Soluciones del 2006 AIME I | LIVE by Po-Shen Loh

1.

En el cuadrilátero $ABCD,$ $\angle B$ es un ángulo recto, la diagonal $\overline{AC}$ es perpendicular a $\overline{CD},$ $AB = 18,$ $BC = 21,$ y $CD = 14.$ Halla el perímetro de $ABCD.$

In quadrilateral $ABCD,$ $\angle B$ is a right angle, diagonal $\overline{AC}$ is perpendicular to $\overline{CD},$ $AB = 18,$ $BC = 21,$ and $CD = 14.$ Find the perimeter of $ABCD.$

Respuesta

Conceptos:Teorema de Pitágoras perímetro

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

La diagonal $\overline{AC}$ divide el cuadrilátero en dos triángulos rectángulos que comparten $AC$

Diagonal $\overline{AC}$ splits the quadrilateral into two right triangles that share $AC$

Pista grande:

Aplica el teorema de Pitágoras dos veces: $DA^2 = (AB^2 + BC^2) + CD^2$

Apply the Pythagorean theorem twice: $DA^2 = (AB^2 + BC^2) + CD^2$

Solución:

El triángulo $ABC$ tiene un ángulo recto en $B,$ así que $AC^2 = 18^2 + 21^2 = 765.$ El triángulo $ACD$ tiene un ángulo recto en $C,$ así que $DA^2 = AC^2 + CD^2$ $= 765 + 196 = 961,$ de donde $DA = 31.$

El perímetro es $18 + 21 + 14 + 31 = 84.$

Triangle $ABC$ is right-angled at $B,$ so $AC^2 = 18^2 + 21^2 = 765.$ Triangle $ACD$ is right-angled at $C,$ so $DA^2 = AC^2 + CD^2$ $= 765 + 196 = 961,$ giving $DA = 31.$

The perimeter is $18 + 21 + 14 + 31 = 84.$

2.

Sea $\mathcal{A}$ un subconjunto de $90$ elementos de $\{1, 2, 3, \ldots, 100\},$ y sea $S$ la suma de los elementos de $\mathcal{A}.$ Halla el número de valores posibles de $S.$

Let set $\mathcal{A}$ be a $90$ -element subset of $\{1, 2, 3, \ldots, 100\},$ and let $S$ be the sum of the elements of $\mathcal{A}.$ Find the number of possible values of $S.$

Respuesta

Conceptos:subconjuntos argumento extremal conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Halla la menor y la mayor suma posibles, luego muestra que todo valor entre ellas se alcanza

Find the smallest and largest possible sums, then show every value between them occurs

Pista grande:

Si la suma no es máxima, algún elemento $k$ de $\mathcal{A}$ cumple $k + 1 \notin \mathcal{A};$ reemplazar $k$ por $k + 1$ aumenta la suma exactamente en $1$

If the sum is not maximal, some element $k$ of $\mathcal{A}$ has $k + 1 \notin \mathcal{A};$ replacing $k$ by $k + 1$ raises the sum by exactly $1$

Solución:

La menor suma posible es $1 + 2 + \cdots + 90 = 4095,$ y la mayor es $11 + 12 + \cdots + 100 = 4995.$

Todo entero intermedio también se alcanza. Supón que $\mathcal{A}$ tiene suma $S \le 4994,$ y sea $k$ el menor elemento de $\mathcal{A}$ con $k + 1 \notin \mathcal{A}.$ Si $k$ fuera $100,$ entonces $\mathcal{A}$ sería un bloque de enteros consecutivos que termina en $100,$ es decir $\{11, \ldots, 100\},$ cuya suma supera $4994.$ Por tanto $k \ne 100,$ y reemplazar $k$ por $k + 1$ produce un subconjunto de $90$ elementos con suma $S + 1.$

Por lo tanto $S$ toma todos los valores desde $4095$ hasta $4995,$ lo que da $4995 - 4095 + 1 = 901$ valores posibles.

The smallest possible sum is $1 + 2 + \cdots + 90 = 4095,$ and the largest is $11 + 12 + \cdots + 100 = 4995.$

Every integer in between also occurs. Suppose $\mathcal{A}$ has sum $S \le 4994,$ and let $k$ be the smallest element of $\mathcal{A}$ with $k + 1 \notin \mathcal{A}.$ If $k$ were $100,$ then $\mathcal{A}$ would be a block of consecutive integers ending at $100,$ namely $\{11, \ldots, 100\},$ whose sum exceeds $4994.$ So $k \ne 100,$ and replacing $k$ by $k + 1$ produces a $90$ -element subset with sum $S + 1.$

Hence $S$ takes every value from $4095$ to $4995,$ for $4995 - 4095 + 1 = 901$ possible values.

3.

Halla el menor entero positivo tal que, al borrar su dígito más a la izquierda, el entero resultante sea $\frac{1}{29}$ del entero original.

Find the least positive integer such that when its leftmost digit is deleted, the resulting integer is $\frac{1}{29}$ of the original integer.

Respuesta

Conceptos:dígitos valor posicional divisibilidad

Nivel de dificultad: 2020

Pista pequeña:

Si el dígito más a la izquierda $d$ ocupa la posición $10^p$ y queda $n$ tras borrarlo, entonces $d \cdot 10^p + n = 29n$

If the leftmost digit $d$ sits in the $10^p$ place and $n$ remains after deleting it, then $d \cdot 10^p + n = 29n$

Pista grande:

$d \cdot 10^p = 28n$ obliga a que $d$ sea divisible por $7,$ así que $d = 7$ y $10^p = 4n$

$d \cdot 10^p = 28n$ forces $d$ to be divisible by $7,$ so $d = 7$ and $10^p = 4n$

Solución:

Sea $d$ el dígito más a la izquierda y $n$ el entero que queda tras borrarlo, de modo que el entero original es $d \cdot 10^p + n$ para algún entero positivo $p.$ La condición dice que $d \cdot 10^p + n = 29n,$ así que $d \cdot 10^p = 28n.$

Como $28n$ es divisible por $7$ pero $10^p$ no lo es, el dígito $d$ debe ser múltiplo de $7,$ así que $d = 7.$ Entonces $10^p = 4n,$ lo que da $n = 25 \cdot 10^{p-2},$ que requiere $p \ge 2.$ El caso más pequeño es $p = 2,$ $n = 25.$

El menor entero de este tipo es $725,$ y en efecto $725 = 29 \cdot 25.$

Let $d$ be the leftmost digit and $n$ the integer that remains after deleting it, so the original integer is $d \cdot 10^p + n$ for some positive integer $p.$ The condition says $d \cdot 10^p + n = 29n,$ so $d \cdot 10^p = 28n.$

Since $28n$ is divisible by $7$ but $10^p$ is not, the digit $d$ must be a multiple of $7,$ so $d = 7.$ Then $10^p = 4n,$ giving $n = 25 \cdot 10^{p-2},$ which requires $p \ge 2.$ The smallest case is $p = 2,$ $n = 25.$

The least such integer is $725,$ and indeed $725 = 29 \cdot 25.$

4.

