Soluciones del 2006 AIME I | LIVE by Po-Shen Loh

1.

En el cuadrilátero $ABCD,$ $\angle B$ es un ángulo recto, la diagonal $\overline{AC}$ es perpendicular a $\overline{CD},$ $AB = 18,$ $BC = 21,$ y $CD = 14.$ Halla el perímetro de $ABCD.$

In quadrilateral $ABCD,$ $\angle B$ is a right angle, diagonal $\overline{AC}$ is perpendicular to $\overline{CD},$ $AB = 18,$ $BC = 21,$ and $CD = 14.$ Find the perimeter of $ABCD.$

Respuesta

Conceptos:Teorema de Pitágoras perímetro

Nivel de dificultad: 1790

Solución:

El triángulo $ABC$ tiene un ángulo recto en $B,$ así que $AC^2 = 18^2 + 21^2 = 765.$ El triángulo $ACD$ tiene un ángulo recto en $C,$ así que $DA^2 = AC^2 + CD^2$ $= 765 + 196 = 961,$ de donde $DA = 31.$

El perímetro es $18 + 21 + 14 + 31 = 84.$

Triangle $ABC$ is right-angled at $B,$ so $AC^2 = 18^2 + 21^2 = 765.$ Triangle $ACD$ is right-angled at $C,$ so $DA^2 = AC^2 + CD^2$ $= 765 + 196 = 961,$ giving $DA = 31.$

The perimeter is $18 + 21 + 14 + 31 = 84.$

2.

Sea $\mathcal{A}$ un subconjunto de $90$ elementos de $\{1, 2, 3, \ldots, 100\},$ y sea $S$ la suma de los elementos de $\mathcal{A}.$ Halla el número de valores posibles de $S.$

Let set $\mathcal{A}$ be a $90$ -element subset of $\{1, 2, 3, \ldots, 100\},$ and let $S$ be the sum of the elements of $\mathcal{A}.$ Find the number of possible values of $S.$

Respuesta

Conceptos:subconjuntos argumento extremal conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1890

Solución:

La menor suma posible es $1 + 2 + \cdots + 90 = 4095,$ y la mayor es $11 + 12 + \cdots + 100 = 4995.$

Todo entero intermedio también se alcanza. Supón que $\mathcal{A}$ tiene suma $S \le 4994,$ y sea $k$ el menor elemento de $\mathcal{A}$ con $k + 1 \notin \mathcal{A}.$ Si $k$ fuera $100,$ entonces $\mathcal{A}$ sería un bloque de enteros consecutivos que termina en $100,$ es decir $\{11, \ldots, 100\},$ cuya suma supera $4994.$ Por tanto $k \ne 100,$ y reemplazar $k$ por $k + 1$ produce un subconjunto de $90$ elementos con suma $S + 1.$

Por lo tanto $S$ toma todos los valores desde $4095$ hasta $4995,$ lo que da $4995 - 4095 + 1 = 901$ valores posibles.

The smallest possible sum is $1 + 2 + \cdots + 90 = 4095,$ and the largest is $11 + 12 + \cdots + 100 = 4995.$

Every integer in between also occurs. Suppose $\mathcal{A}$ has sum $S \le 4994,$ and let $k$ be the smallest element of $\mathcal{A}$ with $k + 1 \notin \mathcal{A}.$ If $k$ were $100,$ then $\mathcal{A}$ would be a block of consecutive integers ending at $100,$ namely $\{11, \ldots, 100\},$ whose sum exceeds $4994.$ So $k \ne 100,$ and replacing $k$ by $k + 1$ produces a $90$ -element subset with sum $S + 1.$

Hence $S$ takes every value from $4095$ to $4995,$ for $4995 - 4095 + 1 = 901$ possible values.

3.

Halla el menor entero positivo tal que, al borrar su dígito más a la izquierda, el entero resultante sea $\frac{1}{29}$ del entero original.

Find the least positive integer such that when its leftmost digit is deleted, the resulting integer is $\frac{1}{29}$ of the original integer.

Respuesta

Conceptos:dígitos valor posicional divisibilidad

Nivel de dificultad: 2020

Solución:

Sea $d$ el dígito más a la izquierda y $n$ el entero que queda tras borrarlo, de modo que el entero original es $d \cdot 10^p + n$ para algún entero positivo $p.$ La condición dice que $d \cdot 10^p + n = 29n,$ así que $d \cdot 10^p = 28n.$

Como $7 \mid 28n$ pero $7 \nmid 10^p,$ el dígito $d$ debe ser múltiplo de $7,$ así que $d = 7.$ Entonces $10^p = 4n,$ lo que da $n = 25 \cdot 10^{p-2},$ que requiere $p \ge 2.$ El caso más pequeño es $p = 2,$ $n = 25.$

El menor entero de este tipo es $725,$ y en efecto $725 = 29 \cdot 25.$

Let $d$ be the leftmost digit and $n$ the integer that remains after deleting it, so the original integer is $d \cdot 10^p + n$ for some positive integer $p.$ The condition says $d \cdot 10^p + n = 29n,$ so $d \cdot 10^p = 28n.$

Since $7 \mid 28n$ but $7 \nmid 10^p,$ the digit $d$ must be a multiple of $7,$ so $d = 7.$ Then $10^p = 4n,$ giving $n = 25 \cdot 10^{p-2},$ which requires $p \ge 2.$ The smallest case is $p = 2,$ $n = 25.$

The least such integer is $725,$ and indeed $725 = 29 \cdot 25.$

4.

