Question

En cierta circunferencia, la cuerda de un arco de $d$ grados mide $22$ centímetros, y la cuerda de un arco de $2d$ grados es $20$ centímetros más larga que la cuerda de un arco de $3d$ grados, donde $d \lt 120.$ La longitud de la cuerda de un arco de $3d$ grados es $-m + \sqrt{n}$ centímetros, donde $m$ y $n$ son enteros positivos. Halla $m + n.$

In a certain circle, the chord of a $d$ -degree arc is $22$ centimeters long, and the chord of a $2d$ -degree arc is $20$ centimeters longer than the chord of a $3d$ -degree arc, where $d \lt 120.$ The length of the chord of a $3d$ -degree arc is $-m + \sqrt{n}$ centimeters, where $m$ and $n$ are positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Una cuerda que subtiende un arco de $\theta$ grados en una circunferencia de radio $R$ tiene longitud $2R\sin\frac{\theta}{2}.$ Escribe $t = \frac{d}{2},$ de modo que las tres cuerdas son $2R\sin t = 22,$ $2R \sin 2t,$ y $2R \sin 3t.$ Usando $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$ y $\sin 3t = \sin t\,(4\cos^2 t - 1),$ las cuerdas de los arcos de $2d$ y $3d$ grados son $22 \cdot 2\cos t = 44 \cos t$ y $22\,(4\cos^2 t - 1).$

La condición "la cuerda de $2d$ es $20$ más larga que la cuerda de $3d$ " se convierte en $44\cos t = 22\,(4\cos^2 t - 1) + 20,$ que se simplifica a $44 \cos^2 t - 22 \cos t - 1 = 0.$ De aquí, $4\cos^2 t = 2\cos t + \frac{1}{11},$ así que la cuerda de $3d$ es igual a $22\left(2\cos t + \frac{1}{11} - 1\right)$ $= 44 \cos t - 20.$

Resolviendo la cuadrática, $\cos t = \frac{22 + \sqrt{484 + 176}}{88} = \frac{11 + \sqrt{165}}{44}$ (la raíz $+$ ya que $d \lt 120$ implica $t \lt 60^\circ,$ así que $\cos t \gt \frac{1}{2}$ ). Entonces la cuerda de $3d$ es $44\cos t - 20$ $= 11 + \sqrt{165} - 20$ $= -9 + \sqrt{165},$ dando $m + n = 9 + 165 = 174.$

A chord subtending a $\theta$ -degree arc in a circle of radius $R$ has length $2R\sin\frac{\theta}{2}.$ Write $t = \frac{d}{2},$ so the three chords are $2R\sin t = 22,$ $2R \sin 2t,$ and $2R \sin 3t.$ Using $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$ and $\sin 3t = \sin t\,(4\cos^2 t - 1),$ the chords of the $2d$ - and $3d$ -degree arcs are $22 \cdot 2\cos t = 44 \cos t$ and $22\,(4\cos^2 t - 1).$

The condition "the $2d$ -chord is $20$ longer than the $3d$ -chord" becomes $44\cos t = 22\,(4\cos^2 t - 1) + 20,$ which simplifies to $44 \cos^2 t - 22 \cos t - 1 = 0.$ From this, $4\cos^2 t = 2\cos t + \frac{1}{11},$ so the $3d$ -chord equals $22\left(2\cos t + \frac{1}{11} - 1\right)$ $= 44 \cos t - 20.$

Solving the quadratic, $\cos t = \frac{22 + \sqrt{484 + 176}}{88} = \frac{11 + \sqrt{165}}{44}$ (the $+$ root since $d \lt 120$ means $t \lt 60^\circ,$ so $\cos t \gt \frac{1}{2}$ ). Then the $3d$ -chord is $44\cos t - 20$ $= 11 + \sqrt{165} - 20$ $= -9 + \sqrt{165},$ giving $m + n = 9 + 165 = 174.$

2001 AIME I Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años