Question

El punto $P$ está situado dentro del triángulo $ABC$ de modo que los ángulos $PAB,$ $PBC,$ y $PCA$ son todos congruentes. Los lados del triángulo tienen longitudes $AB = 13,$ $BC = 14,$ y $CA = 15,$ y la tangente del ángulo $PAB$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Point $P$ is located inside triangle $ABC$ so that angles $PAB,$ $PBC,$ and $PCA$ are all congruent. The sides of the triangle have lengths $AB = 13,$ $BC = 14,$ and $CA = 15,$ and the tangent of angle $PAB$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Sea $\omega = \angle PAB = \angle PBC = \angle PCA.$ En el triángulo $ABP,$ los ángulos en $A$ y $B$ son $\omega$ y $B - \omega,$ así que $\angle APB = 180^\circ - B$ y la ley de los senos da $BP = \frac{c \sin\omega}{\sin B}.$ En el triángulo $BCP,$ los ángulos en $B$ y $C$ son $\omega$ y $C - \omega,$ así que $\angle BPC = 180^\circ - C$ y $BP = \frac{a \sin(C - \omega)}{\sin C}.$

Igualando y sustituyendo $a = 2R\sin A,$ $c = 2R\sin C$ resulta $\sin^2 C \sin\omega$ $= \sin A \sin B \sin(C - \omega).$ Desarrollando $\sin(C - \omega)$ y dividiendo entre $\sin A \sin B \sin C \sin\omega,$ $\frac{\sin C}{\sin A \sin B} = \cot\omega - \cot C,$ y como $\sin C$ $= \sin(A + B)$ $= \sin A \cos B$ $+ \cos A \sin B,$ el lado izquierdo es $\cot A + \cot B.$ Por lo tanto $\cot\omega = \cot A + \cot B + \cot C.$

Usando $\cot A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4K}$ y sus análogas, donde $K$ es el área, $\begin{aligned} \cot\omega &= \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4K} \\ &= \frac{169 + 196 + 225}{4 \cdot 84} \\ &= \frac{590}{336} \\ &= \frac{295}{168}, \end{aligned}$ porque el triángulo $13$ - $14$ - $15$ tiene área $84.$ Así que $\tan\omega = \frac{168}{295},$ que está en su forma más simple, y $m + n = 168 + 295 = 463.$

Let $\omega = \angle PAB = \angle PBC = \angle PCA.$ In triangle $ABP,$ the angles at $A$ and $B$ are $\omega$ and $B - \omega,$ so $\angle APB = 180^\circ - B$ and the law of sines gives $BP = \frac{c \sin\omega}{\sin B}.$ In triangle $BCP,$ the angles at $B$ and $C$ are $\omega$ and $C - \omega,$ so $\angle BPC = 180^\circ - C$ and $BP = \frac{a \sin(C - \omega)}{\sin C}.$

Equating and substituting $a = 2R\sin A,$ $c = 2R\sin C$ yields $\sin^2 C \sin\omega$ $= \sin A \sin B \sin(C - \omega).$ Expanding $\sin(C - \omega)$ and dividing by $\sin A \sin B \sin C \sin\omega,$ $\frac{\sin C}{\sin A \sin B} = \cot\omega - \cot C,$ and since $\sin C$ $= \sin(A + B)$ $= \sin A \cos B$ $+ \cos A \sin B,$ the left side is $\cot A + \cot B.$ Hence $\cot\omega = \cot A + \cot B + \cot C.$

Using $\cot A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4K}$ and its analogues, where $K$ is the area, $\begin{aligned} \cot\omega &= \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4K} \\ &= \frac{169 + 196 + 225}{4 \cdot 84} \\ &= \frac{590}{336} \\ &= \frac{295}{168}, \end{aligned}$ since the $13$ - $14$ - $15$ triangle has area $84.$ So $\tan\omega = \frac{168}{295},$ which is in lowest terms, and $m + n = 168 + 295 = 463.$

1999 AIME Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años