Sea $N$ el número de $0$ consecutivos al final derecho de la representación decimal del producto $1!\,2!\,3!\,4! \cdots 99!\,100!.$ Halla el residuo cuando $N$ se divide entre $1000.$

Let $N$ be the number of consecutive $0$ 's at the right end of the decimal representation of the product $1!\,2!\,3!\,4! \cdots 99!\,100!.$ Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$

Respuesta

Conceptos:ceros finales factorial sumatoria

Nivel de dificultad: 2400

Solución:

Los factores de $2$ abundan, así que $N$ es el exponente de $5$ en el producto. Cada entero $j$ con $1 \le j \le 100$ aparece como factor en exactamente $101 - j$ de los factoriales, a saber $j!, (j+1)!, \ldots, 100!.$

Cada múltiplo de $5$ aporta un factor de $5$ por cada aparición, y cada múltiplo de $25$ aporta uno más. Sobre $j = 5, 10, \ldots, 100$ las apariciones suman $96 + 91 + \cdots + 1 = \frac{20 \cdot 97}{2} = 970,$ y sobre $j = 25, 50, 75, 100$ suman $76 + 51 + 26 + 1 = 154.$

Por lo tanto $N = 970 + 154 = 1124,$ y el residuo al dividir entre $1000$ es $124.$

Factors of $2$ are plentiful, so $N$ is the exponent of $5$ in the product. Each integer $j$ with $1 \le j \le 100$ appears as a factor in exactly $101 - j$ of the factorials, namely $j!, (j+1)!, \ldots, 100!.$

Every multiple of $5$ contributes one factor of $5$ per appearance, and every multiple of $25$ contributes one more. Over $j = 5, 10, \ldots, 100$ the appearances total $96 + 91 + \cdots + 1 = \frac{20 \cdot 97}{2} = 970,$ and over $j = 25, 50, 75, 100$ they total $76 + 51 + 26 + 1 = 154.$

Hence $N = 970 + 154 = 1124,$ and the remainder upon division by $1000$ is $124.$

5.

El número $\small \sqrt{104\sqrt{6} + 468\sqrt{10} + 144\sqrt{15} + 2006}$ puede escribirse como $a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{5},$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos. Halla $a \cdot b \cdot c.$

The number $\small \sqrt{104\sqrt{6} + 468\sqrt{10} + 144\sqrt{15} + 2006}$ can be written as $a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{5},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers. Find $a \cdot b \cdot c.$

Respuesta

Conceptos:radical sistema de ecuaciones manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2270

Solución:

Elevar al cuadrado $a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{5}$ da $\begin{aligned} &2a^2 + 3b^2 + 5c^2 \\ &\quad {}+ 2ab\sqrt{6} + 2ac\sqrt{10} \\ &\quad {}+ 2bc\sqrt{15}. \end{aligned}$ Igualar coeficientes produce $2ab = 104,$ $2ac = 468,$ $2bc = 144,$ es decir $ab = 52,$ $ac = 234,$ $bc = 72,$ junto con $2a^2 + 3b^2 + 5c^2 = 2006.$

Entonces $\begin{aligned} (abc)^2 &= (ab)(ac)(bc) \\ &= 52 \cdot 234 \cdot 72 \\ &= 876096 = 936^2, \end{aligned}$ así que $abc = 936.$ Como comprobación, $a = \frac{abc}{bc} = 13,$ $b = \frac{abc}{ac} = 4,$ $c = \frac{abc}{ab} = 18,$ y $\begin{aligned} &2 \cdot 169 + 3 \cdot 16 + 5 \cdot 324 \\ &= 338 + 48 + 1620 \\ &= 2006, \end{aligned}$ como se requería.

Por lo tanto $a \cdot b \cdot c = 936.$

Squaring $a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{5}$ gives $\begin{aligned} &2a^2 + 3b^2 + 5c^2 \\ &\quad {}+ 2ab\sqrt{6} + 2ac\sqrt{10} \\ &\quad {}+ 2bc\sqrt{15}. \end{aligned}$ Matching coefficients yields $2ab = 104,$ $2ac = 468,$ $2bc = 144,$ that is $ab = 52,$ $ac = 234,$ $bc = 72,$ along with $2a^2 + 3b^2 + 5c^2 = 2006.$

Then $\begin{aligned} (abc)^2 &= (ab)(ac)(bc) \\ &= 52 \cdot 234 \cdot 72 \\ &= 876096 = 936^2, \end{aligned}$ so $abc = 936.$ As a check, $a = \frac{abc}{bc} = 13,$ $b = \frac{abc}{ac} = 4,$ $c = \frac{abc}{ab} = 18,$ and $\begin{aligned} &2 \cdot 169 + 3 \cdot 16 + 5 \cdot 324 \\ &= 338 + 48 + 1620 \\ &= 2006, \end{aligned}$ as required.

Therefore $a \cdot b \cdot c = 936.$

6.

