Question

En el triángulo $ABC,$ el punto $D$ está en $\overline{BC}$ con $CD = 2$ y $DB = 5,$ el punto $E$ está en $\overline{AC}$ con $CE = 1$ y $EA = 3,$ $AB = 8,$ y $\overline{AD}$ y $\overline{BE}$ se intersecan en $P.$ Los puntos $Q$ y $R$ están en $\overline{AB}$ de modo que $\overline{PQ}$ es paralela a $\overline{CA}$ y $\overline{PR}$ es paralela a $\overline{CB}.$ Se sabe que la razón entre el área del triángulo $PQR$ y el área del triángulo $ABC$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

In triangle $ABC,$ point $D$ is on $\overline{BC}$ with $CD = 2$ and $DB = 5,$ point $E$ is on $\overline{AC}$ with $CE = 1$ and $EA = 3,$ $AB = 8,$ and $\overline{AD}$ and $\overline{BE}$ intersect at $P.$ Points $Q$ and $R$ lie on $\overline{AB}$ so that $\overline{PQ}$ is parallel to $\overline{CA}$ and $\overline{PR}$ is parallel to $\overline{CB}.$ It is given that the ratio of the area of triangle $PQR$ to the area of triangle $ABC$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 901

Conceptos:puntos de masa homotecia razón de áreas

Nivel de dificultad: 2990

Pista pequeña:

Método de masas: las masas $5,$ $6,$ $15$ en $A,$ $B,$ $C$ equilibran ambas cevianas y determinan $P;$ prolonga $\overline{CP}$ hasta cortar $\overline{AB}$ en $F$

Mass points: masses $5,$ $6,$ $15$ at $A,$ $B,$ $C$ balance both cevians and locate $P;$ extend $\overline{CP}$ to meet $\overline{AB}$ at $F$

Pista grande:

El triángulo $PQR$ es la imagen del triángulo $CAB$ bajo la homotecia centrada en $F$ que lleva $C$ a $P,$ así que la razón de áreas es $(\frac{FP}{FC})^2$

Triangle $PQR$ is the image of triangle $CAB$ under the homothety centered at $F$ taking $C$ to $P,$ so the area ratio is $(\frac{FP}{FC})^2$

Solución:

Asigna masas $5$ en $A,$ $6$ en $B,$ y $15$ en $C.$ Entonces $E$ equilibra $\overline{AC}$ ( $5 \cdot 3 = 15 \cdot 1$ ) y $D$ equilibra $\overline{BC}$ ( $6 \cdot 5 = 15 \cdot 2$ ), así que las cevianas $\overline{AD}$ y $\overline{BE}$ se encuentran en el centro de masa $P,$ de masa total $26.$ Extendiendo $\overline{CP}$ para que corte $\overline{AB}$ en $F,$ la masa en $F$ es $5 + 6 = 11,$ así que en el segmento $CF$ obtenemos $CP : PF = 11 : 15,$ es decir, $\frac{FP}{FC} = \frac{15}{26}.$

La homotecia centrada en $F$ con razón $\frac{15}{26}$ envía $C$ a $P$ y transforma la recta $AB$ en sí misma; lleva la recta $CA$ a la recta paralela que pasa por $P$ , es decir, la recta $PQ$ , y la recta $CB$ a la recta $PR.$ Por lo tanto transforma el triángulo $CAB$ en el triángulo $PQR,$ y $\frac{[PQR]}{[ABC]} = \left(\frac{15}{26}\right)^2 = \frac{225}{676}.$

Como $\gcd(225, 676) = 1,$ la respuesta es $m + n = 225 + 676 = 901.$

Assign masses $5$ at $A,$ $6$ at $B,$ and $15$ at $C.$ Then $E$ balances $\overline{AC}$ ( $5 \cdot 3 = 15 \cdot 1$ ) and $D$ balances $\overline{BC}$ ( $6 \cdot 5 = 15 \cdot 2$ ), so the cevians $\overline{AD}$ and $\overline{BE}$ meet at the center of mass $P,$ of total mass $26.$ Extending $\overline{CP}$ to meet $\overline{AB}$ at $F,$ the mass at $F$ is $5 + 6 = 11,$ so on segment $CF$ we get $CP : PF = 11 : 15,$ that is, $\frac{FP}{FC} = \frac{15}{26}.$

The homothety centered at $F$ with ratio $\frac{15}{26}$ sends $C$ to $P$ and maps line $AB$ to itself; it carries line $CA$ to the parallel line through $P$ — which is line $PQ$ — and line $CB$ to line $PR.$ Hence it maps triangle $CAB$ onto triangle $PQR,$ and $\frac{[PQR]}{[ABC]} = \left(\frac{15}{26}\right)^2 = \frac{225}{676}.$

Since $\gcd(225, 676) = 1,$ the answer is $m + n = 225 + 676 = 901.$

2002 AIME II Problema 13

Respuesta: 901

Nivel de dificultad: 2990

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años