Question

Los miembros de un comité distinguido estaban eligiendo un presidente, y cada miembro dio un voto a uno de los $27$ candidatos. Para cada candidato, el porcentaje exacto de votos que obtuvo el candidato era menor en al menos $1$ que el número de votos de ese candidato. ¿Cuál es el menor número posible de miembros del comité?

The members of a distinguished committee were choosing a president, and each member gave one vote to one of the $27$ candidates. For each candidate, the exact percentage of votes the candidate got was smaller by at least $1$ than the number of votes for that candidate. What is the smallest possible number of members of the committee?

Respuesta

Respuesta: 134

Conceptos:porcentaje desigualdad argumento extremal

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

Si un candidato obtuvo $n$ votos de $t,$ la condición dice $\frac{100n}{t} \le n - 1,$ es decir, $n \ge \frac{t}{t - 100}$

If a candidate got $n$ votes out of $t,$ the condition says $\frac{100n}{t} \le n - 1,$ i.e. $n \ge \frac{t}{t - 100}$

Pista grande:

Como $n$ es entero, cada candidato necesita $\lceil \frac{t}{t-100} \rceil$ votos, así que $t \ge 27 \lceil \frac{t}{t-100} \rceil;$ halla el menor $t$ que cumpla esto y una distribución de votos

Since $n$ is an integer, each candidate needs $\lceil \frac{t}{t-100} \rceil$ votes, so $t \ge 27 \lceil \frac{t}{t-100} \rceil;$ find the smallest such $t$ and a vote distribution

Solución:

Sea $t$ el número de miembros. Un candidato con $n$ votos tiene porcentaje $\frac{100n}{t},$ así que la condición es $\frac{100n}{t} \le n - 1,$ que se reordena como $n(t - 100) \ge t.$ Esto obliga a que $t \gt 100$ y $n \ge \frac{t}{t - 100}.$

Si $t \le 133,$ entonces $\frac{t}{t - 100} \ge \frac{133}{33} \gt 4,$ así que cada candidato necesita al menos $5$ votos, y el total es al menos $27 \cdot 5 = 135 \gt t,$ lo cual es imposible.

Para $t = 134,$ cada candidato necesita $n \ge \frac{134}{34},$ es decir, al menos $4$ votos, y esto es alcanzable: haz que $26$ candidatos reciban $4$ votos cada uno y uno reciba $30.$ En efecto $\frac{400}{134} \approx 2.99 \le 3$ y $\frac{3000}{134} \approx 22.4 \le 29.$ Así que el menor número posible de miembros es $134.$

Let $t$ be the number of members. A candidate with $n$ votes has percentage $\frac{100n}{t},$ so the condition is $\frac{100n}{t} \le n - 1,$ which rearranges to $n(t - 100) \ge t.$ This forces $t \gt 100$ and $n \ge \frac{t}{t - 100}.$

If $t \le 133,$ then $\frac{t}{t - 100} \ge \frac{133}{33} \gt 4,$ so every candidate needs at least $5$ votes, and the total is at least $27 \cdot 5 = 135 \gt t$ — impossible.

For $t = 134,$ each candidate needs $n \ge \frac{134}{34},$ i.e. at least $4$ votes, and this is achievable: let $26$ candidates receive $4$ votes each and one receive $30.$ Indeed $\frac{400}{134} \approx 2.99 \le 3$ and $\frac{3000}{134} \approx 22.4 \le 29.$ So the smallest possible number of members is $134.$

2003 AIME II Problema 12

Respuesta: 134

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años