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2001 AIME II Problema 13

Intenta el Problema 13 del 2001 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2001 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

13.

En el cuadrilátero ABCD,ABCD, ∠BAD≅∠ADC\angle BAD \cong \angle ADC y ∠ABD≅∠BCD,\angle ABD \cong \angle BCD, AB=8,AB = 8, BD=10,BD = 10, y BC=6.BC = 6. La longitud CDCD se puede escribir en la forma mn,\frac{m}{n}, donde mm y nn son enteros positivos primos entre sí. Halla m+n.m + n.
In quadrilateral ABCD,ABCD, ∠BAD≅∠ADC\angle BAD \cong \angle ADC and ∠ABD≅∠BCD,\angle ABD \cong \angle BCD, AB=8,AB = 8, BD=10,BD = 10, and BC=6.BC = 6. The length CDCD may be written in the form mn,\frac{m}{n}, where mm and nn are relatively prime positive integers. Find m+n.m + n.
Respuesta: 69
Conceptos:semejanzatriángulo isóscelespersecución de ángulos
Nivel de dificultad: 2990
Pista pequeña:
Prolonga AB‾\overline{AB} y DC‾\overline{DC} hasta que se corten en P;P; los ángulos iguales en AA y DD obligan a PA=PDPA = PD.
Extend AB‾\overline{AB} and DC‾\overline{DC} to meet at P;P; the equal angles at AA and DD force PA=PDPA = PD
Pista grande:
Los ángulos PBDPBD y PCBPCB son suplementarios de los ángulos iguales dados, así que los triángulos PCBPCB y PBDPBD son semejantes.
Angles PBDPBD and PCBPCB are supplements of the given equal angles, so triangles PCBPCB and PBDPBD are similar
Solución:
Prolonga AB‾\overline{AB} más allá de BB y DC‾\overline{DC} más allá de CC hasta que se corten en P.P. Como ∠PAD=∠PDA,\angle PAD = \angle PDA, el triángulo APDAPD es isósceles con PA=PD.PA = PD. Además, ∠PBD=180∘−∠ABD\angle PBD = 180^\circ - \angle ABD y ∠PCB=180∘−∠BCD,\angle PCB = 180^\circ - \angle BCD, así que ∠PBD=∠PCB.\angle PBD = \angle PCB.
Los triángulos PCBPCB y PBDPBD comparten el ángulo PP y tienen ∠PCB=∠PBD,\angle PCB = \angle PBD, así que son semejantes, lo que da PCPB=PBPD=CBBD=35.\frac{PC}{PB} = \frac{PB}{PD} = \frac{CB}{BD} = \frac{3}{5}. Como PB=PA−8=PD−8,PB = PA - 8 = PD - 8, la razón central queda PD−8PD=35,\frac{PD - 8}{PD} = \frac{3}{5}, así que PD=20PD = 20 y PB=12.PB = 12. Entonces PC=35⋅12=365.PC = \frac{3}{5} \cdot 12 = \frac{36}{5}.
Por último, CD=PD−PCCD = PD - PC =20−365= 20 - \frac{36}{5} =645,= \frac{64}{5}, que está en su forma irreducible, así que m+n=64+5=69.m + n = 64 + 5 = 69.
Extend AB‾\overline{AB} beyond BB and DC‾\overline{DC} beyond CC to meet at P.P. Since ∠PAD=∠PDA,\angle PAD = \angle PDA, triangle APDAPD is isosceles with PA=PD.PA = PD. Also ∠PBD=180∘−∠ABD\angle PBD = 180^\circ - \angle ABD and ∠PCB=180∘−∠BCD,\angle PCB = 180^\circ - \angle BCD, so ∠PBD=∠PCB.\angle PBD = \angle PCB.
Triangles PCBPCB and PBDPBD share angle PP and have ∠PCB=∠PBD,\angle PCB = \angle PBD, so they are similar, giving PCPB=PBPD=CBBD=35.\frac{PC}{PB} = \frac{PB}{PD} = \frac{CB}{BD} = \frac{3}{5}. Since PB=PA−8=PD−8,PB = PA - 8 = PD - 8, the middle ratio reads PD−8PD=35,\frac{PD - 8}{PD} = \frac{3}{5}, so PD=20PD = 20 and PB=12.PB = 12. Then PC=35⋅12=365.PC = \frac{3}{5} \cdot 12 = \frac{36}{5}.
Finally CD=PD−PCCD = PD - PC =20−365= 20 - \frac{36}{5} =645,= \frac{64}{5}, which is in lowest terms, so m+n=64+5=69.m + n = 64 + 5 = 69.
Problema 12#12
Examen completo
Problema 14#14

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