Question

Sea $\omega \neq 1$ una raíz $13$ -ésima de la unidad. Halla el resto cuando $\prod_{k=0}^{12} \left(2 - 2\omega^k + \omega^{2k}\right)$ se divide entre $1000.$

Let $\omega \neq 1$ be a $13$ th root of unity. Find the remainder when $\prod_{k=0}^{12} \left(2 - 2\omega^k + \omega^{2k}\right)$ is divided by $1000.$

Respuesta

Solución:

Como $2 - 2x + x^2 = (x - 1)^2 + 1$ $= (x - (1+i))(x - (1-i)),$ cada factor del producto se descompone, y cuando $k$ recorre de $0$ a $12,$ $\omega^k$ recorre todas las raíces $13$ -ésimas de la unidad. Como $\prod_k (x - \omega^k) = x^{13} - 1,$ para cualquier $\alpha$ obtenemos $\prod_k (\omega^k - \alpha) = (-1)^{13}(\alpha^{13} - 1)$ $= 1 - \alpha^{13}.$ Por lo tanto el producto es igual a $\left(1 - (1+i)^{13}\right)\left(1 - (1-i)^{13}\right).$

Como $(1+i)^2 = 2i,$ obtenemos $(1+i)^{13} = (1+i)(2i)^6$ $= -64(1 + i) = -64 - 64i,$ y por conjugación $(1-i)^{13} = -64 + 64i.$ Así que el producto es $\begin{gathered} (65 + 64i)(65 - 64i) \\ = 65^2 + 64^2 = 4225 + 4096 \\ = 8321, \end{gathered}$ cuyo resto al dividir entre $1000$ es $321.$

Since $2 - 2x + x^2 = (x - 1)^2 + 1$ $= (x - (1+i))(x - (1-i)),$ each factor of the product splits, and as $k$ runs from $0$ to $12,$ $\omega^k$ runs over all $13$ th roots of unity. Because $\prod_k (x - \omega^k) = x^{13} - 1,$ for any $\alpha$ we get $\prod_k (\omega^k - \alpha) = (-1)^{13}(\alpha^{13} - 1)$ $= 1 - \alpha^{13}.$ Hence the product equals $\left(1 - (1+i)^{13}\right)\left(1 - (1-i)^{13}\right).$

Since $(1+i)^2 = 2i,$ we get $(1+i)^{13} = (1+i)(2i)^6$ $= -64(1 + i) = -64 - 64i,$ and by conjugation $(1-i)^{13} = -64 + 64i.$ So the product is $\begin{gathered} (65 + 64i)(65 - 64i) \\ = 65^2 + 64^2 = 4225 + 4096 \\ = 8321, \end{gathered}$ whose remainder upon division by $1000$ is $321.$

2024 AIME II Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años