Sea $N$ el número de dígitos $0$ consecutivos al final de la representación decimal del producto $1!\,2!\,3!\,4! \cdots 99!\,100!.$ Halla el residuo cuando $N$ se divide entre $1000.$

Let $N$ be the number of consecutive $0$ ’s at the right end of the decimal representation of the product $1!\,2!\,3!\,4! \cdots 99!\,100!.$ Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$

Respuesta

Conceptos:ceros finales factorial sumatoria

Nivel de dificultad: 2400

Pista pequeña:

Cuenta los factores de $5:$ el entero $j$ aparece como factor en exactamente $101 - j$ de los factoriales

Count factors of $5:$ the integer $j$ appears as a factor in exactly $101 - j$ of the factorials

Pista grande:

Suma $101 - j$ sobre todos los múltiplos de $5,$ luego añade la misma suma sobre los múltiplos de $25$ por su segundo factor de $5$

Sum $101 - j$ over all multiples of $5,$ then add the same sum over multiples of $25$ for their second factor of $5$

Solución:

Los factores de $2$ abundan, así que $N$ es el exponente de $5$ en el producto. Cada entero $j$ con $1 \le j \le 100$ aparece como factor en exactamente $101 - j$ de los factoriales, a saber $j!, (j+1)!, \ldots, 100!.$

Cada múltiplo de $5$ aporta un factor de $5$ por cada aparición, y cada múltiplo de $25$ aporta uno más. Sobre $j = 5, 10, \ldots, 100$ las apariciones suman $96 + 91 + \cdots + 1 = \frac{20 \cdot 97}{2} = 970,$ y sobre $j = 25, 50, 75, 100$ suman $76 + 51 + 26 + 1 = 154.$

Por lo tanto $N = 970 + 154 = 1124,$ y el residuo al dividir entre $1000$ es $124.$

Factors of $2$ are plentiful, so $N$ is the exponent of $5$ in the product. Each integer $j$ with $1 \le j \le 100$ appears as a factor in exactly $101 - j$ of the factorials, namely $j!, (j+1)!, \ldots, 100!.$

Every multiple of $5$ contributes one factor of $5$ per appearance, and every multiple of $25$ contributes one more. Over $j = 5, 10, \ldots, 100$ the appearances total $96 + 91 + \cdots + 1 = \frac{20 \cdot 97}{2} = 970,$ and over $j = 25, 50, 75, 100$ they total $76 + 51 + 26 + 1 = 154.$

Hence $N = 970 + 154 = 1124,$ and the remainder upon division by $1000$ is $124.$

5.

El número $\small \sqrt{104\sqrt{6} + 468\sqrt{10} + 144\sqrt{15} + 2006}$ puede escribirse como $a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{5},$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos. Halla $a \cdot b \cdot c.$

The number $\small \sqrt{104\sqrt{6} + 468\sqrt{10} + 144\sqrt{15} + 2006}$ can be written as $a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{5},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers. Find $a \cdot b \cdot c.$

Respuesta

Conceptos:radical sistema de ecuaciones manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Eleva al cuadrado $a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{5}$ e iguala los coeficientes de $\sqrt{6},$ $\sqrt{10},$ y $\sqrt{15}$

Square $a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{5}$ and match the coefficients of $\sqrt{6},$ $\sqrt{10},$ and $\sqrt{15}$

Pista grande:

$(abc)^2 = (ab)(ac)(bc),$ así que nunca necesitas $a,$ $b,$ $c$ por separado

$(abc)^2 = (ab)(ac)(bc),$ so you never need $a,$ $b,$ $c$ individually

Solución:

Elevar al cuadrado $a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{5}$ da $\begin{aligned} &2a^2 + 3b^2 + 5c^2 \\ &\quad {}+ 2ab\sqrt{6} + 2ac\sqrt{10} \\ &\quad {}+ 2bc\sqrt{15}. \end{aligned}$ Igualar coeficientes produce $2ab = 104,$ $2ac = 468,$ $2bc = 144,$ es decir $ab = 52,$ $ac = 234,$ $bc = 72,$ junto con $2a^2 + 3b^2 + 5c^2 = 2006.$

Entonces $\begin{aligned} (abc)^2 &= (ab)(ac)(bc) \\ &= 52 \cdot 234 \cdot 72 \\ &= 876096 = 936^2, \end{aligned}$ así que $abc = 936.$ Como comprobación, $a = \frac{abc}{bc} = 13,$ $b = \frac{abc}{ac} = 4,$ $c = \frac{abc}{ab} = 18,$ y $\begin{aligned} &2 \cdot 169 + 3 \cdot 16 + 5 \cdot 324 \\ &= 338 + 48 + 1620 \\ &= 2006, \end{aligned}$ como se requería.

Por lo tanto $a \cdot b \cdot c = 936.$

Squaring $a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{5}$ gives $\begin{aligned} &2a^2 + 3b^2 + 5c^2 \\ &\quad {}+ 2ab\sqrt{6} + 2ac\sqrt{10} \\ &\quad {}+ 2bc\sqrt{15}. \end{aligned}$ Matching coefficients yields $2ab = 104,$ $2ac = 468,$ $2bc = 144,$ that is $ab = 52,$ $ac = 234,$ $bc = 72,$ along with $2a^2 + 3b^2 + 5c^2 = 2006.$

Then $\begin{aligned} (abc)^2 &= (ab)(ac)(bc) \\ &= 52 \cdot 234 \cdot 72 \\ &= 876096 = 936^2, \end{aligned}$ so $abc = 936.$ As a check, $a = \frac{abc}{bc} = 13,$ $b = \frac{abc}{ac} = 4,$ $c = \frac{abc}{ab} = 18,$ and $\begin{aligned} &2 \cdot 169 + 3 \cdot 16 + 5 \cdot 324 \\ &= 338 + 48 + 1620 \\ &= 2006, \end{aligned}$ as required.

