Question

Sean $A$ y $B$ los extremos de un arco semicircular de radio $2.$ El arco se divide en siete arcos congruentes por seis puntos igualmente espaciados $C_1,$ $C_2,$ $\ldots,$ $C_6.$ Se dibujan todas las cuerdas de la forma $\overline{AC_i}$ o $\overline{BC_i}$ . Sea $n$ el producto de las longitudes de estas doce cuerdas. Halla el residuo cuando $n$ se divide entre $1000.$

Let $A$ and $B$ be the endpoints of a semicircular arc of radius $2.$ The arc is divided into seven congruent arcs by six equally spaced points $C_1,$ $C_2,$ $\ldots,$ $C_6.$ All chords of the form $\overline{AC_i}$ or $\overline{BC_i}$ are drawn. Let $n$ be the product of the lengths of these twelve chords. Find the remainder when $n$ is divided by $1000.$

Respuesta

Solución:

Coloca el círculo en el plano complejo con centro $0,$ $A = -2,$ $B = 2,$ y $C_i = 2\omega^i$ para $i = 1, \ldots, 6,$ donde $\omega = e^{i\pi/7}.$ Entonces $AC_i = 2\,|\omega^i + 1|$ y $BC_i = 2\,|\omega^i - 1|,$ así que $AC_i \cdot BC_i = 4\,\bigl|\omega^{2i} - 1\bigr|.$

A medida que $i$ recorre $1, \ldots, 6,$ los números $\omega^{2i} = e^{2\pi i \cdot i/7}$ recorren las seis raíces $7$ -ésimas no triviales de la unidad $\zeta^j.$ Como $\prod_{j=1}^{6} (x - \zeta^j)$ $= 1 + x + \cdots + x^6,$ al sustituir $x = 1$ se obtiene $\prod_{j=1}^{6} \bigl|1 - \zeta^j\bigr| = 7.$ Por lo tanto $\begin{aligned} n &= \prod_{i=1}^{6} 4\,\bigl|\omega^{2i} - 1\bigr| \\ &= 4^6 \cdot 7 = 28672. \end{aligned}$

El residuo cuando $n$ se divide entre $1000$ es $672.$

Put the circle in the complex plane with center $0,$ $A = -2,$ $B = 2,$ and $C_i = 2\omega^i$ for $i = 1, \ldots, 6,$ where $\omega = e^{i\pi/7}.$ Then $AC_i = 2\,|\omega^i + 1|$ and $BC_i = 2\,|\omega^i - 1|,$ so $AC_i \cdot BC_i = 4\,\bigl|\omega^{2i} - 1\bigr|.$

As $i$ runs over $1, \ldots, 6,$ the numbers $\omega^{2i} = e^{2\pi i \cdot i/7}$ run over all six nontrivial $7$ th roots of unity $\zeta^j.$ Since $\prod_{j=1}^{6} (x - \zeta^j)$ $= 1 + x + \cdots + x^6,$ plugging in $x = 1$ gives $\prod_{j=1}^{6} \bigl|1 - \zeta^j\bigr| = 7.$ Therefore $\begin{aligned} n &= \prod_{i=1}^{6} 4\,\bigl|\omega^{2i} - 1\bigr| \\ &= 4^6 \cdot 7 = 28672. \end{aligned}$

The remainder when $n$ is divided by $1000$ is $672.$

2009 AIME II Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años