Sea $\mathcal{S}$ el conjunto de números reales que pueden representarse como decimales periódicos de la forma $0.\overline{abc}$ donde $a,$ $b,$ $c$ son dígitos distintos. Halla la suma de los elementos de $\mathcal{S}.$

Let $\mathcal{S}$ be the set of real numbers that can be represented as repeating decimals of the form $0.\overline{abc}$ where $a,$ $b,$ $c$ are distinct digits. Find the sum of the elements of $\mathcal{S}.$

Respuesta

Conceptos:decimal periódico dígitos simetría

Nivel de dificultad: 2300

Solución:

Cada elemento es igual a $0.\overline{abc} = \frac{100a + 10b + c}{999},$ y hay $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ ternas ordenadas de dígitos distintos. Por simetría, cada dígito de $0$ a $9$ aparece en cada una de las tres posiciones exactamente $\frac{720}{10} = 72$ veces.

Por lo tanto los numeradores suman $\begin{aligned} &72 (0 + 1 + \cdots + 9) \\ &\quad {}\cdot (100 + 10 + 1) \\ &= 72 \cdot 45 \cdot 111 = 359640, \end{aligned}$ así que la suma de los elementos es $\frac{359640}{999} = 360.$

Each element equals $0.\overline{abc} = \frac{100a + 10b + c}{999},$ and there are $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ ordered triples of distinct digits. By symmetry, each digit $0$ through $9$ appears in each of the three positions exactly $\frac{720}{10} = 72$ times.

The numerators therefore total $\begin{aligned} &72 (0 + 1 + \cdots + 9) \\ &\quad {}\cdot (100 + 10 + 1) \\ &= 72 \cdot 45 \cdot 111 = 359640, \end{aligned}$ so the sum of the elements is $\frac{359640}{999} = 360.$

7.

Se dibuja un ángulo sobre un conjunto de rectas paralelas igualmente espaciadas, como se muestra. La razón entre el área de la región sombreada $\mathcal{C}$ y el área de la región sombreada $\mathcal{B}$ es $\frac{11}{5}.$ Halla la razón entre el área de la región sombreada $\mathcal{D}$ y el área de la región sombreada $\mathcal{A}.$

An angle is drawn on a set of equally spaced parallel lines as shown. The ratio of the area of shaded region $\mathcal{C}$ to the area of shaded region $\mathcal{B}$ is $\frac{11}{5}.$ Find the ratio of the area of shaded region $\mathcal{D}$ to the area of shaded region $\mathcal{A}.$

Respuesta

Conceptos:semejanza razón de áreas diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 2500

Solución:

Toma el espaciado entre rectas consecutivas como la unidad, y sea $x$ la distancia del vértice del ángulo a la primera recta. El triángulo recortado por la $j$ -ésima recta es semejante al triángulo $\mathcal{A}$ con razón $\frac{x + j - 1}{x},$ así que su área es proporcional a $(x + j - 1)^2,$ y la franja entre las rectas $j$ y $j + 1$ tiene área proporcional a $(x + j)^2$ $- (x + j - 1)^2 = 2x + 2j - 1.$

Las regiones $\mathcal{B},$ $\mathcal{C},$ y $\mathcal{D}$ son las franjas que comienzan en las rectas $2,$ $4,$ y $6,$ con áreas proporcionales a $2x + 3,$ $2x + 7,$ y $2x + 11.$ La razón dada produce $\frac{2x+7}{2x+3} = \frac{11}{5},$ así que $10x + 35 = 22x + 33$ y $x = \frac{1}{6}.$

Como $\mathcal{A}$ tiene área proporcional a $x^2,$ la razón pedida es $\frac{2x + 11}{x^2} = \frac{34/3}{1/36} = 408.$

Take the spacing between consecutive lines as the unit, and let $x$ be the distance from the vertex of the angle to the first line. The triangle cut off by the $j$ th line is similar to triangle $\mathcal{A}$ with ratio $\frac{x + j - 1}{x},$ so its area is proportional to $(x + j - 1)^2,$ and the strip between lines $j$ and $j + 1$ has area proportional to $(x + j)^2$ $- (x + j - 1)^2 = 2x + 2j - 1.$

Regions $\mathcal{B},$ $\mathcal{C},$ and $\mathcal{D}$ are the strips beginning at lines $2,$ $4,$ and $6,$ with areas proportional to $2x + 3,$ $2x + 7,$ and $2x + 11.$ The given ratio yields $\frac{2x+7}{2x+3} = \frac{11}{5},$ so $10x + 35 = 22x + 33$ and $x = \frac{1}{6}.$

Since $\mathcal{A}$ has area proportional to $x^2,$ the requested ratio is $\frac{2x + 11}{x^2} = \frac{34/3}{1/36} = 408.$

8.