Therefore $a \cdot b \cdot c = 936.$

6.

Sea $\mathcal{S}$ el conjunto de números reales que pueden representarse como decimales periódicos de la forma $0.\overline{abc}$ donde $a,$ $b,$ $c$ son dígitos distintos. Halla la suma de los elementos de $\mathcal{S}.$

Let $\mathcal{S}$ be the set of real numbers that can be represented as repeating decimals of the form $0.\overline{abc}$ where $a,$ $b,$ $c$ are distinct digits. Find the sum of the elements of $\mathcal{S}.$

Respuesta

Conceptos:decimal periódico dígitos simetría

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

$0.\overline{abc} = \frac{100a + 10b + c}{999},$ y hay $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ elementos que sumar

$0.\overline{abc} = \frac{100a + 10b + c}{999},$ and there are $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ elements to add

Pista grande:

Por simetría, cada dígito de $0$ a $9$ aparece exactamente $72$ veces en cada una de las tres posiciones

By symmetry each digit $0$ through $9$ appears exactly $72$ times in each of the three positions

Solución:

Cada elemento es igual a $0.\overline{abc} = \frac{100a + 10b + c}{999},$ y hay $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ ternas ordenadas de dígitos distintos. Por simetría, cada dígito de $0$ a $9$ aparece en cada una de las tres posiciones exactamente $\frac{720}{10} = 72$ veces.

Por lo tanto los numeradores suman $\begin{aligned} &72 (0 + 1 + \cdots + 9) \\ &\quad {}\cdot (100 + 10 + 1) \\ &= 72 \cdot 45 \cdot 111 = 359640, \end{aligned}$ así que la suma de los elementos es $\frac{359640}{999} = 360.$

Each element equals $0.\overline{abc} = \frac{100a + 10b + c}{999},$ and there are $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ ordered triples of distinct digits. By symmetry, each digit $0$ through $9$ appears in each of the three positions exactly $\frac{720}{10} = 72$ times.

The numerators therefore total $\begin{aligned} &72 (0 + 1 + \cdots + 9) \\ &\quad {}\cdot (100 + 10 + 1) \\ &= 72 \cdot 45 \cdot 111 = 359640, \end{aligned}$ so the sum of the elements is $\frac{359640}{999} = 360.$

7.

Se dibuja un ángulo sobre un conjunto de rectas paralelas igualmente espaciadas, como se muestra. La razón entre el área de la región sombreada $\mathcal{C}$ y el área de la región sombreada $\mathcal{B}$ es $\frac{11}{5}.$ Halla la razón entre el área de la región sombreada $\mathcal{D}$ y el área de la región sombreada $\mathcal{A}.$

An angle is drawn on a set of equally spaced parallel lines as shown. The ratio of the area of shaded region $\mathcal{C}$ to the area of shaded region $\mathcal{B}$ is $\frac{11}{5}.$ Find the ratio of the area of shaded region $\mathcal{D}$ to the area of shaded region $\mathcal{A}.$

Respuesta

Conceptos:semejanza razón de áreas diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 2500

Pista pequeña:

Con espaciado unitario, cada región es una diferencia de triángulos semejantes, así que las áreas escalan como los cuadrados de las distancias al vértice

With unit spacing, every region is a difference of similar triangles, so areas scale as squares of distances from the vertex

Pista grande:

Si $x$ es la distancia del vértice a la primera recta, entonces $\frac{\mathcal{C}}{\mathcal{B}} = \frac{2x+7}{2x+3} = \frac{11}{5}$ determina $x$

If $x$ is the vertex’s distance to the first line, then $\frac{\mathcal{C}}{\mathcal{B}} = \frac{2x+7}{2x+3} = \frac{11}{5}$ determines $x$

Solución:

Toma el espaciado entre rectas consecutivas como la unidad, y sea $x$ la distancia del vértice del ángulo a la primera recta. El triángulo recortado por la $j$ -ésima recta es semejante al triángulo $\mathcal{A}$ con razón $\frac{x + j - 1}{x},$ así que su área es proporcional a $(x + j - 1)^2,$ y la franja entre las rectas $j$ y $j + 1$ tiene área proporcional a $(x + j)^2$ $- (x + j - 1)^2 = 2x + 2j - 1.$

Las regiones $\mathcal{B},$ $\mathcal{C},$ y $\mathcal{D}$ son las franjas que comienzan en las rectas $2,$ $4,$ y $6,$ con áreas proporcionales a $2x + 3,$ $2x + 7,$ y $2x + 11.$ La razón dada produce $\frac{2x+7}{2x+3} = \frac{11}{5},$ así que $10x + 35 = 22x + 33$ y $x = \frac{1}{6}.$

Como $\mathcal{A}$ tiene área proporcional a $x^2,$ la razón pedida es $\frac{2x + 11}{x^2} = \frac{\frac{34}{3}}{\frac{1}{36}} = 408.$

Take the spacing between consecutive lines as the unit, and let $x$ be the distance from the vertex of the angle to the first line. The triangle cut off by the $j$ th line is similar to triangle $\mathcal{A}$ with ratio $\frac{x + j - 1}{x},$ so its area is proportional to $(x + j - 1)^2,$ and the strip between lines $j$ and $j + 1$ has area proportional to $(x + j)^2$ $- (x + j - 1)^2 = 2x + 2j - 1.$

Regions $\mathcal{B},$ $\mathcal{C},$ and $\mathcal{D}$ are the strips beginning at lines $2,$ $4,$ and $6,$ with areas proportional to $2x + 3,$ $2x + 7,$ and $2x + 11.$ The given ratio yields $\frac{2x+7}{2x+3} = \frac{11}{5},$ so $10x + 35 = 22x + 33$ and $x = \frac{1}{6}.$

Since $\mathcal{A}$ has area proportional to $x^2,$ the requested ratio is $\frac{2x + 11}{x^2} = \frac{\frac{34}{3}}{\frac{1}{36}} = 408.$

8.

