Question

Sean $a \gt 1$ y $x \gt 1$ que satisfacen $\small \log_a\!\left(\log_a\!\left(\log_a 2\right) + \log_a 24 - 128\right)$ $= 128$ y $\log_a\!\left(\log_a x\right) = 256.$ Halla el residuo cuando $x$ se divide entre $1000.$

Let $a \gt 1$ and $x \gt 1$ satisfy $\small \log_a\!\left(\log_a\!\left(\log_a 2\right) + \log_a 24 - 128\right)$ $= 128$ and $\log_a\!\left(\log_a x\right) = 256.$ Find the remainder when $x$ is divided by $1000.$

Respuesta

Solución:

Exponenciando dos veces la primera ecuación: $\log_a(\log_a 2) + \log_a 24 - 128$ $= a^{128}$ se convierte en $\log_a(24 \log_a 2) = 128 + a^{128},$ así que $24 \log_a 2 = a^{128} \cdot a^{a^{128}},$ es decir $2^{24} = a^{\left(a^{128} \cdot a^{a^{128}}\right)}.$ Haciendo $t = a^{a^{128}},$ el lado derecho es $t^t$ y el lado izquierdo es $\left(2^3\right)^{2^3},$ así que por la monotonía estricta de $t^t$ obtenemos $a^{a^{128}} = 8.$ Escribiendo $c = \log_2 a \gt 0,$ esto dice $c \cdot 2^{128c} = 3,$ que es creciente en $c$ y se satisface con $c = \frac{3}{64}:$ en efecto $\frac{3}{64} \cdot 2^6 = 3.$ Así que $a = 2^{3/64}.$

La segunda ecuación da $x = a^{a^{256}}.$ Aquí $a^{256} = 2^{256 \cdot 3/64} = 2^{12} = 4096,$ así que $x = a^{4096} = 2^{4096 \cdot 3/64} = 2^{192}.$

Claramente $2^{192} \equiv 0 \pmod{8}.$ Por el teorema de Euler $2^{100} \equiv 1 \pmod{125},$ así que $2^{192} \equiv 2^{-8} \pmod{125},$ el inverso de $256 \equiv 6.$ Como $6 \cdot 21 = 126 \equiv 1 \pmod{125},$ obtenemos $2^{192} \equiv 21 \pmod{125}.$ El único residuo módulo $1000$ que es $0$ módulo $8$ y $21$ módulo $125$ es $896.$

Exponentiating the first equation twice: $\log_a(\log_a 2) + \log_a 24 - 128$ $= a^{128}$ becomes $\log_a(24 \log_a 2) = 128 + a^{128},$ so $24 \log_a 2 = a^{128} \cdot a^{a^{128}},$ i.e. $2^{24} = a^{\left(a^{128} \cdot a^{a^{128}}\right)}.$ Setting $t = a^{a^{128}},$ the right side is $t^t$ and the left side is $\left(2^3\right)^{2^3},$ so by the strict monotonicity of $t^t$ we get $a^{a^{128}} = 8.$ Writing $c = \log_2 a \gt 0,$ this says $c \cdot 2^{128c} = 3,$ which is increasing in $c$ and satisfied by $c = \frac{3}{64}:$ indeed $\frac{3}{64} \cdot 2^6 = 3.$ So $a = 2^{3/64}.$

The second equation gives $x = a^{a^{256}}.$ Here $a^{256} = 2^{256 \cdot 3/64} = 2^{12} = 4096,$ so $x = a^{4096} = 2^{4096 \cdot 3/64} = 2^{192}.$

Clearly $2^{192} \equiv 0 \pmod{8}.$ By Euler's theorem $2^{100} \equiv 1 \pmod{125},$ so $2^{192} \equiv 2^{-8} \pmod{125},$ the inverse of $256 \equiv 6.$ Since $6 \cdot 21 = 126 \equiv 1 \pmod{125},$ we get $2^{192} \equiv 21 \pmod{125}.$ The unique residue mod $1000$ that is $0$ mod $8$ and $21$ mod $125$ is $896.$

2017 AIME I Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años