Question

La función $f$ definida por $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d},$ donde $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ son números reales no nulos, tiene las propiedades $f(19) = 19,$ $f(97) = 97,$ y $f(f(x)) = x$ para todos los valores excepto $\frac{-d}{c}.$ Halla el único número que no está en el rango de $f.$

The function $f$ defined by $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d},$ where $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are nonzero real numbers, has the properties $f(19) = 19,$ $f(97) = 97,$ and $f(f(x)) = x$ for all values except $\frac{-d}{c}.$ Find the unique number that is not in the range of $f.$

Respuesta

Respuesta: 58

Conceptos:ecuación funcional ecuación racional Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

$f(f(x)) = x$ significa que $f$ es su propia inversa; comparar coeficientes obliga a $d = -a$

$f(f(x)) = x$ means $f$ is its own inverse; comparing coefficients forces $d = -a$

Pista grande:

$19$ y $97$ son las raíces de $cx^2 + (d - a)x - b = 0,$ y el valor que falta es la asíntota horizontal $\frac{a}{c}$

$19$ and $97$ are the roots of $cx^2 + (d - a)x - b = 0,$ and the missing value is the horizontal asymptote $\frac{a}{c}$

Solución:

Al componer, $f(f(x)) = \frac{(a^2 + bc)x + b(a + d)}{c(a + d)x + (bc + d^2)},$ y esto es igual a $x$ de manera idéntica solo si $c(a + d) = 0.$ Como $c \ne 0,$ obtenemos $d = -a,$ así que $f(x) = \frac{ax + b}{cx - a}.$

Un punto fijo cumple $cx^2 - ax = ax + b,$ es decir $cx^2 - 2ax - b = 0,$ cuyas raíces son $19$ y $97.$ Por las fórmulas de Vieta, $19 + 97 = \frac{2a}{c},$ así que $\frac{a}{c} = 58.$

Por último, $y$ está en el rango exactamente cuando $y = \frac{ax + b}{cx - a}$ tiene solución, es decir $x(cy - a) = ay + b.$ Esto se resuelve para $x$ salvo que $cy - a = 0;$ y cuando $y = \frac{a}{c},$ el lado derecho $\frac{a^2}{c} + b = \frac{a^2 + bc}{c}$ es no nulo (de lo contrario, la expresión fraccionaria lineal sería degenerada, en contradicción con sus dos puntos fijos distintos). Así que el único número que no está en el rango es $\frac{a}{c} = 58.$

Composing, $f(f(x)) = \frac{(a^2 + bc)x + b(a + d)}{c(a + d)x + (bc + d^2)},$ and this equals $x$ identically only if $c(a + d) = 0.$ Since $c \ne 0,$ we get $d = -a,$ so $f(x) = \frac{ax + b}{cx - a}.$

A fixed point satisfies $cx^2 - ax = ax + b,$ i.e. $cx^2 - 2ax - b = 0,$ whose roots are $19$ and $97.$ By Vieta’s formulas, $19 + 97 = \frac{2a}{c},$ so $\frac{a}{c} = 58.$

Finally, $y$ is in the range exactly when $y = \frac{ax + b}{cx - a}$ has a solution, i.e. $x(cy - a) = ay + b.$ This solves for $x$ unless $cy - a = 0;$ and when $y = \frac{a}{c},$ the right side $\frac{a^2}{c} + b = \frac{a^2 + bc}{c}$ is nonzero (otherwise the fractional-linear expression would be degenerate, contrary to its two distinct fixed points). So the unique number not in the range is $\frac{a}{c} = 58.$

1997 AIME Problema 12

Respuesta: 58

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años