

Si la moda aparece $f$ veces, cada otro valor puede aparecer como máximo $f-1$ veces; optimiza por separado para cada $f$

If the mode occurs $f$ times, every other value may occur at most $f-1$ times; optimize separately over $f$

Solución:

Al transformar cada valor $x$ en $1001-x,$ basta maximizar la media menos la moda. Para una frecuencia modal fija $f,$ la muestra extrema tiene $f$ copias de $1,$ y luego se completa con los mayores enteros disponibles, con a lo sumo $f-1$ copias de cada uno.

Escribe $121-f=q(f-1)+r,$ donde $0\leq r<f-1.$ Las entradas distintas de la moda son $f-1$ copias de cada uno de $1000,$ $999,$ $\ldots,$ $1001-q,$ seguidas de $r$ copias de $1000-q.$ Para $f=2,$ $f=3,$ $f=4,$ $f=5,$ y $f=6,$ esta fórmula da, respectivamente, las partes enteras $924,$ $945,$ $947,$ $944,$ y $939.$ Si $f\geq7,$ hay como máximo $114$ términos distintos de la moda, por lo que basta incluso la cota más débil $D\leq\frac{114(999)}{121}<942$ . Así, el máximo ocurre cuando $f=4.$

La muestra extrema contiene cuatro copias de $1$ y tres copias de cada entero desde $962$ hasta $1000.$ Sea $T=962+963+\cdots+1000.$ Como $T=38259,$ $\begin{aligned}D&=\frac{3T+4}{121}-1\\&=\frac{114660}{121}\\&=947+\frac{73}{121}.\end{aligned}$ Por lo tanto, la mayor parte entera posible es $947.$

By reflecting every value $x$ to $1001-x,$ it suffices to maximize the mean minus the mode. For a fixed modal frequency $f,$ the extremal sample has $f$ copies of $1,$ then fills the largest available integers with at most $f-1$ copies each.

Put $121-f=q(f-1)+r,$ where $0\leq r<f-1.$ The nonmodal entries are $f-1$ copies of each of $1000,$ $999,$ $\ldots,$ $1001-q,$ followed by $r$ copies of $1000-q.$ For $f=2,$ $f=3,$ $f=4,$ $f=5,$ and $f=6,$ this formula gives floors $924,$ $945,$ $947,$ $944,$ and $939,$ respectively. If $f\geq7,$ there are at most $114$ nonmodal terms, so even the weaker bound $D\leq\frac{114(999)}{121}<942$ suffices. Thus the maximum occurs at $f=4.$

The extremal sample contains four $1$ ’s and three copies of every integer from $962$ through $1000.$ Put $T=962+963+\cdots+1000.$ Since $T=38259,$ $\begin{aligned}D&=\frac{3T+4}{121}-1\\&=\frac{114660}{121}\\&=947+\frac{73}{121}.\end{aligned}$ Therefore the largest possible floor is $947.$

12.

Sea $ABCD$ un tetraedro con $AB=41,$ $AC=7,$ $AD=18,$ $BC=36,$ $BD=27,$ y $CD=13,$ como se muestra en la figura. Sea $d$ la distancia entre los puntos medios de las aristas $AB$ y $CD.$ Halla $d^2.$

Let $ABCD$ be a tetrahedron with $AB=41,$ $AC=7,$ $AD=18,$ $BC=36,$ $BD=27,$ and $CD=13,$ as shown in the figure. Let $d$ be the distance between the midpoints of edges $AB$ and $CD.$ Find $d^2.$

Respuesta

Conceptos:Geometría 3D punto medio vector

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Representa los vértices con vectores y escribe el vector entre los dos puntos medios

Represent the vertices by vectors and write the vector between the two midpoints

Pista grande:

Desarrolla $\lVert A+B-C-D\rVert^2$ en función de las seis longitudes de las aristas

Expand $\lVert A+B-C-D\rVert^2$ in terms of the six edge lengths

Solución:

