Question

Sea $S_n$ la suma de los recíprocos de los dígitos no nulos de los enteros desde $1$ hasta $10^n,$ inclusive. Halla el menor entero positivo $n$ para el cual $S_n$ es un entero.

Let $S_n$ be the sum of the reciprocals of the nonzero digits of the integers from $1$ to $10^n,$ inclusive. Find the smallest positive integer $n$ for which $S_n$ is an integer.

Respuesta

Solución:

Escribe los enteros desde $0$ hasta $10^n - 1$ como cadenas de $n$ dígitos con ceros a la izquierda. Cada una de las $n$ posiciones de dígito toma cada valor de dígito con la misma frecuencia, así que cada dígito no nulo aparece $n \cdot 10^{n-1}$ veces. Sumando el dígito $1$ del propio $10^n$ , $\begin{aligned} S_n &= 1 \\ &\quad {}+ n \\ &\quad {}\cdot 10^{n-1}\small\left(1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{9}\right) \\ &= 1 + \frac{7129}{2520}\, n \cdot 10^{n-1}. \end{aligned}$

Como $\gcd(7129, 2520) = 1,$ la suma es un entero exactamente cuando $2520 \mid n \cdot 10^{n-1}.$ Ahora $2520 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7,$ y para $n \ge 4$ el factor $10^{n-1}$ aporta $2^3 \cdot 5,$ dejando la condición $63 \mid n$ (una potencia de $10$ no tiene factores $3$ ni $7$ ). Para $n = 1, 2, 3$ los productos $1, 20, 300$ no son múltiplos de $2520.$

Por lo tanto, la solución más pequeña es $n = 63.$

Write the integers from $0$ to $10^n - 1$ as $n$ -digit strings with leading zeros. Each of the $n$ digit positions takes each digit value equally often, so each nonzero digit appears $n \cdot 10^{n-1}$ times. Adding the digit $1$ of $10^n$ itself, $\begin{aligned} S_n &= 1 \\ &\quad {}+ n \\ &\quad {}\cdot 10^{n-1}\small\left(1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{9}\right) \\ &= 1 + \frac{7129}{2520}\, n \cdot 10^{n-1}. \end{aligned}$

Since $\gcd(7129, 2520) = 1,$ the sum is an integer exactly when $2520 \mid n \cdot 10^{n-1}.$ Now $2520 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7,$ and for $n \ge 4$ the factor $10^{n-1}$ supplies $2^3 \cdot 5,$ leaving the condition $63 \mid n$ (a power of $10$ has no factors of $3$ or $7$ ). For $n = 1, 2, 3$ the products $1, 20, 300$ are not multiples of $2520.$

The smallest solution is therefore $n = 63.$

2006 AIME II Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años