Question

En el cuadrilátero $ABCD,$ $\angle BAD \cong \angle ADC$ y $\angle ABD \cong \angle BCD,$ $AB = 8,$ $BD = 10,$ y $BC = 6.$ La longitud $CD$ se puede escribir en la forma $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

In quadrilateral $ABCD,$ $\angle BAD \cong \angle ADC$ and $\angle ABD \cong \angle BCD,$ $AB = 8,$ $BD = 10,$ and $BC = 6.$ The length $CD$ may be written in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Prolonga $\overline{AB}$ más allá de $B$ y $\overline{DC}$ más allá de $C$ hasta que se corten en $P.$ Como $\angle PAD = \angle PDA,$ el triángulo $APD$ es isósceles con $PA = PD.$ Además, $\angle PBD = 180^\circ - \angle ABD$ y $\angle PCB = 180^\circ - \angle BCD,$ así que $\angle PBD = \angle PCB.$

Los triángulos $PCB$ y $PBD$ comparten el ángulo $P$ y tienen $\angle PCB = \angle PBD,$ así que son semejantes, lo que da $\frac{PC}{PB} = \frac{PB}{PD} = \frac{CB}{BD} = \frac{3}{5}.$ Como $PB = PA - 8 = PD - 8,$ la razón central queda $\frac{PD - 8}{PD} = \frac{3}{5},$ así que $PD = 20$ y $PB = 12.$ Entonces $PC = \frac{3}{5} \cdot 12 = \frac{36}{5}.$

Por último, $CD = PD - PC$ $= 20 - \frac{36}{5}$ $= \frac{64}{5},$ que está en su forma irreducible, así que $m + n = 64 + 5 = 69.$

Extend $\overline{AB}$ beyond $B$ and $\overline{DC}$ beyond $C$ to meet at $P.$ Since $\angle PAD = \angle PDA,$ triangle $APD$ is isosceles with $PA = PD.$ Also $\angle PBD = 180^\circ - \angle ABD$ and $\angle PCB = 180^\circ - \angle BCD,$ so $\angle PBD = \angle PCB.$

Triangles $PCB$ and $PBD$ share angle $P$ and have $\angle PCB = \angle PBD,$ so they are similar, giving $\frac{PC}{PB} = \frac{PB}{PD} = \frac{CB}{BD} = \frac{3}{5}.$ Since $PB = PA - 8 = PD - 8,$ the middle ratio reads $\frac{PD - 8}{PD} = \frac{3}{5},$ so $PD = 20$ and $PB = 12.$ Then $PC = \frac{3}{5} \cdot 12 = \frac{36}{5}.$

Finally $CD = PD - PC$ $= 20 - \frac{36}{5}$ $= \frac{64}{5},$ which is in lowest terms, so $m + n = 64 + 5 = 69.$

2001 AIME II Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años