Hagamos que los nombres de los vértices también denoten sus vectores de posición. El vector entre los puntos medios es $\frac{A+B-C-D}{2}.$ Al desarrollar los cuadrados de las longitudes se obtiene $\begin{aligned}4d^2={}&AC^2+AD^2\\&+BC^2+BD^2\\&-AB^2-CD^2.\end{aligned}$ Por lo tanto, $\begin{aligned}4d^2={}&7^2+18^2+36^2+27^2\\&-41^2-13^2=548,\end{aligned}$ de modo que $d^2=137.$

Let the vertex names also denote their position vectors. The vector between the midpoints is $\frac{A+B-C-D}{2}.$ Expanding squared lengths gives $\begin{aligned}4d^2={}&AC^2+AD^2\\&+BC^2+BD^2\\&-AB^2-CD^2.\end{aligned}$ Therefore $\begin{aligned}4d^2={}&7^2+18^2+36^2+27^2\\&-41^2-13^2=548,\end{aligned}$ so $d^2=137.$

13.

Sea $S$ un subconjunto de $\{1,2,3,\ldots,1989\}$ tal que ningún par de elementos de $S$ difiera en $4$ ni en $7.$ ¿Cuál es el mayor número de elementos que puede tener $S$ ?

Let $S$ be a subset of $\{1,2,3,\ldots,1989\}$ such that no two members of $S$ differ by $4$ or $7.$ What is the largest number of elements $S$ can have?

Respuesta

Conceptos:argumento extremal teoría de grafos subconjuntos

Nivel de dificultad: 2930

Pista pequeña:

Entre cualesquiera once enteros consecutivos, el grafo de diferencias prohibidas es un ciclo de $11$ vértices

Within any eleven consecutive integers, the forbidden-difference graph is an $11$ -cycle

Pista grande:

Para una construcción que alcance la cota, busca cinco clases de residuos permitidas módulo $11$

For a matching construction, look for five allowable residue classes modulo $11$

Solución:

Entre cualesquiera once enteros consecutivos, une dos números cuando su diferencia sea $4$ o $7.$ Como $7=11-4,$ este grafo es un ciclo de $11$ vértices, cuyo mayor conjunto independiente tiene tamaño $5.$ Del mismo modo, cualesquiera diez enteros consecutivos inducen un camino de diez vértices y aportan como máximo $5.$ Como $1989=179\cdot11+2\cdot10,$ se obtiene $|S|\leq179(5)+2(5)=905.$

Esta cota se alcanza tomando todos los enteros cuyo residuo módulo $11$ es $1,$ $3,$ $4,$ $6,$ o $9.$ Ningún par de residuos seleccionados difiere en $4$ ni en $7$ módulo $11,$ y cada uno de estos cinco residuos aparece $181$ veces desde $1$ hasta $1989.$ Por tanto, el máximo es $5(181)=905.$

On any eleven consecutive integers, join two numbers when their difference is $4$ or $7.$ Because $7=11-4,$ this graph is an $11$ -cycle, whose largest independent set has size $5.$ Similarly, any ten consecutive integers induce a path on ten vertices and contribute at most $5.$ Since $1989=179\cdot11+2\cdot10,$ this gives $|S|\leq179(5)+2(5)=905.$

This bound is attained by taking every integer whose residue modulo $11$ is $1,$ $3,$ $4,$ $6,$ or $9.$ No two selected residues differ by $4$ or $7$ modulo $11,$ and each of these five residues occurs $181$ times from $1$ through $1989.$ Thus the maximum is $5(181)=905.$

14.

