Question

En $\triangle ABC,$ $AC = BC,$ y el punto $D$ está sobre $\overline{BC}$ de modo que $CD = 3 \cdot BD.$ Sea $E$ el punto medio de $\overline{AD}.$ Dado que $CE = \sqrt{7}$ y $BE = 3,$ el área de $\triangle ABC$ puede expresarse en la forma $m\sqrt{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $m + n.$

In $\triangle ABC,$ $AC = BC,$ and point $D$ is on $\overline{BC}$ so that $CD = 3 \cdot BD.$ Let $E$ be the midpoint of $\overline{AD}.$ Given that $CE = \sqrt{7}$ and $BE = 3,$ the area of $\triangle ABC$ can be expressed in the form $m\sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are positive integers and $n$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Sean $AB = 2x$ y $AC = BC = y,$ de modo que $BD = \frac{y}{4},$ $CD = \frac{3y}{4},$ y $\cos B = \frac{x}{y}$ (baja la altura desde $C$ al punto medio de $\overline{AB}$ ). La ley de cosenos en el triángulo $ABD$ da $\begin{aligned} AD^2 &= 4x^2 + \frac{y^2}{16} \\ &\quad {}- 2 \cdot 2x \cdot \frac{y}{4} \cdot \frac{x}{y} \\ &= 3x^2 + \frac{y^2}{16}. \end{aligned}$

Tanto $CE$ como $BE$ son medianas a $\overline{AD},$ en los triángulos $ACD$ y $ABD$ respectivamente. La fórmula de la mediana $4m^2 = 2b^2 + 2c^2 - a^2$ da $\begin{aligned} 28 &= 2y^2 + \frac{18y^2}{16} - AD^2 \\ &= \frac{49y^2}{16} - 3x^2, \end{aligned}$ $\begin{aligned} 36 &= 8x^2 + \frac{2y^2}{16} - AD^2 \\ &= 5x^2 + \frac{y^2}{16}. \end{aligned}$ De la segunda ecuación $\frac{y^2}{16} = 36 - 5x^2;$ sustituyendo en la primera se obtiene $49(36 - 5x^2) - 3x^2 = 28,$ así que $248x^2 = 1736,$ $x^2 = 7,$ y luego $y^2 = 16.$

La altura desde $C$ tiene longitud $\sqrt{y^2 - x^2} = 3,$ así que el área es $\frac{1}{2} \cdot 2x \cdot 3 = 3\sqrt{7},$ y $m + n = 3 + 7 = 10.$

Let $AB = 2x$ and $AC = BC = y,$ so $BD = \frac{y}{4},$ $CD = \frac{3y}{4},$ and $\cos B = \frac{x}{y}$ (drop the altitude from $C$ to the midpoint of $\overline{AB}$ ). The law of cosines in triangle $ABD$ gives $\begin{aligned} AD^2 &= 4x^2 + \frac{y^2}{16} \\ &\quad {}- 2 \cdot 2x \cdot \frac{y}{4} \cdot \frac{x}{y} \\ &= 3x^2 + \frac{y^2}{16}. \end{aligned}$

Both $CE$ and $BE$ are medians to $\overline{AD},$ in triangles $ACD$ and $ABD$ respectively. The median formula $4m^2 = 2b^2 + 2c^2 - a^2$ gives $\begin{aligned} 28 &= 2y^2 + \frac{18y^2}{16} - AD^2 \\ &= \frac{49y^2}{16} - 3x^2, \end{aligned}$ $\begin{aligned} 36 &= 8x^2 + \frac{2y^2}{16} - AD^2 \\ &= 5x^2 + \frac{y^2}{16}. \end{aligned}$ From the second equation $\frac{y^2}{16} = 36 - 5x^2;$ substituting into the first gives $49(36 - 5x^2) - 3x^2 = 28,$ so $248x^2 = 1736,$ $x^2 = 7,$ and then $y^2 = 16.$

The altitude from $C$ has length $\sqrt{y^2 - x^2} = 3,$ so the area is $\frac{1}{2} \cdot 2x \cdot 3 = 3\sqrt{7},$ and $m + n = 3 + 7 = 10.$

2013 AIME II Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años