Question

El punto $D$ está en el lado $\overline{BC}$ del $\triangle ABC$ de modo que $\overline{AD}$ biseca $\angle BAC.$ La mediatriz de $\overline{AD}$ corta a las bisectrices de $\angle ABC$ y $\angle ACB$ en los puntos $E$ y $F,$ respectivamente. Dado que $AB = 4,$ $BC = 5,$ y $CA = 6,$ el área del $\triangle AEF$ puede escribirse como $\frac{m\sqrt{n}}{p},$ donde $m$ y $p$ son enteros positivos primos entre sí, y $n$ es un entero positivo no divisible entre el cuadrado de ningún primo. Halle $m + n + p.$

Point $D$ lies on side $\overline{BC}$ of $\triangle ABC$ so that $\overline{AD}$ bisects $\angle BAC.$ The perpendicular bisector of $\overline{AD}$ intersects the bisectors of $\angle ABC$ and $\angle ACB$ in points $E$ and $F,$ respectively. Given that $AB = 4,$ $BC = 5,$ and $CA = 6,$ the area of $\triangle AEF$ can be written as $\frac{m\sqrt{n}}{p},$ where $m$ and $p$ are relatively prime positive integers, and $n$ is a positive integer not divisible by the square of any prime. Find $m + n + p.$

Respuesta

Solución:

En el triángulo $ABD,$ la bisectriz interna del ángulo en $B$ vuelve a cortar a la circunferencia circunscrita de $ABD$ en el punto medio del arco $AD$ que no contiene a $B,$ y ese punto medio del arco está en la mediatriz de $\overline{AD}$ , así que $E$ es exactamente ese punto medio del arco. Los ángulos inscritos $\angle EAD$ y $\angle EBD$ subtienden el mismo arco $ED,$ así que $\angle EAD = \frac{B}{2}.$ De forma similar $\angle FAD = \frac{C}{2},$ y $E, F$ están en lados opuestos de la recta $AD.$

Sea $M$ el punto medio de $\overline{AD}.$ En los triángulos rectángulos $AME$ y $AMF,$ $ME = AM\tan\frac{B}{2}$ y $MF = AM\tan\frac{C}{2},$ así que $EF = AM\left(\tan\frac{B}{2} + \tan\frac{C}{2}\right),$ mientras que la distancia de $A$ a la recta $EF$ es $AM.$ Por lo tanto $[AEF]$ $= \frac{1}{2}AM^2\left(\tan\frac{B}{2} + \tan\frac{C}{2}\right).$

Aquí $BD = 2$ y $DC = 3,$ así que $AD^2 = AB \cdot AC - BD \cdot DC$ $= 24 - 6$ $= 18$ y $AM^2 = \frac{9}{2}.$ La ley de los cosenos da $\cos B = \frac{1}{8}$ y $\cos C = \frac{3}{4},$ así que $\tan\frac{B}{2} = \sqrt{\frac{1 - 1/8}{1 + 1/8}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$ y $\tan\frac{C}{2} = \frac{1}{\sqrt{7}},$ con suma $\frac{10\sqrt{7}}{21}.$ El área es $\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{10\sqrt{7}}{21} = \frac{15\sqrt{7}}{14},$ así que $m + n + p = 15 + 7 + 14 = 36.$

In triangle $ABD,$ the internal bisector of the angle at $B$ meets the circumcircle of $ABD$ again at the midpoint of arc $AD$ not containing $B,$ and that arc midpoint lies on the perpendicular bisector of $\overline{AD}$ — so $E$ is exactly that arc midpoint. The inscribed angles $\angle EAD$ and $\angle EBD$ subtend the same arc $ED,$ so $\angle EAD = \frac{B}{2}.$ Similarly $\angle FAD = \frac{C}{2},$ and $E, F$ lie on opposite sides of line $AD.$

Let $M$ be the midpoint of $\overline{AD}.$ In right triangles $AME$ and $AMF,$ $ME = AM\tan\frac{B}{2}$ and $MF = AM\tan\frac{C}{2},$ so $EF = AM\left(\tan\frac{B}{2} + \tan\frac{C}{2}\right),$ while the distance from $A$ to line $EF$ is $AM.$ Hence $[AEF]$ $= \frac{1}{2}AM^2\left(\tan\frac{B}{2} + \tan\frac{C}{2}\right).$

Here $BD = 2$ and $DC = 3,$ so $AD^2 = AB \cdot AC - BD \cdot DC$ $= 24 - 6$ $= 18$ and $AM^2 = \frac{9}{2}.$ The law of cosines gives $\cos B = \frac{1}{8}$ and $\cos C = \frac{3}{4},$ so $\tan\frac{B}{2} = \sqrt{\frac{1 - 1/8}{1 + 1/8}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$ and $\tan\frac{C}{2} = \frac{1}{\sqrt{7}},$ with sum $\frac{10\sqrt{7}}{21}.$ The area is $\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{10\sqrt{7}}{21} = \frac{15\sqrt{7}}{14},$ so $m + n + p = 15 + 7 + 14 = 36.$

2020 AIME I Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años