El hexágono $ABCDEF$ está dividido en cinco rombos, $\mathcal{P},$ $\mathcal{Q},$ $\mathcal{R},$ $\mathcal{S},$ y $\mathcal{T},$ como se muestra. Los rombos $\mathcal{P},$ $\mathcal{Q},$ $\mathcal{R},$ y $\mathcal{S}$ son congruentes, y cada uno tiene área $\sqrt{2006}.$ Sea $K$ el área del rombo $\mathcal{T}.$ Dado que $K$ es un entero positivo, halla el número de valores posibles de $K.$

Hexagon $ABCDEF$ is divided into five rhombuses, $\mathcal{P},$ $\mathcal{Q},$ $\mathcal{R},$ $\mathcal{S},$ and $\mathcal{T},$ as shown. Rhombuses $\mathcal{P},$ $\mathcal{Q},$ $\mathcal{R},$ and $\mathcal{S}$ are congruent, and each has area $\sqrt{2006}.$ Let $K$ be the area of rhombus $\mathcal{T}.$ Given that $K$ is a positive integer, find the number of possible values for $K.$

Respuesta

Conceptos:rombo identidad trigonométrica conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Los cinco rombos comparten la misma longitud de lado, y los tres ángulos que se encuentran a lo largo de $\overline{AB}$ suman $180^\circ$

All five rhombuses share the same side length, and the three angles meeting along $\overline{AB}$ add to $180^\circ$

Pista grande:

Si cada rombo congruente tiene área $z^2 \sin\alpha,$ entonces $K = 2\sqrt{2006}\,\cos\alpha;$ halla a qué enteros positivos puede ser igual

If each congruent rhombus has area $z^2 \sin\alpha,$ then $K = 2\sqrt{2006}\,\cos\alpha;$ find which positive integers this can equal

Solución:

Como $\mathcal{T}$ comparte un lado con cada uno de los otros rombos, los cinco tienen la misma longitud de lado $z.$ Sea $Y$ el vértice de $\mathcal{T}$ sobre $\overline{AB},$ y sea $\alpha$ el ángulo de $\mathcal{P}$ en $Y.$ Entonces cada rombo congruente tiene área $z^2 \sin\alpha = \sqrt{2006}.$ Los ángulos de $\mathcal{P},$ $\mathcal{T},$ y $\mathcal{Q}$ en $Y$ están sobre la recta $AB,$ y por simetría el ángulo de $\mathcal{Q}$ allí también es igual a $\alpha,$ así que el ángulo de $\mathcal{T}$ es $180^\circ - 2\alpha.$ Por lo tanto $\begin{aligned} K &= z^2 \sin(180^\circ - 2\alpha) \\ &= z^2 \sin 2\alpha \\ &= 2 z^2 \sin\alpha \cos\alpha \\ &= 2\sqrt{2006}\,\cos\alpha. \end{aligned}$

Cuando $\alpha$ recorre $(0^\circ, 90^\circ),$ el valor $\cos\alpha$ toma todos los valores en $(0, 1),$ así que $K$ toma todos los valores en $\left(0, \sqrt{8024}\right).$ Como $89^2 = 7921$ $\lt 8024$ $\lt 8100 = 90^2,$ los valores enteros positivos posibles son $1, 2, \ldots, 89:$ hay $89$ de ellos.

Since $\mathcal{T}$ shares a side with each of the other rhombuses, all five have the same side length $z.$ Let $Y$ be the vertex of $\mathcal{T}$ on $\overline{AB},$ and let $\alpha$ be the angle of $\mathcal{P}$ at $Y.$ Then each congruent rhombus has area $z^2 \sin\alpha = \sqrt{2006}.$ The angles of $\mathcal{P},$ $\mathcal{T},$ and $\mathcal{Q}$ at $Y$ lie along the line $AB,$ and by symmetry $\mathcal{Q}$ ’s angle there also equals $\alpha,$ so $\mathcal{T}$ ’s angle is $180^\circ - 2\alpha.$ Hence $\begin{aligned} K &= z^2 \sin(180^\circ - 2\alpha) \\ &= z^2 \sin 2\alpha \\ &= 2 z^2 \sin\alpha \cos\alpha \\ &= 2\sqrt{2006}\,\cos\alpha. \end{aligned}$

As $\alpha$ ranges over $(0^\circ, 90^\circ),$ the value $\cos\alpha$ takes every value in $(0, 1),$ so $K$ takes every value in $\left(0, \sqrt{8024}\right).$ Since $89^2 = 7921$ $\lt 8024$ $\lt 8100 = 90^2,$ the possible positive integer values are $1, 2, \ldots, 89:$ there are $89$ of them.

9.

La sucesión $a_1,$ $a_2,$ $\ldots$ es geométrica con $a_1 = a$ y razón común $r,$ donde $a$ y $r$ son enteros positivos. Dado que $\log_8 a_1 + \log_8 a_2 + \cdots + \log_8 a_{12}$ $= 2006,$ halla el número de pares ordenados posibles $(a, r).$

The sequence $a_1,$ $a_2,$ $\ldots$ is geometric with $a_1 = a$ and common ratio $r,$ where $a$ and $r$ are positive integers. Given that $\log_8 a_1 + \log_8 a_2 + \cdots + \log_8 a_{12}$ $= 2006,$ find the number of possible ordered pairs $(a, r).$

Respuesta

Conceptos:logaritmo sucesión geométrica Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Combina los logaritmos: el producto de los doce términos es $a^{12} r^{66},$ que debe ser igual a $8^{2006}$

Combine the logs: the product of the twelve terms is $a^{12} r^{66},$ which must equal $8^{2006}$

Pista grande:

Escribe $a = 2^x,$ $r = 2^y$ y cuenta las soluciones no negativas de $2x + 11y = 1003;$ la paridad obliga a que $y$ sea impar

Write $a = 2^x,$ $r = 2^y$ and count nonnegative solutions of $2x + 11y = 1003;$ parity forces $y$ odd

Solución:

La suma de los logaritmos es $\log_8 (a_1 a_2 \cdots a_{12}) = \log_8\!\left(a^{12} r^{66}\right),$ así que $a^{12} r^{66} = 8^{2006} = 2^{6018},$ lo que da $a^2 r^{11} = 2^{1003}.$

Así, $a$ y $r$ son potencias de $2:$ escribe $a = 2^x$ y $r = 2^y$ con enteros $x, y \ge 0$ y $2x + 11y = 1003.$ Como $2x$ es par y $1003$ es impar, $y$ debe ser impar, digamos $y = 2k - 1$ con $k \ge 1.$ Entonces $x = 507 - 11k \ge 0$ exactamente cuando $k \le \lfloor \frac{507}{11} \rfloor = 46.$

