Question

Misha lanza un dado estándar, justo, de seis caras hasta que obtiene $1$ - $2$ - $3$ en ese orden en tres lanzamientos consecutivos. La probabilidad de que lance el dado un número impar de veces es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Misha rolls a standard, fair six-sided die until she rolls $1$ - $2$ - $3$ in that order on three consecutive rolls. The probability that she will roll the die an odd number of times is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Sea $a$ la probabilidad de que el número total de lanzamientos sea impar; sea $b$ esa probabilidad dado que el primer lanzamiento es un $1,$ y $c$ dado que los dos primeros lanzamientos son $1$ - $2$ (en cada caso contando todos los lanzamientos). Condiciona sobre el siguiente lanzamiento, notando que cada vez que el conteo se reinicia, los lanzamientos ya usados invierten la paridad requerida. Empezando de cero: un $1$ lleva al estado $b;$ cualquier otra cosa usa un lanzamiento, tras el cual se necesita una continuación par. Tras un $1:$ otro $1$ significa que el primer lanzamiento se desperdicia, y se necesita una continuación par del tipo $b$ ; un $2$ lleva a $c;$ cualquier otra cosa desperdicia ambos lanzamientos. Tras $1$ - $2:$ un $3$ termina en $3$ lanzamientos (impar); un $1$ reinicia en el estado $b$ con dos lanzamientos desperdiciados; cualquier otra cosa desperdicia los tres. Así $\begin{aligned} a &= \frac{1}{6}b + \frac{5}{6}(1 - a), \\ b &= \frac{1}{6}(1 - b) + \frac{1}{6}c + \frac{4}{6}a, \\ c &= \frac{1}{6}b + \frac{1}{6} + \frac{4}{6}(1 - a). \end{aligned}$

La primera ecuación da $b = 11a - 5;$ sustituir la tercera en la segunda produce $41b = 11 + 20a,$ así que $41(11a - 5) = 11 + 20a,$ lo que da $431a = 216$ y $a = \frac{216}{431}.$ Como $431$ es primo, $m + n = 216 + 431 = 647.$

Let $a$ be the probability that the total number of rolls is odd; let $b$ be that probability given that the first roll is a $1,$ and $c$ given that the first two rolls are $1$ - $2$ (in each case counting all rolls). Condition on the next roll, noting that whenever the count restarts, the rolls already used flip the required parity. Starting fresh: a $1$ leads to state $b;$ anything else uses one roll, after which an even continuation is needed. After a $1:$ another $1$ means the first roll is wasted, needing an even continuation of the $b$ -type; a $2$ leads to $c;$ anything else wastes both rolls. After $1$ - $2:$ a $3$ finishes in $3$ rolls (odd); a $1$ restarts at the $b$ -state with two wasted rolls; anything else wastes all three. Thus $\begin{aligned} a &= \frac{1}{6}b + \frac{5}{6}(1 - a), \\ b &= \frac{1}{6}(1 - b) + \frac{1}{6}c + \frac{4}{6}a, \\ c &= \frac{1}{6}b + \frac{1}{6} + \frac{4}{6}(1 - a). \end{aligned}$

The first equation gives $b = 11a - 5;$ substituting the third into the second yields $41b = 11 + 20a,$ so $41(11a - 5) = 11 + 20a,$ giving $431a = 216$ and $a = \frac{216}{431}.$ Since $431$ is prime, $m + n = 216 + 431 = 647.$

2018 AIME II Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años