Question

Sean

a \gt 1

y

x \gt 1

que satisfacen

\small \log_a\!\left(\log_a\!\left(\log_a 2\right) + \log_a 24 - 128\right)

= 128

y

\log_a\!\left(\log_a x\right) = 256.

Halla el residuo cuando

x

se divide entre

1000.

Let

a \gt 1

and

x \gt 1

satisfy

\small \log_a\!\left(\log_a\!\left(\log_a 2\right) + \log_a 24 - 128\right)

= 128

and

\log_a\!\left(\log_a x\right) = 256.

Find the remainder when

x

is divided by

1000.

Respuesta

Respuesta: 896

Conceptos:logaritmo exponenciación modular Función φ de Euler Teorema chino del resto

Nivel de dificultad: 3270

Pista pequeña:

Exponencia dos veces para convertir la primera ecuación en

24\log_a 2 = a^{128} \cdot a^{a^{128}},

y luego reescríbela como

t^t = \left(2^3\right)^{2^3}

para

t = a^{a^{128}}

Exponentiate twice to turn the first equation into

24\log_a 2 = a^{128} \cdot a^{a^{128}},

then rewrite it as

t^t = \left(2^3\right)^{2^3}

for

t = a^{a^{128}}

Pista grande:

t^t

es creciente, así que

a^{a^{128}} = 8;

escribir

c = \log_2 a

da

c \cdot 2^{128c} = 3,

resuelto por

c = \frac{3}{64}.

Luego calcula

x = a^{a^{256}}

módulo

8

y módulo

125.

t^t

is increasing, so

a^{a^{128}} = 8;

writing

c = \log_2 a

gives

c \cdot 2^{128c} = 3,

solved by

c = \frac{3}{64}.

Then compute

x = a^{a^{256}}

mod

8

and mod

125.

Solución:

Exponenciando dos veces la primera ecuación:

\log_a(\log_a 2) + \log_a 24 - 128

= a^{128}

se convierte en

\log_a(24 \log_a 2) = 128 + a^{128},

así que

24 \log_a 2 = a^{128} \cdot a^{a^{128}},

es decir

2^{24} = a^{\left(a^{128} \cdot a^{a^{128}}\right)}.

Haciendo

t = a^{a^{128}},

el lado derecho es

t^t

y el lado izquierdo es

\left(2^3\right)^{2^3},

así que por la monotonía estricta de

t^t

obtenemos

a^{a^{128}} = 8.

Escribiendo

c = \log_2 a \gt 0,

esto dice

c \cdot 2^{128c} = 3,

que es creciente en

c

y se satisface con

c = \frac{3}{64}:

en efecto

\frac{3}{64} \cdot 2^6 = 3.

Así que

a = 2^{\frac{3}{64}}.

La segunda ecuación da

x = a^{a^{256}}.

Aquí

a^{256} = 2^{\frac{256 \cdot 3}{64}} = 2^{12} = 4096,

así que

x = a^{4096} = 2^{\frac{4096 \cdot 3}{64}} = 2^{192}.

Claramente

2^{192} \equiv 0 \pmod{8}.

Por el teorema de Euler

2^{100} \equiv 1 \pmod{125},

así que

2^{192} \equiv 2^{-8} \pmod{125},

el inverso de

256 \equiv 6.

Como

6 \cdot 21 = 126 \equiv 1 \pmod{125},

obtenemos

2^{192} \equiv 21 \pmod{125}.

El único residuo módulo

1000

que es

0

módulo

8

y

21

módulo

125

es

896.

Exponentiating the first equation twice:

\log_a(\log_a 2) + \log_a 24 - 128

= a^{128}

becomes

\log_a(24 \log_a 2) = 128 + a^{128},

so

24 \log_a 2 = a^{128} \cdot a^{a^{128}},

i.e.

2^{24} = a^{\left(a^{128} \cdot a^{a^{128}}\right)}.

Setting

t = a^{a^{128}},

the right side is

t^t

and the left side is

\left(2^3\right)^{2^3},

so by the strict monotonicity of

t^t

we get

a^{a^{128}} = 8.

Writing

c = \log_2 a \gt 0,

this says

c \cdot 2^{128c} = 3,

which is increasing in

c

and satisfied by

c = \frac{3}{64}:

indeed

\frac{3}{64} \cdot 2^6 = 3.

So

a = 2^{\frac{3}{64}}.

The second equation gives

x = a^{a^{256}}.

Here

a^{256} = 2^{\frac{256 \cdot 3}{64}} = 2^{12} = 4096,

so

x = a^{4096} = 2^{\frac{4096 \cdot 3}{64}} = 2^{192}.

Clearly

2^{192} \equiv 0 \pmod{8}.

By Euler’s theorem

2^{100} \equiv 1 \pmod{125},

so

2^{192} \equiv 2^{-8} \pmod{125},

the inverse of

256 \equiv 6.

Since

6 \cdot 21 = 126 \equiv 1 \pmod{125},

we get

2^{192} \equiv 21 \pmod{125}.

The unique residue mod

1000

that is

0

mod

8

and

21

mod

125

is

896.

2017 AIME I Problema 14

Respuesta: 896

Nivel de dificultad: 3270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años