Cada $k = 1, 2, \ldots, 46$ da un par, así que hay $46$ pares ordenados $(a, r).$

The sum of the logarithms is $\log_8 (a_1 a_2 \cdots a_{12}) = \log_8\!\left(a^{12} r^{66}\right),$ so $a^{12} r^{66} = 8^{2006} = 2^{6018},$ which gives $a^2 r^{11} = 2^{1003}.$

Thus $a$ and $r$ are powers of $2:$ write $a = 2^x$ and $r = 2^y$ with integers $x, y \ge 0$ and $2x + 11y = 1003.$ Since $2x$ is even and $1003$ is odd, $y$ must be odd, say $y = 2k - 1$ for $k \ge 1.$ Then $x = 507 - 11k \ge 0$ exactly when $k \le \lfloor \frac{507}{11} \rfloor = 46.$

Each $k = 1, 2, \ldots, 46$ gives one pair, so there are $46$ ordered pairs $(a, r).$

10.

Ocho círculos de diámetro $1$ están empaquetados en el primer cuadrante del plano coordenado, como se muestra. Sea $\mathcal{R}$ la unión de las ocho regiones circulares. La recta $\ell,$ de pendiente $3,$ divide $\mathcal{R}$ en dos regiones de igual área. La ecuación de la recta $\ell$ puede expresarse en la forma $ax = by + c,$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos cuyo máximo común divisor es $1.$ Halla $a^2 + b^2 + c^2.$

Eight circles of diameter $1$ are packed in the first quadrant of the coordinate plane as shown. Let region $\mathcal{R}$ be the union of the eight circular regions. Line $\ell,$ with slope $3,$ divides $\mathcal{R}$ into two regions of equal area. Line $\ell$ ’s equation can be expressed in the form $ax = by + c,$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers whose greatest common divisor is $1.$ Find $a^2 + b^2 + c^2.$

Respuesta

Conceptos:geometría analítica círculo simetría

Nivel de dificultad: 2610

Pista pequeña:

Cualquier recta que pase por el punto donde dos círculos congruentes se tocan divide el área de ese par en partes iguales

Any line through the point where two congruent circles touch splits that pair’s area evenly

Pista grande:

La recta que pasa por $\left(1, \frac{1}{2}\right)$ y $\left(\frac{3}{2}, 2\right)$ tiene pendiente $3$ y deja dos círculos completos a cada lado

The line through $\left(1, \frac{1}{2}\right)$ and $\left(\frac{3}{2}, 2\right)$ has slope $3$ and leaves two whole circles on each side

Solución:

Los círculos tienen radio $\frac{1}{2}$ y centros en $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right),$ $\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right),$ $\left(\frac{5}{2}, \frac{1}{2}\right),$ $\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right),$ $\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right),$ $\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right),$ $\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right),$ y $\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right).$ El par de círculos tangentes en $A = \left(1, \frac{1}{2}\right)$ es simétrico respecto de $A,$ así que cualquier recta que pase por $A$ biseca el área de ese par; de forma similar para el par tangente en $B = \left(\frac{3}{2}, 2\right).$ La recta $AB$ tiene pendiente $\frac{2 - \frac{1}{2}}{\frac{3}{2} - 1} = 3.$

La recta $AB$ no toca los cuatro círculos restantes, y exactamente dos de ellos quedan a cada lado, así que divide $\mathcal{R}$ en dos regiones de igual área. Al trasladar paralelamente una recta de pendiente $3$ , el área pasa estrictamente de un lado al otro, por lo que $\ell$ debe ser esta recta.

Su ecuación es $y - \frac{1}{2} = 3(x - 1),$ es decir, $6x = 2y + 5.$ Como $\gcd(6, 2, 5) = 1,$ la respuesta es $a^2 + b^2 + c^2 = 36 + 4 + 25 = 65.$

The circles have radius $\frac{1}{2}$ and centers at $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right),$ $\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right),$ $\left(\frac{5}{2}, \frac{1}{2}\right),$ $\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right),$ $\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right),$ $\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right),$ $\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right),$ and $\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right).$ The pair of circles tangent at $A = \left(1, \frac{1}{2}\right)$ is symmetric about $A,$ so any line through $A$ bisects that pair’s area; similarly for the pair tangent at $B = \left(\frac{3}{2}, 2\right).$ The line $AB$ has slope $\frac{2 - \frac{1}{2}}{\frac{3}{2} - 1} = 3.$

Line $AB$ misses the remaining four circles entirely, and exactly two of them lie on each side of it, so it divides $\mathcal{R}$ into two regions of equal area. Sliding a slope- $3$ line strictly shifts area from one side to the other, so $\ell$ must be this line.

Its equation is $y - \frac{1}{2} = 3(x - 1),$ that is, $6x = 2y + 5.$ With $\gcd(6, 2, 5) = 1,$ the answer is $a^2 + b^2 + c^2 = 36 + 4 + 25 = 65.$

11.

Una colección de $8$ cubos consta de un cubo de arista $k$ para cada entero $k,$ $1 \le k \le 8.$ Se va a construir una torre usando los $8$ cubos según las reglas:

• Cualquier cubo puede ser el cubo de la base de la torre.

• El cubo que se coloca inmediatamente encima de un cubo de arista $k$ debe tener arista a lo sumo $k + 2.$

Sea $T$ el número de torres diferentes que se pueden construir. ¿Cuál es el residuo cuando $T$ se divide entre $1000$ ?

A collection of $8$ cubes consists of one cube with edge-length $k$ for each integer $k,$ $1 \le k \le 8.$ A tower is to be built using all $8$ cubes according to the rules:

• Any cube may be the bottom cube in the tower.