Dado un entero positivo $n,$ se puede demostrar que todo número complejo de la forma $r+si,$ donde $r$ y $s$ son enteros, puede expresarse de manera única en base $-n+i$ usando los enteros $0,$ $1,$ $\ldots,$ $n^2$ como dígitos. Es decir, la ecuación

$\begin{aligned}r+si={}&a_m(-n+i)^m\\&+a_{m-1}(-n+i)^{m-1}\\&+\cdots+a_1(-n+i)\\&+a_0\end{aligned}$

es verdadera para una elección única del entero no negativo $m$ y de los dígitos $a_0,$ $a_1,$ $\ldots,$ $a_m$ tomados del conjunto $\{0,1,2,\ldots,n^2\},$ con $a_m\ne0.$ Escribimos

$r+si=(a_ma_{m-1}\ldots a_1a_0)_{-n+i}$

para denotar la expansión en base $-n+i$ de $r+si.$ Solo hay una cantidad finita de enteros $k+0i$ que tienen expansiones de cuatro dígitos

$k=(a_3a_2a_1a_0)_{-3+i}\qquad a_3\ne0.$

Halla la suma de todos esos $k.$

Given a positive integer $n,$ it can be shown that every complex number of the form $r+si,$ where $r$ and $s$ are integers, can be uniquely expressed in the base $-n+i$ using the integers $0,$ $1,$ $\ldots,$ $n^2$ as digits. That is, the equation

$\begin{aligned}r+si={}&a_m(-n+i)^m\\&+a_{m-1}(-n+i)^{m-1}\\&+\cdots+a_1(-n+i)\\&+a_0\end{aligned}$

is true for a unique choice of nonnegative integer $m$ and digits $a_0,$ $a_1,$ $\ldots,$ $a_m$ chosen from the set $\{0,1,2,\ldots,n^2\},$ with $a_m\ne0.$ We write

$r+si=(a_ma_{m-1}\ldots a_1a_0)_{-n+i}$

to denote the base $-n+i$ expansion of $r+si.$ There are only finitely many integers $k+0i$ that have four-digit expansions

$k=(a_3a_2a_1a_0)_{-3+i}\qquad a_3\ne0.$

Find the sum of all such $k.$

Respuesta

Conceptos:número complejo base numérica sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Calcula la segunda y la tercera potencia de $-3+i$ e iguala a cero la parte imaginaria de la expansión

Compute the second and third powers of $-3+i$ and set the imaginary part of the expansion equal to zero

Pista grande:

Los límites de los dígitos dejan solo dos ternas posibles $(a_3,a_2,a_1)$ ; luego deja que $a_0$ recorra todos los dígitos

The digit bounds leave only two possible triples $(a_3,a_2,a_1)$ ; then let $a_0$ range over all digits

Solución:

Sea $b=-3+i.$ Entonces $b^2=8-6i$ y $b^3=-18+26i.$

La parte imaginaria de $a_3b^3+a_2b^2+a_1b+a_0$ es $26a_3-6a_2+a_1.$ Por lo tanto, $a_1=6a_2-26a_3.$ Con $1\leq a_3\leq9$ y $0\leq a_1,a_2\leq9,$ las únicas posibilidades son $\begin{gathered}(a_3,a_2,a_1)=(1,5,4),\\(a_3,a_2,a_1)=(2,9,2).\end{gathered}$

Las partes reales correspondientes son $10+a_0$ y $30+a_0,$ respectivamente. Cuando $a_0$ recorre los valores desde $0$ hasta $9,$ la suma pedida es $\begin{aligned}&(10+11+\cdots+19)\\&\quad+(30+31+\cdots+39)\\&=145+345=490.\end{aligned}$

Let $b=-3+i.$ Then $b^2=8-6i$ and $b^3=-18+26i.$

The imaginary part of $a_3b^3+a_2b^2+a_1b+a_0$ is $26a_3-6a_2+a_1.$ Thus $a_1=6a_2-26a_3.$ With $1\leq a_3\leq9$ and $0\leq a_1,a_2\leq9,$ the only possibilities are $\begin{gathered}(a_3,a_2,a_1)=(1,5,4),\\(a_3,a_2,a_1)=(2,9,2).\end{gathered}$

The corresponding real parts are $10+a_0$ and $30+a_0,$ respectively. As $a_0$ ranges from $0$ through $9,$ the required sum is $\begin{aligned}&(10+11+\cdots+19)\\&\quad+(30+31+\cdots+39)\\&=145+345=490.\end{aligned}$

15.

