Question

Un cartero reparte correo a las diecinueve casas del lado este de Elm Street. El cartero observa que nunca dos casas adyacentes reciben correo el mismo día, pero que nunca hay más de dos casas seguidas sin recibir correo el mismo día. ¿Cuántos patrones distintos de reparto de correo son posibles?

A mail carrier delivers mail to the nineteen houses on the east side of Elm Street. The carrier notices that no two adjacent houses ever get mail on the same day, but that there are never more than two houses in a row that get no mail on the same day. How many different patterns of mail delivery are possible?

Respuesta

Solución:

Escribe $1$ para una casa que recibe correo y $0$ para una que no la recibe. Los patrones válidos son cadenas binarias de longitud $19$ sin dos $1$ consecutivos y sin tres $0$ consecutivos. Sean $A_n,$ $B_n,$ $C_n$ el número de cadenas válidas de longitud $n$ que terminan en $1,$ en exactamente un $0,$ y en exactamente dos $0$ . Un $1$ puede seguir a cualquiera de los dos finales en $0$ , un único $0$ puede seguir a un $1,$ y un segundo $0$ puede seguir a un único $0:$ $\begin{aligned} A_n &= B_{n-1} + C_{n-1}, \\ B_n &= A_{n-1}, \\ C_n &= B_{n-1}. \end{aligned}$

Partiendo de $A_1 = B_1 = 1,$ $C_1 = 0$ e iterando, los totales $A_n + B_n + C_n$ son $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $7,$ $9,$ $12,$ $16,$ $21,$ $28,$ $37,$ $49,$ $65,$ $86,$ $114,$ $151,$ $200,$ $265,$ $351.$

Para $n = 19$ el conteo es $351.$

Write $1$ for a house that gets mail and $0$ for one that does not. Valid patterns are binary strings of length $19$ with no two consecutive $1$ s and no three consecutive $0$ s. Let $A_n,$ $B_n,$ $C_n$ count valid length- $n$ strings ending in $1,$ in exactly one $0,$ and in exactly two $0$ s. A $1$ may follow either kind of $0$ -ending, a single $0$ may follow a $1,$ and a second $0$ may follow a single $0:$ $\begin{aligned} A_n &= B_{n-1} + C_{n-1}, \\ B_n &= A_{n-1}, \\ C_n &= B_{n-1}. \end{aligned}$

Starting from $A_1 = B_1 = 1,$ $C_1 = 0$ and iterating, the totals $A_n + B_n + C_n$ run $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $7,$ $9,$ $12,$ $16,$ $21,$ $28,$ $37,$ $49,$ $65,$ $86,$ $114,$ $151,$ $200,$ $265,$ $351.$

For $n = 19$ the count is $351.$

2001 AIME I Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años