• The cube immediately on top of a cube with edge-length $k$ must have edge-length at most $k + 2.$

Let $T$ be the number of different towers that can be constructed. What is the remainder when $T$ is divided by $1000?$

Respuesta

Conceptos:conteo recursivo biyección

Nivel de dificultad: 2760

Pista pequeña:

Construye torres de los cubos $1, \ldots, n + 1$ insertando el cubo más grande en una torre legal de los más pequeños

Build towers of the cubes $1, \ldots, n + 1$ by inserting the largest cube into a legal tower of the smaller ones

Pista grande:

Para $n \ge 2,$ el cubo $n + 1$ puede ir en la base, sobre el cubo $n,$ o sobre el cubo $n - 1,$ y el conteo se triplica en cada paso

For $n \ge 2,$ cube $n + 1$ can go on the bottom, on cube $n,$ or on cube $n - 1$ — the count triples at each step

Solución:

Sea $S(n)$ el número de torres legales que usan los cubos de aristas $1, \ldots, n.$ Dada una torre legal de $n \ge 2$ cubos, el cubo $n + 1$ puede insertarse en exactamente tres lugares: en la base, inmediatamente encima del cubo $n,$ o inmediatamente encima del cubo $n - 1$ (en cualquier otro lugar quedaría apoyado sobre un cubo de arista a lo sumo $n - 2,$ violando la regla). Cada inserción sigue siendo legal, porque el cubo que termina encima del cubo $n + 1$ tiene arista a lo sumo $n \lt (n+1) + 2.$ Recíprocamente, borrar el cubo $n + 1$ de una torre legal de $n + 1$ cubos deja una torre legal: el cubo que estaba encima de él, de arista a lo sumo $n,$ cae sobre un cubo de arista al menos $n - 1.$

Por lo tanto $S(n + 1) = 3 S(n)$ para $n \ge 2.$ Como $S(2) = 2$ (cualquiera de los dos cubos puede quedar arriba), obtenemos $T = S(8) = 2 \cdot 3^6 = 1458,$ y el residuo es $458.$

Let $S(n)$ be the number of legal towers using the cubes of edge-lengths $1, \ldots, n.$ Given a legal tower of $n \ge 2$ cubes, cube $n + 1$ can be inserted in exactly three places: at the bottom, immediately on top of cube $n,$ or immediately on top of cube $n - 1$ (anywhere else it would rest on a cube of edge-length at most $n - 2,$ violating the rule). Each insertion stays legal, because the cube that ends up on top of cube $n + 1$ has edge-length at most $n \lt (n+1) + 2.$ Conversely, deleting cube $n + 1$ from a legal tower of $n + 1$ cubes leaves a legal tower: the cube that was above it, of edge-length at most $n,$ lands on a cube of edge-length at least $n - 1.$

Hence $S(n + 1) = 3 S(n)$ for $n \ge 2.$ Since $S(2) = 2$ (either of the two cubes may be on top), we get $T = S(8) = 2 \cdot 3^6 = 1458,$ and the remainder is $458.$

12.

Halla la suma de los valores de $x$ tales que $\cos^3 3x + \cos^3 5x$ $= 8 \cos^3 4x \cos^3 x,$ donde $x$ se mide en grados y $100 \lt x \lt 200.$

Find the sum of the values of $x$ such that $\cos^3 3x + \cos^3 5x$ $= 8 \cos^3 4x \cos^3 x,$ where $x$ is measured in degrees and $100 \lt x \lt 200.$

Respuesta

Conceptos:identidad trigonométrica suma y diferencia de cubos análisis por casos

Nivel de dificultad: 2990

Pista pequeña:

Producto a suma: $2\cos 4x \cos x = \cos 5x + \cos 3x,$ así que la ecuación queda $y^3 + z^3 = (y + z)^3$

Product-to-sum: $2\cos 4x \cos x = \cos 5x + \cos 3x,$ so the equation reads $y^3 + z^3 = (y + z)^3$

Pista grande:

$(y+z)^3 - y^3 - z^3 = 3yz(y+z),$ así que uno de $\cos 3x,$ $\cos 5x,$ $\cos 4x \cos x$ debe anularse

$(y+z)^3 - y^3 - z^3 = 3yz(y+z),$ so one of $\cos 3x,$ $\cos 5x,$ $\cos 4x \cos x$ must vanish

Solución:

Por la identidad de producto a suma, $2 \cos 4x \cos x = \cos 5x + \cos 3x,$ así que el lado derecho es $(\cos 5x + \cos 3x)^3.$ Tomando $y = \cos 3x$ y $z = \cos 5x,$ la ecuación se convierte en $y^3 + z^3 = (y + z)^3,$ y como $(y+z)^3 - y^3 - z^3 = 3yz(y + z),$ se cumple exactamente cuando $\begin{aligned} \cos 3x &= 0, \\ \cos 5x &= 0, \end{aligned}$ o $\cos 4x \cos x = 0.$

Para $100 \lt x \lt 200$ en grados: $\cos 3x = 0$ da $x = 150;$ $\cos 5x = 0$ da $x = 126,$ $162,$ $198;$ $\cos 4x = 0$ da $x = 112.5,$ $157.5;$ y $\cos x = 0$ no da soluciones en el intervalo.

La suma es $\begin{aligned} &150 + 126 + 162 \\ &\quad {}+ 198 + 112.5 + 157.5 \\ &= 906. \end{aligned}$

By the product-to-sum identity, $2 \cos 4x \cos x = \cos 5x + \cos 3x,$ so the right side is $(\cos 5x + \cos 3x)^3.$ Setting $y = \cos 3x$ and $z = \cos 5x,$ the equation becomes $y^3 + z^3 = (y + z)^3,$ and since $(y+z)^3 - y^3 - z^3 = 3yz(y + z),$ it holds exactly when $\begin{aligned} \cos 3x &= 0, \\ \cos 5x &= 0, \end{aligned}$ or $\cos 4x \cos x = 0.$

For $100 \lt x \lt 200$ in degrees: $\cos 3x = 0$ gives $x = 150;$ $\cos 5x = 0$ gives $x = 126,$ $162,$ $198;$ $\cos 4x = 0$ gives $x = 112.5,$ $157.5;$ and $\cos x = 0$ gives no solutions in the interval.

The sum is $\begin{aligned} &150 + 126 + 162 \\ &\quad {}+ 198 + 112.5 + 157.5 \\ &= 906. \end{aligned}$

13.

Para cada entero positivo par $x,$ sea $g(x)$ la mayor potencia de $2$ que divide a $x.$ Por ejemplo, $g(20) = 4$ y $g(16) = 16.$ Para cada entero positivo $n,$ sea $S_n = \sum_{k=1}^{2^{n-1}} g(2k).$ Halla el mayor entero $n$ menor que $1000$ tal que $S_n$ sea un cuadrado perfecto.

For each even positive integer $x,$ let $g(x)$ denote the greatest power of $2$ that divides $x.$ For example, $g(20) = 4$ and $g(16) = 16.$ For each positive integer $n,$ let $S_n = \sum_{k=1}^{2^{n-1}} g(2k).$ Find the greatest integer $n$ less than $1000$ such that $S_n$ is a perfect square.

