El segmento de $(\cos\theta, 0)$ a $(0, \sin\theta)$ está sobre $\frac{x}{\cos\theta} + \frac{y}{\sin\theta} = 1;$ $\overline{AB}$ es el miembro $\theta = 60^\circ$

Igualar a cero la derivada respecto a $\theta$ de $\frac{x}{\cos\theta} + \frac{y}{\sin\theta}$ en $\theta = 60^\circ$ da $y = 3\sqrt{3}\,x;$ corta eso con $\overline{AB}$

Los miembros de $\mathcal{F}$ son los segmentos que van de $(\cos\theta, 0)$ a $(0, \sin\theta)$ para $0 \lt \theta \lt 90^\circ,$ sobre las rectas $\frac{x}{\cos\theta} + \frac{y}{\sin\theta} = 1;$ el segmento $\overline{AB}$ corresponde a $\theta = 60^\circ.$ Para un punto $(x, y)$ de $\overline{AB}$ con $x, y \gt 0,$ sea $$g(\theta) = \frac{x}{\cos\theta} + \frac{y}{\sin\theta} - 1,$$ de modo que el punto pertenece al segmento de ángulo $\theta$ exactamente cuando $g(\theta) = 0.$ Observemos que $g \to +\infty$ en ambos extremos de $(0^\circ, 90^\circ)$ y que $g(60^\circ) = 0.$ Si $g'(60^\circ) \neq 0,$ entonces $g$ es negativa a un lado de $60^\circ,$ y el teorema del valor intermedio produce otro cero en ese lado; el punto queda cubierto por otro segmento. Por tanto, $C$ debe satisfacer $g'(60^\circ) = 0.$ Como $\sec\theta$ y $\csc\theta$ son estrictamente convexas en este intervalo, $g$ es estrictamente convexa; así, para ese punto, $60^\circ$ es el mínimo global estricto de $g,$ y ningún otro segmento lo contiene.

Ahora, $g'(\theta) = \frac{x \sin\theta}{\cos^2\theta} - \frac{y \cos\theta}{\sin^2\theta},$ y $g'(60^\circ) = 0$ da $x \sin^3 60^\circ = y \cos^3 60^\circ,$ es decir, $y = 3\sqrt{3}\,x.$ Al intersectar con $\overline{AB}:$ $y = \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}\,x$, obtenemos $3x = \frac{1}{2} - x,$ así que $x = \frac{1}{8}$ y $y = \frac{3\sqrt{3}}{8},$ un punto interior de $\overline{AB}.$

Por tanto, $OC^2 = \frac{1}{64} + \frac{27}{64} = \frac{28}{64} = \frac{7}{16},$ y $p + q = 7 + 16 = 23.$