El punto $P$ está dentro del triángulo $ABC.$ Se trazan los segmentos $APD,$ $BPE,$ y $CPF$ , con $D$ sobre $BC,$ $E$ sobre $AC,$ y $F$ sobre $AB$ (véase la figura). Dado que $AP=6,$ $BP=9,$ $PD=6,$ $PE=3,$ y $CF=20,$ halla el área del triángulo $ABC.$

Point $P$ is inside triangle $ABC.$ Line segments $APD,$ $BPE,$ and $CPF$ are drawn with $D$ on $BC,$ $E$ on $AC,$ and $F$ on $AB$ (see the figure). Given that $AP=6,$ $BP=9,$ $PD=6,$ $PE=3,$ and $CF=20,$ find the area of triangle $ABC.$

Respuesta

Conceptos:razón de áreas área del triángulo vector

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Usa las dos razones conocidas de las cevianas para hallar los pesos baricéntricos de $A$ y $B$ en $P$

Use the two known cevian ratios to find the barycentric weights of $A$ and $B$ at $P$

Pista grande:

Coloca $P$ en el origen; la relación vectorial resultante determina el ángulo entre $PA$ y $PB$

Place $P$ at the origin; the resulting vector relation determines the angle between $PA$ and $PB$

Solución:

Como $AP=PD,$ el peso baricéntrico de $A$ en $P$ es $\frac{1}{2}.$ Como $BP:PE=3:1,$ el peso de $B$ es $\frac{1}{4},$ así que el peso de $C$ también es $\frac{1}{4}.$ A lo largo de $CF,$ esto significa que $\frac{PF}{CF}=\frac{1}{4},$ de donde $PF=5$ y $CP=15.$

Coloca $P$ en el origen y denota los vectores de posición $A,$ $B,$ y $C$ con las mismas letras. La relación baricéntrica es $2A+B+C=0.$ Por lo tanto, $C=-2A-B.$ Usando $|A|=6,$ $|B|=9,$ y $|C|=15,$ $\begin{aligned}225&=|2A+B|^2\\&=4(36)+81+4A\mathbin{\cdot}B,\end{aligned}$ así que $A\mathbin{\cdot}B=0.$ Por ello, $PA\perp PB.$ Al desarrollar el producto vectorial se obtiene $(B-A)\mathbin{\times}(C-A)=4(A\mathbin{\times}B).$ En consecuencia, $\begin{aligned}{}[ABC]&=2|A\mathbin{\times}B|\\&=2(6)(9)=108.\end{aligned}$

Since $AP=PD,$ the barycentric weight of $A$ at $P$ is $\frac{1}{2}.$ Since $BP:PE=3:1,$ the weight of $B$ is $\frac{1}{4},$ so the weight of $C$ is also $\frac{1}{4}.$ Along $CF,$ this means $\frac{PF}{CF}=\frac{1}{4},$ hence $PF=5$ and $CP=15.$

Place $P$ at the origin and denote the position vectors $A,$ $B,$ and $C$ by the same letters. The barycentric relation is $2A+B+C=0.$ Thus $C=-2A-B.$ Using $|A|=6,$ $|B|=9,$ and $|C|=15,$ $\begin{aligned}225&=|2A+B|^2\\&=4(36)+81+4A\mathbin{\cdot}B,\end{aligned}$ so $A\mathbin{\cdot}B=0.$ Therefore $PA\perp PB.$ Expanding the cross product gives $(B-A)\mathbin{\times}(C-A)=4(A\mathbin{\times}B).$ Consequently, $\begin{aligned}{}[ABC]&=2|A\mathbin{\times}B|\\&=2(6)(9)=108.\end{aligned}$