Respuesta

Conceptos:potencia de 2 cuadrado perfecto sumatoria

Nivel de dificultad: 2990

Pista pequeña:

$S_n$ suma $g$ sobre $2, 4, \ldots, 2^n;$ exactamente $2^{n-1-i}$ de estos números tienen $g = 2^i$

$S_n$ sums $g$ over $2, 4, \ldots, 2^n;$ exactly $2^{n-1-i}$ of these numbers have $g = 2^i$

Pista grande:

$S_n = (n+1) 2^{n-1},$ así que $n$ debe ser impar y $n + 1$ debe ser un cuadrado perfecto

$S_n = (n+1) 2^{n-1},$ so $n$ must be odd and $n + 1$ must be a perfect square

Solución:

$S_n$ es la suma de $g$ sobre los números pares $2, 4, \ldots, 2^n.$ Entre estos $2^{n-1}$ números, exactamente $2^{n-1-i}$ son divisibles por $2^i$ pero no por $2^{i+1}$ (así que tienen $g = 2^i$ ) para cada $1 \le i \le n - 1,$ y el único número $2^n$ tiene $g = 2^n.$ Por lo tanto $\begin{aligned} S_n &= \sum_{i=1}^{n-1} 2^i \cdot 2^{n-1-i} \\ &\quad {}+ 2^n \\ &= (n-1) 2^{n-1} + 2^n \\ &= (n+1) 2^{n-1}. \end{aligned}$

Si $n$ es par, entonces $n + 1$ es impar y el exponente $n - 1$ es impar, así que $S_n$ tiene un número impar de factores de $2$ y no puede ser un cuadrado perfecto. Si $n$ es impar, entonces $2^{n-1}$ ya es un cuadrado perfecto, así que $S_n$ es un cuadrado perfecto exactamente cuando $n + 1$ lo es.

Para $n$ impar, el número $n + 1$ es par, y el mayor cuadrado perfecto par que no supera $1000$ es $900 = 30^2.$ Así, el mayor $n \lt 1000$ válido es $n = 899.$

$S_n$ is the sum of $g$ over the even numbers $2, 4, \ldots, 2^n.$ Among these $2^{n-1}$ numbers, exactly $2^{n-1-i}$ are divisible by $2^i$ but not $2^{i+1}$ (so have $g = 2^i$ ) for each $1 \le i \le n - 1,$ and the single number $2^n$ has $g = 2^n.$ Hence $\begin{aligned} S_n &= \sum_{i=1}^{n-1} 2^i \cdot 2^{n-1-i} \\ &\quad {}+ 2^n \\ &= (n-1) 2^{n-1} + 2^n \\ &= (n+1) 2^{n-1}. \end{aligned}$

If $n$ is even, then $n + 1$ is odd and the exponent $n - 1$ is odd, so $S_n$ has an odd number of factors of $2$ and cannot be a perfect square. If $n$ is odd, then $2^{n-1}$ is already a perfect square, so $S_n$ is a perfect square exactly when $n + 1$ is.

For odd $n,$ the number $n + 1$ is even, and the greatest even perfect square at most $1000$ is $900 = 30^2.$ Thus the greatest valid $n \lt 1000$ is $n = 899.$

14.

Un trípode tiene tres patas, cada una de longitud $5$ pies. Cuando el trípode se arma, el ángulo entre cualquier par de patas es igual al ángulo entre cualquier otro par, y la parte superior del trípode está a $4$ pies del suelo. Al armar el trípode, el tramo inferior de $1$ pie de una pata se rompe y se desprende. Sea $h$ la altura en pies de la parte superior del trípode respecto del suelo cuando el trípode roto se arma. Entonces $h$ puede escribirse en la forma $\frac{m}{\sqrt{n}},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $\lfloor m + \sqrt{n} \rfloor.$ (La notación $\lfloor x \rfloor$ denota el mayor entero que es menor o igual que $x.$ )

A tripod has three legs each of length $5$ feet. When the tripod is set up, the angle between any pair of legs is equal to the angle between any other pair, and the top of the tripod is $4$ feet from the ground. In setting up the tripod, the lower $1$ foot of one leg breaks off. Let $h$ be the height in feet of the top of the tripod from the ground when the broken tripod is set up. Then $h$ can be written in the form $\frac{m}{\sqrt{n}},$ where $m$ and $n$ are positive integers and $n$ is not divisible by the square of any prime. Find $\lfloor m + \sqrt{n} \rfloor.$ (The notation $\lfloor x \rfloor$ denotes the greatest integer that is less than or equal to $x.$ )

Respuesta

Conceptos:Geometría 3D geometría analítica fórmula de la distancia simetría

Nivel de dificultad: 3270

Pista pequeña:

Fija coordenadas: la parte superior en $(0, 0, 4)$ y los pies a $3$ del origen; la pata rota termina ahora a $\frac{4}{5}$ del camino desde la parte superior hasta el pie antiguo

Set coordinates: top at $(0, 0, 4)$ and feet $3$ from the origin; the broken leg now ends $\frac{4}{5}$ of the way from top to old foot

Pista grande:

Por simetría, $h$ es una distancia en el plano $xz$ : desde $(0, 4)$ hasta la recta que pasa por el extremo roto y el punto medio de los otros dos pies

By symmetry $h$ is a 2D distance in the $xz$ -plane: from $(0, 4)$ to the line through the broken tip and the midpoint of the other two feet

Solución:

Coloca la parte superior en $T = (0, 0, 4).$ Cada pata tiene longitud $5,$ así que cada pie está a $3$ del origen: $A = (3, 0, 0),$ $B = \left(-\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}, 0\right),$ $C = \left(-\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}, 0\right).$ La pata rota tiene longitud $4,$ así que su extremo es $A' = \frac{4}{5}(3, 0, 0)$ $+ \frac{1}{5}(0, 0, 4)$ $= \left(\frac{12}{5}, 0, \frac{4}{5}\right),$ y el trípode ahora se apoya sobre el plano $A'BC,$ con $h$ igual a la distancia de $T$ a ese plano.