El hexágono $ABCDEF$ está dividido en cinco rombos, $\mathcal{P},$ $\mathcal{Q},$ $\mathcal{R},$ $\mathcal{S},$ y $\mathcal{T},$ como se muestra. Los rombos $\mathcal{P},$ $\mathcal{Q},$ $\mathcal{R},$ y $\mathcal{S}$ son congruentes, y cada uno tiene área $\sqrt{2006}.$ Sea $K$ el área del rombo $\mathcal{T}.$ Dado que $K$ es un entero positivo, halla el número de valores posibles de $K.$

Hexagon $ABCDEF$ is divided into five rhombuses, $\mathcal{P},$ $\mathcal{Q},$ $\mathcal{R},$ $\mathcal{S},$ and $\mathcal{T},$ as shown. Rhombuses $\mathcal{P},$ $\mathcal{Q},$ $\mathcal{R},$ and $\mathcal{S}$ are congruent, and each has area $\sqrt{2006}.$ Let $K$ be the area of rhombus $\mathcal{T}.$ Given that $K$ is a positive integer, find the number of possible values for $K.$

Respuesta

Conceptos:rombo identidad trigonométrica conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 2560

Solución:

Como $\mathcal{T}$ comparte un lado con cada uno de los otros rombos, los cinco tienen la misma longitud de lado $z.$ Sea $Y$ el vértice de $\mathcal{T}$ sobre $\overline{AB},$ y sea $\alpha$ el ángulo de $\mathcal{P}$ en $Y.$ Entonces cada rombo congruente tiene área $z^2 \sin\alpha = \sqrt{2006}.$ Los ángulos de $\mathcal{P},$ $\mathcal{T},$ y $\mathcal{Q}$ en $Y$ están sobre la recta $AB,$ y por simetría el ángulo de $\mathcal{Q}$ allí también es igual a $\alpha,$ así que el ángulo de $\mathcal{T}$ es $180^\circ - 2\alpha.$ Por lo tanto $\begin{aligned} K &= z^2 \sin(180^\circ - 2\alpha) \\ &= z^2 \sin 2\alpha \\ &= 2 z^2 \sin\alpha \cos\alpha \\ &= 2\sqrt{2006}\,\cos\alpha. \end{aligned}$

Cuando $\alpha$ recorre $(0^\circ, 90^\circ),$ el valor $\cos\alpha$ toma todos los valores en $(0, 1),$ así que $K$ toma todos los valores en $\left(0, \sqrt{8024}\right).$ Como $89^2 = 7921$ $\lt 8024$ $\lt 8100 = 90^2,$ los valores enteros positivos posibles son $1, 2, \ldots, 89:$ hay $89$ de ellos.

Since $\mathcal{T}$ shares a side with each of the other rhombuses, all five have the same side length $z.$ Let $Y$ be the vertex of $\mathcal{T}$ on $\overline{AB},$ and let $\alpha$ be the angle of $\mathcal{P}$ at $Y.$ Then each congruent rhombus has area $z^2 \sin\alpha = \sqrt{2006}.$ The angles of $\mathcal{P},$ $\mathcal{T},$ and $\mathcal{Q}$ at $Y$ lie along the line $AB,$ and by symmetry $\mathcal{Q}$ 's angle there also equals $\alpha,$ so $\mathcal{T}$ 's angle is $180^\circ - 2\alpha.$ Hence $\begin{aligned} K &= z^2 \sin(180^\circ - 2\alpha) \\ &= z^2 \sin 2\alpha \\ &= 2 z^2 \sin\alpha \cos\alpha \\ &= 2\sqrt{2006}\,\cos\alpha. \end{aligned}$

As $\alpha$ ranges over $(0^\circ, 90^\circ),$ the value $\cos\alpha$ takes every value in $(0, 1),$ so $K$ takes every value in $\left(0, \sqrt{8024}\right).$ Since $89^2 = 7921$ $\lt 8024$ $\lt 8100 = 90^2,$ the possible positive integer values are $1, 2, \ldots, 89:$ there are $89$ of them.

9.

La sucesión $a_1, a_2, \ldots$ es geométrica con $a_1 = a$ y razón común $r,$ donde $a$ y $r$ son enteros positivos. Dado que $\log_8 a_1 + \log_8 a_2 + \cdots + \log_8 a_{12}$ $= 2006,$ halla el número de pares ordenados posibles $(a, r).$

The sequence $a_1, a_2, \ldots$ is geometric with $a_1 = a$ and common ratio $r,$ where $a$ and $r$ are positive integers. Given that $\log_8 a_1 + \log_8 a_2 + \cdots + \log_8 a_{12}$ $= 2006,$ find the number of possible ordered pairs $(a, r).$

Respuesta

Conceptos:logaritmo sucesión geométrica Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 2450

Solución:

La suma de los logaritmos es $\log_8 (a_1 a_2 \cdots a_{12}) = \log_8\!\left(a^{12} r^{66}\right),$ así que $a^{12} r^{66} = 8^{2006} = 2^{6018},$ lo que da $a^2 r^{11} = 2^{1003}.$

Así, $a$ y $r$ son potencias de $2:$ escribe $a = 2^x$ y $r = 2^y$ con enteros $x, y \ge 0$ y $2x + 11y = 1003.$ Como $2x$ es par y $1003$ es impar, $y$ debe ser impar, digamos $y = 2k - 1$ con $k \ge 1.$ Entonces $x = 507 - 11k \ge 0$ exactamente cuando $k \le \lfloor 507/11 \rfloor = 46.$

Cada $k = 1, 2, \ldots, 46$ da un par, así que hay $46$ pares ordenados $(a, r).$

The sum of the logarithms is $\log_8 (a_1 a_2 \cdots a_{12}) = \log_8\!\left(a^{12} r^{66}\right),$ so $a^{12} r^{66} = 8^{2006} = 2^{6018},$ which gives $a^2 r^{11} = 2^{1003}.$

Thus $a$ and $r$ are powers of $2:$ write $a = 2^x$ and $r = 2^y$ with integers $x, y \ge 0$ and $2x + 11y = 1003.$ Since $2x$ is even and $1003$ is odd, $y$ must be odd, say $y = 2k - 1$ for $k \ge 1.$ Then $x = 507 - 11k \ge 0$ exactly when $k \le \lfloor 507/11 \rfloor = 46.$

Each $k = 1, 2, \ldots, 46$ gives one pair, so there are $46$ ordered pairs $(a, r).$

10.

