Question

Sean

A

y

B

los extremos de un arco semicircular de radio

2.

El arco se divide en siete arcos congruentes por seis puntos igualmente espaciados

C_1,

C_2,

\ldots,

C_6.

Se dibujan todas las cuerdas de la forma

\overline{AC_i}

o

\overline{BC_i}

. Sea

n

el producto de las longitudes de estas doce cuerdas. Halla el residuo cuando

n

se divide entre

1000.

Let

A

and

B

be the endpoints of a semicircular arc of radius

2.

The arc is divided into seven congruent arcs by six equally spaced points

C_1,

C_2,

\ldots,

C_6.

All chords of the form

\overline{AC_i}

or

\overline{BC_i}

are drawn. Let

n

be the product of the lengths of these twelve chords. Find the remainder when

n

is divided by

1000.

Respuesta

Respuesta: 672

Conceptos:raíces de la unidad número complejo cuerda

Nivel de dificultad: 3160

Pista pequeña:

Modela el círculo en el plano complejo con

A = -2,

B = 2,

y

C_i = 2\omega^i

donde

\omega = e^{\frac{\pi \mathrm{i}}{7}}

Model the circle in the complex plane with

A = -2,

B = 2,

and

C_i = 2\omega^i

where

\omega = e^{\frac{\pi \mathrm{i}}{7}}

Pista grande:

AC_i \cdot BC_i = 4\,|\omega^{2i} - 1|,

y los

\omega^{2i}

son exactamente las raíces

7

-ésimas no triviales de la unidad, cuyo producto de distancias a

1

es

7

AC_i \cdot BC_i = 4\,|\omega^{2i} - 1|,

and the

\omega^{2i}

are exactly the nontrivial

7

th roots of unity, whose product of distances to

1

is

7

Solución:

Coloca el círculo en el plano complejo con centro

0,

A = -2,

B = 2,

y

C_i = 2\omega^i

para

i = 1, \ldots, 6,

donde

\omega = e^{\frac{\pi \mathrm{i}}{7}}.

Entonces

AC_i = 2\,|\omega^i + 1|

y

BC_i = 2\,|\omega^i - 1|,

así que

AC_i \cdot BC_i = 4\,\bigl|\omega^{2i} - 1\bigr|.

A medida que

i

recorre

1, \ldots, 6,

los números

\omega^{2i}

recorren las seis raíces

7

-ésimas no triviales de la unidad. Sea

\zeta = \omega^2.

Como

\prod_{j=1}^{6} (x - \zeta^j)

= 1 + x + \cdots + x^6,

al sustituir

x = 1

se obtiene

\prod_{j=1}^{6} \bigl|1 - \zeta^j\bigr| = 7.

Por lo tanto

\begin{aligned} n &= \prod_{i=1}^{6} 4\,\bigl|\omega^{2i} - 1\bigr| \\ &= 4^6 \cdot 7 = 28672. \end{aligned}

El residuo cuando

n

se divide entre

1000

es

672.

Put the circle in the complex plane with center

0,

A = -2,

B = 2,

and

C_i = 2\omega^i

for

i = 1, \ldots, 6,

where

\omega = e^{\frac{\pi \mathrm{i}}{7}}.

Then

AC_i = 2\,|\omega^i + 1|

and

BC_i = 2\,|\omega^i - 1|,

so

AC_i \cdot BC_i = 4\,\bigl|\omega^{2i} - 1\bigr|.

As

i

runs over

1, \ldots, 6,

the numbers

\omega^{2i}

run over all six nontrivial

7

th roots of unity. Let

\zeta = \omega^2.

Since

\prod_{j=1}^{6} (x - \zeta^j)

= 1 + x + \cdots + x^6,

plugging in

x = 1

gives

\prod_{j=1}^{6} \bigl|1 - \zeta^j\bigr| = 7.

Therefore

\begin{aligned} n &= \prod_{i=1}^{6} 4\,\bigl|\omega^{2i} - 1\bigr| \\ &= 4^6 \cdot 7 = 28672. \end{aligned}

The remainder when

n