Question

Halla la suma de los valores de $x$ tales que $\cos^3 3x + \cos^3 5x$ $= 8 \cos^3 4x \cos^3 x,$ donde $x$ se mide en grados y $100 \lt x \lt 200.$

Find the sum of the values of $x$ such that $\cos^3 3x + \cos^3 5x$ $= 8 \cos^3 4x \cos^3 x,$ where $x$ is measured in degrees and $100 \lt x \lt 200.$

Respuesta

Solución:

Por la identidad de producto a suma, $2 \cos 4x \cos x = \cos 5x + \cos 3x,$ así que el lado derecho es $(\cos 5x + \cos 3x)^3.$ Tomando $y = \cos 3x$ y $z = \cos 5x,$ la ecuación se convierte en $y^3 + z^3 = (y + z)^3,$ y como $(y+z)^3 - y^3 - z^3 = 3yz(y + z),$ se cumple exactamente cuando $\begin{aligned} \cos 3x &= 0, \\ \cos 5x &= 0, \end{aligned}$ o $\cos 4x \cos x = 0.$

Para $100 \lt x \lt 200$ en grados: $\cos 3x = 0$ da $x = 150;$ $\cos 5x = 0$ da $x = 126,$ $162,$ $198;$ $\cos 4x = 0$ da $x = 112.5,$ $157.5;$ y $\cos x = 0$ no da soluciones en el intervalo.

La suma es $\begin{aligned} &150 + 126 + 162 \\ &\quad {}+ 198 + 112.5 + 157.5 \\ &= 906. \end{aligned}$

By the product-to-sum identity, $2 \cos 4x \cos x = \cos 5x + \cos 3x,$ so the right side is $(\cos 5x + \cos 3x)^3.$ Setting $y = \cos 3x$ and $z = \cos 5x,$ the equation becomes $y^3 + z^3 = (y + z)^3,$ and since $(y+z)^3 - y^3 - z^3 = 3yz(y + z),$ it holds exactly when $\begin{aligned} \cos 3x &= 0, \\ \cos 5x &= 0, \end{aligned}$ or $\cos 4x \cos x = 0.$

For $100 \lt x \lt 200$ in degrees: $\cos 3x = 0$ gives $x = 150;$ $\cos 5x = 0$ gives $x = 126,$ $162,$ $198;$ $\cos 4x = 0$ gives $x = 112.5,$ $157.5;$ and $\cos x = 0$ gives no solutions in the interval.

The sum is $\begin{aligned} &150 + 126 + 162 \\ &\quad {}+ 198 + 112.5 + 157.5 \\ &= 906. \end{aligned}$

2006 AIME I Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años