Respuesta: 681

Pista pequeña:

Escriba los lados como vectores $s_k u_k$ con $u_k = (\cos 72k^\circ, \sin 72k^\circ)$ y suma nula; cada diagonal es la suma de dos vectores de lado consecutivos

Pista grande:

Los datos de las diagonales dan $2\cos 72^\circ \sum s_k s_{k+1} = 184,$ y desarrollar $\left|\sum s_k u_k\right|^2 = 0$ entonces determina $\sum s_k s_{k+2}$

Solución:

En un pentágono equiángulo cada dirección de lado gira el ángulo exterior $72^\circ,$ así que los lados son los vectores $s_k u_k$ para $k = 1, \ldots, 5,$ donde $u_k = (\cos 72k^\circ, \sin 72k^\circ)$ y $\sum_k s_k u_k = 0.$ Escriba $Q = \sum s_k^2 = 308,$ $P_1 = \sum_{k} s_k s_{k+1},$ y $P_2 = \sum_k s_k s_{k+2}$ (índices cíclicos). Cada diagonal es una suma de dos vectores de lado consecutivos, así que su cuadrado es $s_{k+1}^2 + s_{k+2}^2 + 2 s_{k+1} s_{k+2} \cos 72^\circ,$ y al sumar las cinco se obtiene $$800 = 2Q + 2\cos 72^\circ \, P_1,$$ de modo que $$\begin{aligned} &2\cos 72^\circ \, P_1 = 800 - 616 \\ &= 184. \end{aligned}$$

Desarrollando $\left|\sum_k s_k u_k\right|^2 = 0,$ el ángulo entre $u_k$ y $u_{k+1}$ es $72^\circ$ y entre $u_k$ y $u_{k+2}$ es $144^\circ:$ $$\begin{aligned} &0 = Q + 2\cos 72^\circ \, P_1 \\ &\quad {}+ 2\cos 144^\circ \, P_2 \\ &= 308 + 184 - 2\cos 36^\circ \, P_2, \end{aligned}$$ así que $2\cos 36^\circ \, P_2 = 492.$ Usando $\cos 72^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ y $\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5} + 1}{4},$ obtenemos $2P_1 = \frac{184}{\cos 72^\circ} = 184\left(\sqrt{5} + 1\right)$ y $2P_2 = \frac{492}{\cos 36^\circ} = 492\left(\sqrt{5} - 1\right).$

El cuadrado del perímetro es $$\begin{aligned} &\left(\sum s_k\right)^2 = Q + 2P_1 + 2P_2 \\ &= 308 + 184\sqrt{5} + 184 \\ &\quad {}+ 492\sqrt{5} - 492 \\ &= 676\sqrt{5}. \end{aligned}$$ Por lo tanto, $m + n = 676 + 5 = 681.$