Ocho círculos de diámetro $1$ están empaquetados en el primer cuadrante del plano coordenado, como se muestra. Sea la región $\mathcal{R}$ la unión de las ocho regiones circulares. La recta $\ell,$ de pendiente $3,$ divide $\mathcal{R}$ en dos regiones de igual área. La ecuación de la recta $\ell$ puede expresarse en la forma $ax = by + c,$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos cuyo máximo común divisor es $1.$ Halla $a^2 + b^2 + c^2.$

Eight circles of diameter $1$ are packed in the first quadrant of the coordinate plane as shown. Let region $\mathcal{R}$ be the union of the eight circular regions. Line $\ell,$ with slope $3,$ divides $\mathcal{R}$ into two regions of equal area. Line $\ell$ 's equation can be expressed in the form $ax = by + c,$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers whose greatest common divisor is $1.$ Find $a^2 + b^2 + c^2.$

Respuesta

Conceptos:geometría analítica círculo simetría

Nivel de dificultad: 2610

Solución:

Los círculos tienen radio $\frac{1}{2}$ y centros en $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right),$ $\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right),$ $\left(\frac{5}{2}, \frac{1}{2}\right),$ $\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right),$ $\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right),$ $\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right),$ $\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right),$ y $\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right).$ El par de círculos tangentes en $A = \left(1, \frac{1}{2}\right)$ es simétrico respecto de $A,$ así que cualquier recta que pase por $A$ biseca el área de ese par; de forma similar para el par tangente en $B = \left(\frac{3}{2}, 2\right).$ La recta $AB$ tiene pendiente $\frac{2 - 1/2}{3/2 - 1} = 3.$

La recta $AB$ no toca en absoluto los cuatro círculos restantes, y exactamente dos de ellos quedan a cada lado de ella, así que divide $\mathcal{R}$ en dos regiones de igual área. Deslizar una recta de pendiente $3$ traslada estrictamente área de un lado al otro, así que $\ell$ debe ser esta recta.

Su ecuación es $y - \frac{1}{2} = 3(x - 1),$ es decir, $6x = 2y + 5.$ Como $\gcd(6, 2, 5) = 1,$ la respuesta es $a^2 + b^2 + c^2 = 36 + 4 + 25 = 65.$

The circles have radius $\frac{1}{2}$ and centers at $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right),$ $\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right),$ $\left(\frac{5}{2}, \frac{1}{2}\right),$ $\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right),$ $\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right),$ $\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right),$ $\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right),$ and $\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right).$ The pair of circles tangent at $A = \left(1, \frac{1}{2}\right)$ is symmetric about $A,$ so any line through $A$ bisects that pair's area; similarly for the pair tangent at $B = \left(\frac{3}{2}, 2\right).$ The line $AB$ has slope $\frac{2 - 1/2}{3/2 - 1} = 3.$

Line $AB$ misses the remaining four circles entirely, and exactly two of them lie on each side of it, so it divides $\mathcal{R}$ into two regions of equal area. Sliding a slope- $3$ line strictly shifts area from one side to the other, so $\ell$ must be this line.

Its equation is $y - \frac{1}{2} = 3(x - 1),$ that is, $6x = 2y + 5.$ With $\gcd(6, 2, 5) = 1,$ the answer is $a^2 + b^2 + c^2 = 36 + 4 + 25 = 65.$

11.

Una colección de $8$ cubos consta de un cubo de arista $k$ para cada entero $k,$ $1 \le k \le 8.$ Se va a construir una torre usando los $8$ cubos según las reglas:

• Cualquier cubo puede ser el cubo de la base de la torre.

• El cubo que se coloca inmediatamente encima de un cubo de arista $k$ debe tener arista a lo sumo $k + 2.$

Sea $T$ el número de torres diferentes que se pueden construir. ¿Cuál es el residuo cuando $T$ se divide entre $1000$ ?

A collection of $8$ cubes consists of one cube with edge-length $k$ for each integer $k,$ $1 \le k \le 8.$ A tower is to be built using all $8$ cubes according to the rules:

• Any cube may be the bottom cube in the tower.

