Question

Los miembros de un comité distinguido estaban eligiendo un presidente, y cada miembro dio un voto a uno de los

27

candidatos. Para cada candidato, el porcentaje exacto de votos que obtuvo el candidato era menor en al menos

1

que el número de votos de ese candidato. ¿Cuál es el menor número posible de miembros del comité?

The members of a distinguished committee were choosing a president, and each member gave one vote to one of the

27

candidates. For each candidate, the exact percentage of votes the candidate got was smaller by at least

1

than the number of votes for that candidate. What is the smallest possible number of members of the committee?

Respuesta

Respuesta: 134

Conceptos:porcentaje desigualdad argumento extremal

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

Si un candidato obtuvo

n

votos de

t,

la condición dice

\frac{100n}{t} \le n - 1,

es decir,

n \ge \frac{t}{t - 100}

If a candidate got

n

votes out of

t,

the condition says

\frac{100n}{t} \le n - 1,

i.e.

n \ge \frac{t}{t - 100}

Pista grande:

Como

n

es entero, cada candidato necesita

\lceil \frac{t}{t-100} \rceil

votos, así que

t \ge 27 \lceil \frac{t}{t-100} \rceil;

halla el menor

t

que cumpla esto y una distribución de votos

Since

n

is an integer, each candidate needs

\lceil \frac{t}{t-100} \rceil

votes, so

t \ge 27 \lceil \frac{t}{t-100} \rceil;

find the smallest such

t

and a vote distribution

Solución:

Sea

t

el número de miembros. Un candidato con

n

votos tiene porcentaje

\frac{100n}{t},

así que la condición es

\frac{100n}{t} \le n - 1,

que se reordena como

n(t - 100) \ge t.

Esto obliga a que

t \gt 100

y

n \ge \frac{t}{t - 100}.

Si

t \le 133,

entonces

\frac{t}{t - 100} \ge \frac{133}{33} \gt 4,

así que cada candidato necesita al menos

5

votos, y el total es al menos

27 \cdot 5 = 135 \gt t,

lo cual es imposible.

Para

t = 134,

cada candidato necesita

n \ge \frac{134}{34},

es decir, al menos

4

votos, y esto es alcanzable: haz que

26

candidatos reciban

4

votos cada uno y uno reciba

30.

En efecto

\frac{400}{134} \approx 2.99 \le 3

y

\frac{3000}{134} \approx 22.4 \le 29.

Así que el menor número posible de miembros es

134.

Let

t

be the number of members. A candidate with

n

votes has percentage

\frac{100n}{t},

so the condition is

\frac{100n}{t} \le n - 1,

which rearranges to

n(t - 100) \ge t.

This forces

t \gt 100

and

n \ge \frac{t}{t - 100}.

If

t \le 133,

then

\frac{t}{t - 100} \ge \frac{133}{33} \gt 4,

so every candidate needs at least

5

votes, and the total is at least

27 \cdot 5 = 135 \gt t

— impossible.

For

t = 134,

each candidate needs

n \ge \frac{134}{34},

i.e. at least

4

votes, and this is achievable: let

26

candidates receive

4

votes each and one receive

30.

Indeed

\frac{400}{134} \approx 2.99 \le 3

and

\frac{3000}{134} \approx 22.4 \le 29.

So the smallest possible number of members is

134.

2003 AIME II Problema 12

Respuesta: 134

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años