Solución:

Sea $M$ el punto medio de $\overline{BC}$, de modo que $A$, $G$, $M$ son colineales a lo largo de la mediana, mientras que $X$, $G$, $Y$ son colineales por definición. Como $OA \perp AX$ (tangente y radio) y $OG \perp GX$, el cuadrilátero $OAXG$ es cíclico con diámetro $\overline{OX}$. Como $OG \perp GY$ y $OM \perp MY$ (el segmento del centro al punto medio de una cuerda es perpendicular a ella), el cuadrilátero $OGYM$ es cíclico con diámetro $\overline{OY}$.

En cada circunferencia la cuerda $\overline{OG}$ subtiende ángulos iguales, así que $\angle OXY = \angle OXG$ $= \angle OAG = \angle OAM$ y $\angle OYX = \angle OYG$ $= \angle OMG = \angle OMA$. Los triángulos $OXY$ y $OAM$ tienen por lo tanto las mismas sumas de ángulos en sus bases, lo que da $$\begin{aligned} \angle XOY &= 180^\circ - \angle OXY \\ &\quad {}- \angle OYX \\ &= 180^\circ - \angle OAM \\ &\quad {}- \angle OMA \\ &= \angle AOM. \end{aligned}$$

Escribimos $\angle ABC = 13k$ y $\angle BCA = 2k$, de modo que $\angle BAC = 180^\circ - 15k$. Los ángulos centrales dan $\angle AOB = 2\angle BCA = 4k$, y $\overline{OM}$ biseca $\angle BOC = 2\angle BAC$, así que del lado de $B$ (más cerca del arco de $A$, ya que $\angle ABC \gt \angle BCA$), $$\begin{aligned} \angle AOM &= \angle AOB + \angle BOM \\ &= 4k + (180^\circ - 15k) \\ &= 180^\circ - 11k. \end{aligned}$$ Al poner $180^\circ - 11k = \angle XOY = 17k$ se obtiene $k = \frac{45}{7}$, así que $\angle BAC = 180^\circ - 15 \cdot \frac{45}{7} = \frac{585}{7}$ grados, y los tres ángulos son agudos como se requiere. Entonces $m + n = 585 + 7 = 592$.