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1999 AIME Problema 14

Intenta el Problema 14 del 1999 AIME a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1999 AIME, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

14.

El punto PP está situado dentro del triángulo ABCABC de modo que los ángulos PAB,PAB, PBC,PBC, y PCAPCA son todos congruentes. Los lados del triángulo tienen longitudes AB=13,AB = 13, BC=14,BC = 14, y CA=15,CA = 15, y la tangente del ángulo PABPAB es mn,\frac{m}{n}, donde mm y nn son enteros positivos primos entre sí. Halla m+n.m + n.
Point PP is located inside triangle ABCABC so that angles PAB,PAB, PBC,PBC, and PCAPCA are all congruent. The sides of the triangle have lengths AB=13,AB = 13, BC=14,BC = 14, and CA=15,CA = 15, and the tangent of angle PABPAB is mn,\frac{m}{n}, where mm and nn are relatively prime positive integers. Find m+n.m + n.
Respuesta: 463
Conceptos:ley de los senosidentidad trigonométricaárea del triángulo
Nivel de dificultad: 2990
Pista pequeña:
Llama ω\omega al ángulo común y calcula BPBP de dos maneras, desde los triángulos ABPABP y BCP,BCP, con la ley de los senos
Call the common angle ω\omega and compute BPBP two ways, from triangles ABPABP and BCP,BCP, with the law of sines
Pista grande:
La comparación se simplifica a cot⁡ω=cot⁡A+cot⁡B+cot⁡C,\cot\omega = \cot A + \cot B + \cot C, y cada cotangente puede escribirse en términos de las longitudes de los lados y el área
The comparison simplifies to cot⁡ω=cot⁡A+cot⁡B+cot⁡C,\cot\omega = \cot A + \cot B + \cot C, and each cotangent can be written in terms of the side lengths and the area
Solución:
Sea ω=∠PAB=∠PBC=∠PCA.\omega = \angle PAB = \angle PBC = \angle PCA. En el triángulo ABP,ABP, los ángulos en AA y BB son ω\omega y B−ω,B - \omega, así que ∠APB=180∘−B\angle APB = 180^\circ - B y la ley de los senos da BP=csin⁡ωsin⁡B.BP = \frac{c \sin\omega}{\sin B}. En el triángulo BCP,BCP, los ángulos en BB y CC son ω\omega y C−ω,C - \omega, así que ∠BPC=180∘−C\angle BPC = 180^\circ - C y BP=asin⁡(C−ω)sin⁡C.BP = \frac{a \sin(C - \omega)}{\sin C}.
Igualando y sustituyendo a=2Rsin⁡A,a = 2R\sin A, c=2Rsin⁡Cc = 2R\sin C resulta sin⁡2Csin⁡ω\sin^2 C \sin\omega =sin⁡Asin⁡Bsin⁡(C−ω).= \sin A \sin B \sin(C - \omega). Desarrollando sin⁡(C−ω)\sin(C - \omega) y dividiendo entre sin⁡Asin⁡Bsin⁡Csin⁡ω,\sin A \sin B \sin C \sin\omega, se obtiene sin⁡Csin⁡Asin⁡B=cot⁡ω−cot⁡C,\frac{\sin C}{\sin A \sin B} = \cot\omega - \cot C, y como sin⁡C\sin C =sin⁡(A+B)= \sin(A + B) =sin⁡Acos⁡B= \sin A \cos B +cos⁡Asin⁡B,+ \cos A \sin B, el lado izquierdo es cot⁡A+cot⁡B.\cot A + \cot B. Por lo tanto cot⁡ω=cot⁡A+cot⁡B+cot⁡C.\cot\omega = \cot A + \cot B + \cot C.
Usando cot⁡A=b2+c2−a24K\cot A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4K} y sus análogas, donde KK es el área, y dado que el triángulo 1313-1414-1515 tiene área 84,84, se obtiene cot⁡ω=a2+b2+c24K=169+196+2254⋅84=590336=295168, \begin{aligned} \cot\omega &= \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4K} \\ &= \frac{169 + 196 + 225}{4 \cdot 84} \\ &= \frac{590}{336} \\ &= \frac{295}{168}, \end{aligned} así que tan⁡ω=168295,\tan\omega = \frac{168}{295}, que está en su forma más simple, y m+n=168+295=463.m + n = 168 + 295 = 463.
Let ω=∠PAB=∠PBC=∠PCA.\omega = \angle PAB = \angle PBC = \angle PCA. In triangle ABP,ABP, the angles at AA and BB are ω\omega and B−ω,B - \omega, so ∠APB=180∘−B\angle APB = 180^\circ - B and the law of sines gives BP=csin⁡ωsin⁡B.BP = \frac{c \sin\omega}{\sin B}. In triangle BCP,BCP, the angles at BB and CC are ω\omega and C−ω,C - \omega, so ∠BPC=180∘−C\angle BPC = 180^\circ - C and BP=asin⁡(C−ω)sin⁡C.BP = \frac{a \sin(C - \omega)}{\sin C}.
Equating and substituting a=2Rsin⁡A,a = 2R\sin A, c=2Rsin⁡Cc = 2R\sin C yields sin⁡2Csin⁡ω\sin^2 C \sin\omega =sin⁡Asin⁡Bsin⁡(C−ω).= \sin A \sin B \sin(C - \omega). Expanding sin⁡(C−ω)\sin(C - \omega) and dividing by sin⁡Asin⁡Bsin⁡Csin⁡ω,\sin A \sin B \sin C \sin\omega, sin⁡Csin⁡Asin⁡B=cot⁡ω−cot⁡C,\frac{\sin C}{\sin A \sin B} = \cot\omega - \cot C, and since sin⁡C\sin C =sin⁡(A+B)= \sin(A + B) =sin⁡Acos⁡B= \sin A \cos B +cos⁡Asin⁡B,+ \cos A \sin B, the left side is cot⁡A+cot⁡B.\cot A + \cot B. Hence cot⁡ω=cot⁡A+cot⁡B+cot⁡C.\cot\omega = \cot A + \cot B + \cot C.
Using cot⁡A=b2+c2−a24K\cot A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4K} and its analogues, where KK is the area, cot⁡ω=a2+b2+c24K=169+196+2254⋅84=590336=295168, \begin{aligned} \cot\omega &= \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4K} \\ &= \frac{169 + 196 + 225}{4 \cdot 84} \\ &= \frac{590}{336} \\ &= \frac{295}{168}, \end{aligned} since the 1313-1414-1515 triangle has area 84.84. So tan⁡ω=168295,\tan\omega = \frac{168}{295}, which is in lowest terms, and m+n=168+295=463.m + n = 168 + 295 = 463.
Problema 13#13
Examen completo
Problema 15#15

El Problema 14 en otros años

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