El plano $A'BC$ contiene $\overline{BC},$ que es paralelo al eje $y$ y pasa por el punto medio $M = \left(-\frac{3}{2}, 0, 0\right),$ así que su distancia a $T$ puede medirse en el plano $xz$ : es la distancia desde $(0, 4)$ hasta la recta que pasa por $\left(-\frac{3}{2}, 0\right)$ y $\left(\frac{12}{5}, \frac{4}{5}\right),$ cuya ecuación es $8x - 39z + 12 = 0.$ Por lo tanto $\begin{aligned} h &= \frac{|8 \cdot 0 - 39 \cdot 4 + 12|}{\sqrt{8^2 + 39^2}} \\ &= \frac{144}{\sqrt{1585}}. \end{aligned}$

Aquí $m = 144$ y $n = 1585 = 5 \cdot 317$ no tiene factores cuadrados. Como $39^2 = 1521 \lt 1585 \lt 1600,$ obtenemos $\lfloor 144 + \sqrt{1585} \rfloor$ $= 144 + 39 = 183.$

Place the top at $T = (0, 0, 4).$ Each leg has length $5,$ so each foot is $3$ from the origin: $A = (3, 0, 0),$ $B = \left(-\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}, 0\right),$ $C = \left(-\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}, 0\right).$ The broken leg has length $4,$ so its tip is $A' = \frac{4}{5}(3, 0, 0)$ $+ \frac{1}{5}(0, 0, 4)$ $= \left(\frac{12}{5}, 0, \frac{4}{5}\right),$ and the tripod now stands on the plane $A'BC,$ with $h$ equal to the distance from $T$ to that plane.

The plane $A'BC$ contains $\overline{BC},$ which is parallel to the $y$ -axis and passes through the midpoint $M = \left(-\frac{3}{2}, 0, 0\right),$ so its distance from $T$ can be measured in the $xz$ -plane: it is the distance from $(0, 4)$ to the line through $\left(-\frac{3}{2}, 0\right)$ and $\left(\frac{12}{5}, \frac{4}{5}\right),$ whose equation is $8x - 39z + 12 = 0.$ Therefore $\begin{aligned} h &= \frac{|8 \cdot 0 - 39 \cdot 4 + 12|}{\sqrt{8^2 + 39^2}} \\ &= \frac{144}{\sqrt{1585}}. \end{aligned}$

Here $m = 144$ and $n = 1585 = 5 \cdot 317$ is squarefree. Since $39^2 = 1521 \lt 1585 \lt 1600,$ we get $\lfloor 144 + \sqrt{1585} \rfloor$ $= 144 + 39 = 183.$

15.

Dado que una sucesión satisface $x_0 = 0$ y $|x_k| = |x_{k-1} + 3|$ para todos los enteros $k \ge 1,$ halla el mínimo valor posible de $|x_1 + x_2 + \cdots + x_{2006}|.$

Given that a sequence satisfies $x_0 = 0$ and $|x_k| = |x_{k-1} + 3|$ for all integers $k \ge 1,$ find the minimum possible value of $|x_1 + x_2 + \cdots + x_{2006}|.$

Respuesta

Conceptos:recursión telescópica paridad optimización

Nivel de dificultad: 3370

Pista pequeña:

Eleva al cuadrado la recurrencia: $x_k^2 = (x_{k-1} + 3)^2.$ La suma respecto de $k$ se telescopa y produce una fórmula para $x_1 + \cdots + x_{2006}.$

Square the recurrence: $x_k^2 = (x_{k-1} + 3)^2.$ Summing over $k$ telescopes into a formula for $x_1 + \cdots + x_{2006}.$

Pista grande:

Cada $x_k$ es múltiplo de $3$ con la paridad de $k,$ así que elige $x_{2007}$ con cuadrado lo más cercano posible a $9 \cdot 2007$

Each $x_k$ is a multiple of $3$ with the parity of $k,$ so choose $x_{2007}$ with square as close as possible to $9 \cdot 2007$

Solución:

Elevar al cuadrado la recurrencia da $x_k^2 = (x_{k-1} + 3)^2$ $= x_{k-1}^2 + 6 x_{k-1} + 9.$ Sumar para $k = 1$ hasta $2007$ se telescopa: $x_{2007}^2 = x_0^2 + 6 \sum_{k=0}^{2006} x_k + 9 \cdot 2007,$ así que con $x_0 = 0,$ $\begin{aligned} &x_1 + x_2 + \cdots + x_{2006} \\ &= \frac{x_{2007}^2 - 18063}{6}. \end{aligned}$

La inducción muestra que cada $x_k$ es múltiplo de $3$ cuya paridad coincide con la de $k,$ así que $x_{2007}$ es un múltiplo impar de $3.$ Para minimizar $\left|x_{2007}^2 - 18063\right|,$ toma el múltiplo impar de $3$ cuyo cuadrado sea el más cercano a $18063:$ es decir $\pm 135,$ con $135^2 = 18225,$ lo que da $\frac{18225 - 18063}{6} = 27$ (los vecinos $129$ y $141$ dan $237$ y $303$ ).

Este valor se alcanza: toma $x_k = 3k$ para $k \le 45,$ y a partir de ahí alterna $x_k = -138$ para $k$ par y $x_k = 135$ para $k$ impar; entonces $x_{2007} = 135$ y la suma es $27.$ Así que el mínimo es $27.$

Squaring the recurrence gives $x_k^2 = (x_{k-1} + 3)^2$ $= x_{k-1}^2 + 6 x_{k-1} + 9.$ Summing for $k = 1$ to $2007$ telescopes: $x_{2007}^2 = x_0^2 + 6 \sum_{k=0}^{2006} x_k + 9 \cdot 2007,$ so with $x_0 = 0,$ $\begin{aligned} &x_1 + x_2 + \cdots + x_{2006} \\ &= \frac{x_{2007}^2 - 18063}{6}. \end{aligned}$

Induction shows each $x_k$ is a multiple of $3$ whose parity matches that of $k,$ so $x_{2007}$ is an odd multiple of $3.$ To minimize $\left|x_{2007}^2 - 18063\right|,$ take the odd multiple of $3$ whose square is nearest $18063:$ that is $\pm 135,$ with $135^2 = 18225,$ giving $\frac{18225 - 18063}{6} = 27$ (the neighbors $129$ and $141$ give $237$ and $303$ ).

This value is attained: take $x_k = 3k$ for $k \le 45,$ and thereafter alternate $x_k = -138$ for even $k$ and $x_k = 135$ for odd $k;$ then $x_{2007} = 135$ and the sum is $27.$ So the minimum is $27.$