Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

2008 AIME I Problema 14

Intenta el Problema 14 del 2008 AIME I a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2008 AIME I, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

14.

Sea AB‾\overline{AB} un diámetro del círculo ω.\omega. Prolonga AB‾\overline{AB} a través de AA hasta C.C. El punto TT está sobre ω\omega de modo que la recta CTCT es tangente a ω.\omega. El punto PP es el pie de la perpendicular desde AA a la recta CT.CT. Supón que AB=18,AB = 18, y sea mm la longitud máxima posible del segmento BP.BP. Halla m2.m^2.
Let AB‾\overline{AB} be a diameter of circle ω.\omega. Extend AB‾\overline{AB} through AA to C.C. Point TT lies on ω\omega so that line CTCT is tangent to ω.\omega. Point PP is the foot of the perpendicular from AA to line CT.CT. Suppose AB=18,AB = 18, and let mm denote the maximum possible length of segment BP.BP. Find m2.m^2.
Respuesta: 432
Conceptos:geometría analíticarecta tangentecuadráticaoptimización
Nivel de dificultad: 3270
Pista pequeña:
Coloca el centro en el origen; si T=(9cos⁡t,9sin⁡t),T = (9\cos t, 9\sin t), la recta tangente es xcos⁡t+ysin⁡t=9x\cos t + y\sin t = 9
Put the center at the origin; if T=(9cos⁡t,9sin⁡t),T = (9\cos t, 9\sin t), the tangent line is xcos⁡t+ysin⁡t=9x\cos t + y\sin t = 9
Pista grande:
El pie es P=A+9(1+cos⁡t)(cos⁡t,sin⁡t),P = A + 9(1 + \cos t)(\cos t, \sin t), y BP2BP^2 se simplifica a una cuadrática en cos⁡t\cos t, maximízala
The foot is P=A+9(1+cos⁡t)(cos⁡t,sin⁡t),P = A + 9(1 + \cos t)(\cos t, \sin t), and BP2BP^2 simplifies to a quadratic in cos⁡t\cos t — maximize it
Solución:
Coloca el centro OO en el origen con radio 9,9, así que A=(−9,0)A = (-9, 0) y B=(9,0).B = (9, 0). Si el punto de tangencia es T=(9cos⁡t,9sin⁡t),T = (9\cos t, 9\sin t), la recta tangente es xcos⁡t+ysin⁡t=9;x\cos t + y\sin t = 9; corta al eje xx en C=(9cos⁡t,0),C = (\frac{9}{\cos t}, 0), que queda más allá de AA exactamente cuando −1<cos⁡t<0.-1 \lt \cos t \lt 0. Escribiendo u=cos⁡t,u = \cos t, la distancia con signo desde AA a la recta es −9u−9,-9u - 9, así que el pie de la perpendicular es P=A+9(1+u)(cos⁡t,sin⁡t).P = A + 9(1 + u)(\cos t, \sin t).
Entonces P−BP - B == (9(u2+u−2), 9(1+u)sin⁡t),\bigl(9(u^2 + u - 2),\ 9(1 + u)\sin t\bigr), y usando sin⁡2t=1−u2:\sin^2 t = 1 - u^2: BP281=(u2+u−2)2+(1+u)2(1−u2)=5−2u−3u2. \begin{aligned} \frac{BP^2}{81} &= (u^2 + u - 2)^2 \\ &\quad {}+ (1 + u)^2(1 - u^2) \\ &= 5 - 2u - 3u^2. \end{aligned} Esta cuadrática en uu se maximiza en u=−13,u = -\frac{1}{3}, que está dentro de (−1,0)(-1, 0) (allí C=(−27,0)C = (-27, 0)), dando BP281=5+23−13=163.\frac{BP^2}{81} = 5 + \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{16}{3}.
Por lo tanto m2=81⋅163=432.m^2 = 81 \cdot \frac{16}{3} = 432.
Place the center OO at the origin with radius 9,9, so A=(−9,0)A = (-9, 0) and B=(9,0).B = (9, 0). If the point of tangency is T=(9cos⁡t,9sin⁡t),T = (9\cos t, 9\sin t), the tangent line is xcos⁡t+ysin⁡t=9;x\cos t + y\sin t = 9; it meets the xx-axis at C=(9cos⁡t,0),C = (\frac{9}{\cos t}, 0), which lies beyond AA exactly when −1<cos⁡t<0.-1 \lt \cos t \lt 0. Writing u=cos⁡t,u = \cos t, the signed distance from AA to the line is −9u−9,-9u - 9, so the foot of the perpendicular is P=A+9(1+u)(cos⁡t,sin⁡t).P = A + 9(1 + u)(\cos t, \sin t).
Then P−BP - B == (9(u2+u−2), 9(1+u)sin⁡t),\bigl(9(u^2 + u - 2),\ 9(1 + u)\sin t\bigr), and using sin⁡2t=1−u2:\sin^2 t = 1 - u^2: BP281=(u2+u−2)2+(1+u)2(1−u2)=5−2u−3u2. \begin{aligned} \frac{BP^2}{81} &= (u^2 + u - 2)^2 \\ &\quad {}+ (1 + u)^2(1 - u^2) \\ &= 5 - 2u - 3u^2. \end{aligned} This quadratic in uu is maximized at u=−13,u = -\frac{1}{3}, which is inside (−1,0)(-1, 0) (there C=(−27,0)C = (-27, 0)), giving BP281=5+23−13=163.\frac{BP^2}{81} = 5 + \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{16}{3}.
Therefore m2=81⋅163=432.m^2 = 81 \cdot \frac{16}{3} = 432.
Problema 13#13
Examen completo
Problema 15#15

El Problema 14 en otros años

1983 AIME · 1984 AIME · 1985 AIME · 1986 AIME · 1987 AIME · 1988 AIME · 1989 AIME · 1990 AIME · 1991 AIME · 1992 AIME · 1993 AIME · 1994 AIME · 1995 AIME · 1996 AIME · 1997 AIME · 1998 AIME · 1999 AIME · 2000 AIME I · 2000 AIME II · 2001 AIME I · 2001 AIME II · 2002 AIME I · 2002 AIME II · 2003 AIME I · 2003 AIME II · 2004 AIME I · 2004 AIME II · 2005 AIME I · 2005 AIME II · 2006 AIME I · 2006 AIME II · 2007 AIME I · 2007 AIME II · 2008 AIME II · 2009 AIME I · 2009 AIME II · 2010 AIME I · 2010 AIME II · 2011 AIME I · 2011 AIME II · 2012 AIME I · 2012 AIME II · 2013 AIME I · 2013 AIME II · 2014 AIME I · 2014 AIME II · 2015 AIME I · 2015 AIME II · 2016 AIME I · 2016 AIME II · 2017 AIME I · 2017 AIME II · 2018 AIME I · 2018 AIME II · 2019 AIME I · 2019 AIME II · 2020 AIME I · 2020 AIME II · 2021 AIME I · 2021 AIME II · 2022 AIME I · 2022 AIME II · 2023 AIME I · 2023 AIME II · 2024 AIME I · 2024 AIME II · 2025 AIME I · 2025 AIME II · 2026 AIME I · 2026 AIME II