• The cube immediately on top of a cube with edge-length $k$ must have edge-length at most $k + 2.$

Let $T$ be the number of different towers that can be constructed. What is the remainder when $T$ is divided by $1000?$

Respuesta

Conceptos:conteo recursivo biyección

Nivel de dificultad: 2760

Solución:

Sea $S(n)$ el número de torres legales que usan los cubos de aristas $1, \ldots, n.$ Dada una torre legal de $n \ge 2$ cubos, el cubo $n + 1$ puede insertarse en exactamente tres lugares: en la base, inmediatamente encima del cubo $n,$ o inmediatamente encima del cubo $n - 1$ (en cualquier otro lugar quedaría apoyado sobre un cubo de arista a lo sumo $n - 2,$ violando la regla). Cada inserción sigue siendo legal, porque el cubo que termina encima del cubo $n + 1$ tiene arista a lo sumo $n \lt (n+1) + 2.$ Recíprocamente, borrar el cubo $n + 1$ de una torre legal de $n + 1$ cubos deja una torre legal: el cubo que estaba encima de él, de arista a lo sumo $n,$ cae sobre un cubo de arista al menos $n - 1.$

Por lo tanto $S(n + 1) = 3 S(n)$ para $n \ge 2.$ Como $S(2) = 2$ (cualquiera de los dos cubos puede quedar arriba), obtenemos $T = S(8) = 2 \cdot 3^6 = 1458,$ y el residuo es $458.$

Let $S(n)$ be the number of legal towers using the cubes of edge-lengths $1, \ldots, n.$ Given a legal tower of $n \ge 2$ cubes, cube $n + 1$ can be inserted in exactly three places: at the bottom, immediately on top of cube $n,$ or immediately on top of cube $n - 1$ (anywhere else it would rest on a cube of edge-length at most $n - 2,$ violating the rule). Each insertion stays legal, because the cube that ends up on top of cube $n + 1$ has edge-length at most $n \lt (n+1) + 2.$ Conversely, deleting cube $n + 1$ from a legal tower of $n + 1$ cubes leaves a legal tower: the cube that was above it, of edge-length at most $n,$ lands on a cube of edge-length at least $n - 1.$

Hence $S(n + 1) = 3 S(n)$ for $n \ge 2.$ Since $S(2) = 2$ (either of the two cubes may be on top), we get $T = S(8) = 2 \cdot 3^6 = 1458,$ and the remainder is $458.$

12.

Halla la suma de los valores de $x$ tales que $\cos^3 3x + \cos^3 5x$ $= 8 \cos^3 4x \cos^3 x,$ donde $x$ se mide en grados y $100 \lt x \lt 200.$

Find the sum of the values of $x$ such that $\cos^3 3x + \cos^3 5x$ $= 8 \cos^3 4x \cos^3 x,$ where $x$ is measured in degrees and $100 \lt x \lt 200.$

Respuesta

Conceptos:identidad trigonométrica suma y diferencia de cubos análisis por casos

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Por la identidad de producto a suma, $2 \cos 4x \cos x = \cos 5x + \cos 3x,$ así que el lado derecho es $(\cos 5x + \cos 3x)^3.$ Tomando $y = \cos 3x$ y $z = \cos 5x,$ la ecuación se convierte en $y^3 + z^3 = (y + z)^3,$ y como $(y+z)^3 - y^3 - z^3 = 3yz(y + z),$ se cumple exactamente cuando $\begin{aligned} \cos 3x &= 0, \\ \cos 5x &= 0, \end{aligned}$ o $\cos 4x \cos x = 0.$

Para $100 \lt x \lt 200$ en grados: $\cos 3x = 0$ da $x = 150;$ $\cos 5x = 0$ da $x = 126,$ $162,$ $198;$ $\cos 4x = 0$ da $x = 112.5,$ $157.5;$ y $\cos x = 0$ no da soluciones en el intervalo.

La suma es $\begin{aligned} &150 + 126 + 162 \\ &\quad {}+ 198 + 112.5 + 157.5 \\ &= 906. \end{aligned}$

By the product-to-sum identity, $2 \cos 4x \cos x = \cos 5x + \cos 3x,$ so the right side is $(\cos 5x + \cos 3x)^3.$ Setting $y = \cos 3x$ and $z = \cos 5x,$ the equation becomes $y^3 + z^3 = (y + z)^3,$ and since $(y+z)^3 - y^3 - z^3 = 3yz(y + z),$ it holds exactly when $\begin{aligned} \cos 3x &= 0, \\ \cos 5x &= 0, \end{aligned}$ or $\cos 4x \cos x = 0.$

For $100 \lt x \lt 200$ in degrees: $\cos 3x = 0$ gives $x = 150;$ $\cos 5x = 0$ gives $x = 126,$ $162,$ $198;$ $\cos 4x = 0$ gives $x = 112.5,$ $157.5;$ and $\cos x = 0$ gives no solutions in the interval.

The sum is $\begin{aligned} &150 + 126 + 162 \\ &\quad {}+ 198 + 112.5 + 157.5 \\ &= 906. \end{aligned}$

13.

Para cada entero positivo par $x,$ sea $g(x)$ la mayor potencia de $2$ que divide a $x.$ Por ejemplo, $g(20) = 4$ y $g(16) = 16.$ Para cada entero positivo $n,$ sea $S_n = \sum_{k=1}^{2^{n-1}} g(2k).$ Halla el mayor entero $n$ menor que $1000$ tal que $S_n$ sea un cuadrado perfecto.

For each even positive integer $x,$ let $g(x)$ denote the greatest power of $2$ that divides $x.$ For example, $g(20) = 4$ and $g(16) = 16.$ For each positive integer $n,$ let $S_n = \sum_{k=1}^{2^{n-1}} g(2k).$ Find the greatest integer $n$ less than $1000$ such that $S_n$ is a perfect square.

