Question

Sea $ABC$ equilátero, y sean $D$ , $E$ y $F$ los puntos medios de $\overline{BC}$ , $\overline{CA}$ y $\overline{AB}$ , respectivamente. Existen puntos $P$ , $Q$ y $R$ sobre $\overline{DE}$ , $\overline{EF}$ y $\overline{FD}$ , respectivamente, con la propiedad de que $P$ está en $\overline{CQ}$ , $Q$ está en $\overline{AR}$ y $R$ está en $\overline{BP}$ . La razón entre el área del triángulo $ABC$ y el área del triángulo $PQR$ es $a + b\sqrt{c}$ , donde $a$ , $b$ y $c$ son enteros, y $c$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale $a^2 + b^2 + c^2$ ?

Let $ABC$ be equilateral, and $D,$ $E,$ and $F$ be the midpoints of $\overline{BC},$ $\overline{CA},$ and $\overline{AB},$ respectively. There exist points $P,$ $Q,$ and $R$ on $\overline{DE},$ $\overline{EF},$ and $\overline{FD},$ respectively, with the property that $P$ is on $\overline{CQ},$ $Q$ is on $\overline{AR},$ and $R$ is on $\overline{BP}.$ The ratio of the area of triangle $ABC$ to the area of triangle $PQR$ is $a + b\sqrt{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are integers, and $c$ is not divisible by the square of any prime. What is $a^2 + b^2 + c^2?$

Respuesta

Solución:

Coloca $A = (0, \sqrt{3})$ , $B = (-1, 0)$ , $C = (1, 0)$ , de modo que $D = (0, 0)$ , $E = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ , $F = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ . La rotación de $120^\circ$ alrededor del centro $G$ envía $A \to B \to C$ y $D \to E \to F$ , así que podemos tomar la configuración simétrica $P = D + t(E - D)$ , $Q = E + t(F - E)$ , $R = F + t(D - F)$ ; la rotación lleva entonces la condición " $P$ en $\overline{CQ}$ " a las otras dos condiciones, así que basta hacer que $C$ , $P$ , $Q$ sean colineales.

Con $P = \left(\frac{t}{2}, \frac{t\sqrt{3}}{2}\right)$ y $Q = \left(\frac{1}{2} - t, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ , el producto vectorial de $\overrightarrow{CP}$ y $\overrightarrow{CQ}$ es un múltiplo de $1 - t - t^2$ , así que $t^2 + t - 1 = 0$ y $t = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ . Ambos triángulos son equiláteros con centro $G = \left(0, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ , así que la razón de áreas es $\frac{GA^2}{GP^2}$ . Usando $t^2 = 1 - t$ , $\begin{aligned} GP^2 &= \frac{t^2}{4} + 3\left(\frac{t}{2} - \frac{1}{3}\right)^2 \\ &= t^2 - t + \frac{1}{3} \\ &= \frac{7}{3} - \sqrt{5}, \\ GA^2 &= \frac{4}{3}. \end{aligned}$

Por lo tanto $\begin{aligned} \frac{[ABC]}{[PQR]} &= \frac{4/3}{7/3 - \sqrt{5}} \\ &= \frac{4}{7 - 3\sqrt{5}} \\ &= 7 + 3\sqrt{5}, \end{aligned}$ así que $a = 7$ , $b = 3$ , $c = 5$ , y $a^2 + b^2 + c^2 = 49 + 9 + 25 = 83$ .

Place $A = (0, \sqrt{3}),$ $B = (-1, 0),$ $C = (1, 0),$ so $D = (0, 0),$ $E = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right),$ $F = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right).$ The $120^\circ$ rotation about the center $G$ sends $A \to B \to C$ and $D \to E \to F,$ so we may take the symmetric configuration $P = D + t(E - D),$ $Q = E + t(F - E),$ $R = F + t(D - F);$ the rotation then carries the condition " $P$ on $\overline{CQ}$ " to the other two conditions, so it suffices to make $C,$ $P,$ $Q$ collinear.

With $P = \left(\frac{t}{2}, \frac{t\sqrt{3}}{2}\right)$ and $Q = \left(\frac{1}{2} - t, \frac{\sqrt{3}}{2}\right),$ the cross product of $\overrightarrow{CP}$ and $\overrightarrow{CQ}$ is a multiple of $1 - t - t^2,$ so $t^2 + t - 1 = 0$ and $t = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}.$ Both triangles are equilateral with center $G = \left(0, \frac{\sqrt{3}}{3}\right),$ so the area ratio is $\frac{GA^2}{GP^2}.$ Using $t^2 = 1 - t,$ $\begin{aligned} GP^2 &= \frac{t^2}{4} + 3\left(\frac{t}{2} - \frac{1}{3}\right)^2 \\ &= t^2 - t + \frac{1}{3} \\ &= \frac{7}{3} - \sqrt{5}, \\ GA^2 &= \frac{4}{3}. \end{aligned}$

Hence $\begin{aligned} \frac{[ABC]}{[PQR]} &= \frac{4/3}{7/3 - \sqrt{5}} \\ &= \frac{4}{7 - 3\sqrt{5}} \\ &= 7 + 3\sqrt{5}, \end{aligned}$ so $a = 7,$ $b = 3,$ $c = 5,$ and $a^2 + b^2 + c^2 = 49 + 9 + 25 = 83.$

1998 AIME Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años