Solución:

La condición $2mnp = (m + 2)(n + 2)(p + 2)$ se reescribe como $$\begin{aligned} &\left(1 + \frac{2}{m}\right)\left(1 + \frac{2}{n}\right)\left(1 + \frac{2}{p}\right) \\ &= 2. \end{aligned}$$ Si $m = 1$, el primer factor por sí solo es $3 \gt 2$, y si $m = 2$ es igual a $2$ mientras que los otros factores superan $1$; ambos son imposibles. Si $m \ge 5$, entonces como $n \ge m$, los dos primeros factores son a lo sumo $\left(\frac{7}{5}\right)^2 = \frac{49}{25}$, lo que obliga a $1 + \frac{2}{p} \ge \frac{50}{49}$, es decir $p \le 98$.

Para $m = 4$ la ecuación se vuelve $4np = 3(n + 2)(p + 2)$, es decir $(n - 6)(p - 6) = 48$, así que $p \le 54$. Para $m = 3$ se vuelve $6np = 5(n + 2)(p + 2)$, es decir $np - 10n - 10p - 20 = 0$, o $(n - 10)(p - 10) = 120$. Ambos factores deben ser positivos (si $n, p \lt 10$, el producto $(10 - n)(10 - p)$ es a lo sumo $49$), así que el mayor $p$ proviene de $n - 10 = 1$: $n = 11$ y $p = 130$. En efecto, $2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 130 = 8580$ $= 5 \cdot 13 \cdot 132$.

Como todos los demás casos dan $p \le 98$, el mayor valor posible es $p = 130$.