Respuesta

Conceptos:potencia de 2 cuadrado perfecto sumatoria

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

$S_n$ es la suma de $g$ sobre los números pares $2, 4, \ldots, 2^n.$ Entre estos $2^{n-1}$ números, exactamente $2^{n-1-i}$ son divisibles entre $2^i$ pero no entre $2^{i+1}$ (así que tienen $g = 2^i$ ) para cada $1 \le i \le n - 1,$ y el único número $2^n$ tiene $g = 2^n.$ Por lo tanto $\begin{aligned} S_n &= \sum_{i=1}^{n-1} 2^i \cdot 2^{n-1-i} \\ &\quad {}+ 2^n \\ &= (n-1) 2^{n-1} + 2^n \\ &= (n+1) 2^{n-1}. \end{aligned}$

Si $n$ es par, entonces $n + 1$ es impar y el exponente $n - 1$ es impar, así que $S_n$ tiene un número impar de factores de $2$ y no puede ser un cuadrado perfecto. Si $n$ es impar, entonces $2^{n-1}$ ya es un cuadrado perfecto, así que $S_n$ es un cuadrado perfecto exactamente cuando $n + 1$ lo es.

Para $n$ impar, el número $n + 1$ es par, y el mayor cuadrado perfecto par que no supera $1000$ es $900 = 30^2.$ Así, el mayor $n \lt 1000$ válido es $n = 899.$

$S_n$ is the sum of $g$ over the even numbers $2, 4, \ldots, 2^n.$ Among these $2^{n-1}$ numbers, exactly $2^{n-1-i}$ are divisible by $2^i$ but not $2^{i+1}$ (so have $g = 2^i$ ) for each $1 \le i \le n - 1,$ and the single number $2^n$ has $g = 2^n.$ Hence $\begin{aligned} S_n &= \sum_{i=1}^{n-1} 2^i \cdot 2^{n-1-i} \\ &\quad {}+ 2^n \\ &= (n-1) 2^{n-1} + 2^n \\ &= (n+1) 2^{n-1}. \end{aligned}$

If $n$ is even, then $n + 1$ is odd and the exponent $n - 1$ is odd, so $S_n$ has an odd number of factors of $2$ and cannot be a perfect square. If $n$ is odd, then $2^{n-1}$ is already a perfect square, so $S_n$ is a perfect square exactly when $n + 1$ is.

For odd $n,$ the number $n + 1$ is even, and the greatest even perfect square at most $1000$ is $900 = 30^2.$ Thus the greatest valid $n \lt 1000$ is $n = 899.$

14.

Un trípode tiene tres patas, cada una de longitud $5$ pies. Cuando el trípode se arma, el ángulo entre cualquier par de patas es igual al ángulo entre cualquier otro par, y la parte superior del trípode está a $4$ pies del suelo. Al armar el trípode, el tramo inferior de $1$ pie de una pata se rompe y se desprende. Sea $h$ la altura en pies de la parte superior del trípode respecto del suelo cuando el trípode roto se arma. Entonces $h$ puede escribirse en la forma $\frac{m}{\sqrt{n}},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $\lfloor m + \sqrt{n} \rfloor.$ (La notación $\lfloor x \rfloor$ denota el mayor entero que es menor o igual que $x.$ )

A tripod has three legs each of length $5$ feet. When the tripod is set up, the angle between any pair of legs is equal to the angle between any other pair, and the top of the tripod is $4$ feet from the ground. In setting up the tripod, the lower $1$ foot of one leg breaks off. Let $h$ be the height in feet of the top of the tripod from the ground when the broken tripod is set up. Then $h$ can be written in the form $\frac{m}{\sqrt{n}},$ where $m$ and $n$ are positive integers and $n$ is not divisible by the square of any prime. Find $\lfloor m + \sqrt{n} \rfloor.$ (The notation $\lfloor x \rfloor$ denotes the greatest integer that is less than or equal to $x.$ )

Respuesta

Conceptos:Geometría 3D geometría analítica fórmula de la distancia simetría

Nivel de dificultad: 3270

Solución:

Coloca la parte superior en $T = (0, 0, 4).$ Cada pata tiene longitud $5,$ así que cada pie está a $3$ del origen: $A = (3, 0, 0),$ $B = \left(-\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}, 0\right),$ $C = \left(-\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}, 0\right).$ La pata rota tiene longitud $4,$ así que su extremo es $A' = \frac{4}{5}(3, 0, 0)$ $+ \frac{1}{5}(0, 0, 4)$ $= \left(\frac{12}{5}, 0, \frac{4}{5}\right),$ y el trípode ahora se apoya sobre el plano $A'BC,$ con $h$ igual a la distancia de $T$ a ese plano.

