Question

Sea

S_n

la suma de los recíprocos de los dígitos no nulos de los enteros desde

1

hasta

10^n,

inclusive. Halla el menor entero positivo

n

para el cual

S_n

es un entero.

Let

S_n

be the sum of the reciprocals of the nonzero digits of the integers from

1

to

10^n,

inclusive. Find the smallest positive integer

n

for which

S_n

is an integer.

Respuesta

Respuesta: 63

Conceptos:dígitos divisibilidad sumatoria

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Rellena con ceros a la izquierda: entre los enteros menores que

10^n,

cada dígito aparece con la misma frecuencia, y cada dígito no nulo aparece

n \cdot 10^{n-1}

veces.

Pad with leading zeros: among the integers below

10^n,

every digit appears equally often — each nonzero digit

n \cdot 10^{n-1}

times.

Pista grande:

1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{9} = \frac{7129}{2520},

así que necesitas que

n \cdot 10^{n-1}

sea divisible por

2520

; comprueba qué factores de

2520

no puede aportar la potencia de

10

.

1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{9} = \frac{7129}{2520},

so you need

n \cdot 10^{n-1}

to be divisible by

2520

— check which factors of

2520

the power of

10

cannot supply.

Solución:

Escribe los enteros desde

0

hasta

10^n - 1

como cadenas de

n

dígitos con ceros a la izquierda. Cada una de las

n

posiciones de dígito toma cada valor de dígito con la misma frecuencia, así que cada dígito no nulo aparece

n \cdot 10^{n-1}

veces. Sumando el dígito

1

del propio

10^n

,

\begin{aligned} S_n &= 1 \\ &\quad {}+ n \\ &\quad {}\cdot 10^{n-1}\small\left(1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{9}\right) \\ &= 1 + \frac{7129}{2520}\, n \cdot 10^{n-1}. \end{aligned}

Como

\gcd(7129, 2520) = 1,

la suma es un entero exactamente cuando

n \cdot 10^{n-1}

es divisible por

2520.

Ahora

2520 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7,

y para

n \ge 4

el factor

10^{n-1}

aporta

2^3 \cdot 5,

dejando la condición de que

n

sea divisible por

63

(una potencia de

10

no tiene factores

3

ni

7

). Para

n = 1, 2, 3

los productos

1, 20, 300

no son múltiplos de

2520.

Por lo tanto, la solución más pequeña es

n = 63.

Write the integers from

0

to

10^n - 1

as

n

-digit strings with leading zeros. Each of the

n

digit positions takes each digit value equally often, so each nonzero digit appears

n \cdot 10^{n-1}

times. Adding the digit

1

of

10^n

itself,

\begin{aligned} S_n &= 1 \\ &\quad {}+ n \\ &\quad {}\cdot 10^{n-1}\small\left(1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{9}\right) \\ &= 1 + \frac{7129}{2520}\, n \cdot 10^{n-1}. \end{aligned}

Since

\gcd(7129, 2520) = 1,

the sum is an integer exactly when

n \cdot 10^{n-1}

is divisible by

2520.

Now

2520 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7,

and for

n \ge 4

the factor

10^{n-1}

supplies

2^3 \cdot 5,

leaving the condition that

n

be divisible by

63

(a power of

10

has no factors of

3

or

7

). For

n = 1, 2, 3

the products

1, 20, 300

are not multiples of

2520.

The smallest solution is therefore

n = 63.

2006 AIME II Problema 14

Respuesta: 63

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años