Question

En un pentágono equiángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados es igual a $308,$ y la suma de los cuadrados de las longitudes de las diagonales es igual a $800.$ El cuadrado del perímetro del pentágono puede expresarse como $m\sqrt{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halle $m + n.$

In an equiangular pentagon, the sum of the squares of the side lengths equals $308,$ and the sum of the squares of the diagonal lengths equals $800.$ The square of the perimeter of the pentagon can be expressed as $m\sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are positive integers and $n$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

En un pentágono equiángulo cada dirección de lado gira el ángulo exterior $72^\circ,$ así que los lados son los vectores $s_k u_k$ para $k = 1, \ldots, 5,$ donde $u_k = (\cos 72k^\circ, \sin 72k^\circ)$ y $\sum_k s_k u_k = 0.$ Escriba $Q = \sum s_k^2 = 308,$ $P_1 = \sum_{k} s_k s_{k+1},$ y $P_2 = \sum_k s_k s_{k+2}$ (índices cíclicos). Cada diagonal es una suma de dos vectores de lado consecutivos, así que su cuadrado es $s_{k+1}^2 + s_{k+2}^2 + 2 s_{k+1} s_{k+2} \cos 72^\circ,$ y sumando las cinco se obtiene $800 = 2Q + 2\cos 72^\circ \, P_1,$ así que $\begin{aligned} &2\cos 72^\circ \, P_1 = 800 - 616 \\ &= 184. \end{aligned}$

Desarrollando $\left|\sum_k s_k u_k\right|^2 = 0,$ el ángulo entre $u_k$ y $u_{k+1}$ es $72^\circ$ y entre $u_k$ y $u_{k+2}$ es $144^\circ:$ $\begin{aligned} &0 = Q + 2\cos 72^\circ \, P_1 \\ &\quad {}+ 2\cos 144^\circ \, P_2 \\ &= 308 + 184 - 2\cos 36^\circ \, P_2, \end{aligned}$ así que $2\cos 36^\circ \, P_2 = 492.$ Usando $\cos 72^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ y $\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5} + 1}{4},$ obtenemos $2P_1 = \frac{184}{\cos 72^\circ} = 184\left(\sqrt{5} + 1\right)$ y $2P_2 = \frac{492}{\cos 36^\circ} = 492\left(\sqrt{5} - 1\right).$

El cuadrado del perímetro es $\begin{aligned} &\left(\sum s_k\right)^2 = Q + 2P_1 + 2P_2 \\ &= 308 + 184\sqrt{5} + 184 \\ &\quad {}+ 492\sqrt{5} - 492 \\ &= 676\sqrt{5}. \end{aligned}$ Por lo tanto $m + n = 676 + 5 = 681.$

In an equiangular pentagon each side direction turns by the exterior angle $72^\circ,$ so the sides are the vectors $s_k u_k$ for $k = 1, \ldots, 5,$ where $u_k = (\cos 72k^\circ, \sin 72k^\circ)$ and $\sum_k s_k u_k = 0.$ Write $Q = \sum s_k^2 = 308,$ $P_1 = \sum_{k} s_k s_{k+1},$ and $P_2 = \sum_k s_k s_{k+2}$ (indices cyclic). Each diagonal is a sum of two consecutive side vectors, so its square is $s_{k+1}^2 + s_{k+2}^2 + 2 s_{k+1} s_{k+2} \cos 72^\circ,$ and summing all five gives $800 = 2Q + 2\cos 72^\circ \, P_1,$ so $\begin{aligned} &2\cos 72^\circ \, P_1 = 800 - 616 \\ &= 184. \end{aligned}$

Expanding $\left|\sum_k s_k u_k\right|^2 = 0,$ the angle between $u_k$ and $u_{k+1}$ is $72^\circ$ and between $u_k$ and $u_{k+2}$ is $144^\circ:$ $\begin{aligned} &0 = Q + 2\cos 72^\circ \, P_1 \\ &\quad {}+ 2\cos 144^\circ \, P_2 \\ &= 308 + 184 - 2\cos 36^\circ \, P_2, \end{aligned}$ so $2\cos 36^\circ \, P_2 = 492.$ Using $\cos 72^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ and $\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5} + 1}{4},$ we get $2P_1 = \frac{184}{\cos 72^\circ} = 184\left(\sqrt{5} + 1\right)$ and $2P_2 = \frac{492}{\cos 36^\circ} = 492\left(\sqrt{5} - 1\right).$

The square of the perimeter is $\begin{aligned} &\left(\sum s_k\right)^2 = Q + 2P_1 + 2P_2 \\ &= 308 + 184\sqrt{5} + 184 \\ &\quad {}+ 492\sqrt{5} - 492 \\ &= 676\sqrt{5}. \end{aligned}$ Therefore $m + n = 676 + 5 = 681.$

2026 AIME I Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años