El plano $A'BC$ contiene $\overline{BC},$ que es paralelo al eje $y$ y pasa por el punto medio $M = \left(-\frac{3}{2}, 0, 0\right),$ así que su distancia a $T$ puede medirse en el plano $xz$ : es la distancia desde $(0, 4)$ hasta la recta que pasa por $\left(-\frac{3}{2}, 0\right)$ y $\left(\frac{12}{5}, \frac{4}{5}\right),$ cuya ecuación es $8x - 39z + 12 = 0.$ Por lo tanto $\begin{aligned} h &= \frac{|8 \cdot 0 - 39 \cdot 4 + 12|}{\sqrt{8^2 + 39^2}} \\ &= \frac{144}{\sqrt{1585}}. \end{aligned}$

Aquí $m = 144$ y $n = 1585 = 5 \cdot 317$ es libre de cuadrados. Como $39^2 = 1521 \lt 1585 \lt 1600,$ obtenemos $\lfloor 144 + \sqrt{1585} \rfloor$ $= 144 + 39 = 183.$

Place the top at $T = (0, 0, 4).$ Each leg has length $5,$ so each foot is $3$ from the origin: $A = (3, 0, 0),$ $B = \left(-\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}, 0\right),$ $C = \left(-\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}, 0\right).$ The broken leg has length $4,$ so its tip is $A' = \frac{4}{5}(3, 0, 0)$ $+ \frac{1}{5}(0, 0, 4)$ $= \left(\frac{12}{5}, 0, \frac{4}{5}\right),$ and the tripod now stands on the plane $A'BC,$ with $h$ equal to the distance from $T$ to that plane.

The plane $A'BC$ contains $\overline{BC},$ which is parallel to the $y$ -axis and passes through the midpoint $M = \left(-\frac{3}{2}, 0, 0\right),$ so its distance from $T$ can be measured in the $xz$ -plane: it is the distance from $(0, 4)$ to the line through $\left(-\frac{3}{2}, 0\right)$ and $\left(\frac{12}{5}, \frac{4}{5}\right),$ whose equation is $8x - 39z + 12 = 0.$ Therefore $\begin{aligned} h &= \frac{|8 \cdot 0 - 39 \cdot 4 + 12|}{\sqrt{8^2 + 39^2}} \\ &= \frac{144}{\sqrt{1585}}. \end{aligned}$

Here $m = 144$ and $n = 1585 = 5 \cdot 317$ is squarefree. Since $39^2 = 1521 \lt 1585 \lt 1600,$ we get $\lfloor 144 + \sqrt{1585} \rfloor$ $= 144 + 39 = 183.$

15.

Dado que una sucesión satisface $x_0 = 0$ y $|x_k| = |x_{k-1} + 3|$ para todos los enteros $k \ge 1,$ halla el mínimo valor posible de $|x_1 + x_2 + \cdots + x_{2006}|.$

Given that a sequence satisfies $x_0 = 0$ and $|x_k| = |x_{k-1} + 3|$ for all integers $k \ge 1,$ find the minimum possible value of $|x_1 + x_2 + \cdots + x_{2006}|.$

Respuesta

Conceptos:recursión telescópica paridad optimización

Nivel de dificultad: 3370

Solución:

Elevar al cuadrado la recurrencia da $x_k^2 = (x_{k-1} + 3)^2$ $= x_{k-1}^2 + 6 x_{k-1} + 9.$ Sumar para $k = 1$ hasta $2007$ se telescopa: $x_{2007}^2 = x_0^2 + 6 \sum_{k=0}^{2006} x_k + 9 \cdot 2007,$ así que con $x_0 = 0,$ $\begin{aligned} &x_1 + x_2 + \cdots + x_{2006} \\ &= \frac{x_{2007}^2 - 18063}{6}. \end{aligned}$

La inducción muestra que cada $x_k$ es múltiplo de $3$ cuya paridad coincide con la de $k,$ así que $x_{2007}$ es un múltiplo impar de $3.$ Para minimizar $\left|x_{2007}^2 - 18063\right|,$ toma el múltiplo impar de $3$ cuyo cuadrado sea el más cercano a $18063:$ es decir $\pm 135,$ con $135^2 = 18225,$ lo que da $\frac{18225 - 18063}{6} = 27$ (los vecinos $129$ y $141$ dan $237$ y $303$ ).

Este valor se alcanza: toma $x_k = 3k$ para $k \le 45,$ y a partir de ahí alterna $x_k = -138$ para $k$ par y $x_k = 135$ para $k$ impar; entonces $x_{2007} = 135$ y la suma es $27.$ Así que el mínimo es $27.$

Squaring the recurrence gives $x_k^2 = (x_{k-1} + 3)^2$ $= x_{k-1}^2 + 6 x_{k-1} + 9.$ Summing for $k = 1$ to $2007$ telescopes: $x_{2007}^2 = x_0^2 + 6 \sum_{k=0}^{2006} x_k + 9 \cdot 2007,$ so with $x_0 = 0,$ $\begin{aligned} &x_1 + x_2 + \cdots + x_{2006} \\ &= \frac{x_{2007}^2 - 18063}{6}. \end{aligned}$

Induction shows each $x_k$ is a multiple of $3$ whose parity matches that of $k,$ so $x_{2007}$ is an odd multiple of $3.$ To minimize $\left|x_{2007}^2 - 18063\right|,$ take the odd multiple of $3$ whose square is nearest $18063:$ that is $\pm 135,$ with $135^2 = 18225,$ giving $\frac{18225 - 18063}{6} = 27$ (the neighbors $129$ and $141$ give $237$ and $303$ ).

This value is attained: take $x_k = 3k$ for $k \le 45,$ and thereafter alternate $x_k = -138$ for even $k$ and $x_k = 135$ for odd $k;$ then $x_{2007} = 135$ and the sum is $27.$ So the minimum is $27.$