Soluciones del 1999 AIME | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Halla el menor número primo que sea el quinto término de una progresión aritmética creciente, en la que los cuatro términos anteriores también sean primos.

Find the smallest prime that is the fifth term of an increasing arithmetic sequence, all four preceding terms also being prime.

Respuesta

Conceptos:primo sucesión aritmética divisibilidad

Nivel de dificultad: 1890

Solución:

Sean los términos $p,$ $p + d,$ $\ldots,$ $p + 4d.$ Si $d$ fuera impar, términos consecutivos tendrían paridad opuesta, así que algún término distinto del primero sería par y mayor que $2$ , lo cual es imposible. Si $d$ no fuera múltiplo de $3,$ entonces $p,$ $p + d,$ $p + 2d$ cubrirían todos los residuos módulo $3,$ por lo que algún término sería divisible entre $3;$ ese término tendría que ser el propio $3$ , lo que obliga a $p = 3,$ pero entonces $p + 3d = 3(1 + d)$ es compuesto. Por lo tanto $6 \mid d.$

Como $d \ge 6$ , el quinto término es al menos $p + 24.$ Probando $p = 5$ y $d = 6$ se obtiene $5, 11, 17, 23, 29,$ todos primos, y no es posible un quinto término menor puesto que $p \ge 5$ (los inicios $p = 2$ y $p = 3$ fallan como arriba). La respuesta es $29.$

Let the terms be $p,$ $p + d,$ $\ldots,$ $p + 4d.$ If $d$ were odd, consecutive terms would have opposite parity, so some term other than the first would be even and greater than $2$ — impossible. If $d$ were not a multiple of $3,$ then $p,$ $p + d,$ $p + 2d$ would cover all residues mod $3,$ so some term would be divisible by $3;$ that term would have to be $3$ itself, forcing $p = 3,$ but then $p + 3d = 3(1 + d)$ is composite. Hence $6 \mid d.$

With $d \ge 6$ the fifth term is at least $p + 24.$ Trying $p = 5$ and $d = 6$ gives $5, 11, 17, 23, 29,$ all prime, and no smaller fifth term is possible since $p \ge 5$ (the starts $p = 2$ and $p = 3$ fail as above). The answer is $29.$

2.

Considera el paralelogramo con vértices $(10, 45),$ $(10, 114),$ $(28, 153),$ y $(28, 84).$ Una recta que pasa por el origen divide esta figura en dos polígonos congruentes. La pendiente de la recta es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Consider the parallelogram with vertices $(10, 45),$ $(10, 114),$ $(28, 153),$ and $(28, 84).$ A line through the origin cuts this figure into two congruent polygons. The slope of the line is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:paralelogramo punto medio pendiente simetría

Nivel de dificultad: 1790

Solución:

Un paralelogramo es simétrico bajo la rotación de $180^\circ$ en torno a su centro, de modo que cualquier recta que pase por el centro lo divide en dos piezas que se intercambian mediante esa rotación, y por tanto son congruentes. El centro es el punto medio de una diagonal: $\begin{aligned} &\left(\frac{10 + 28}{2}, \frac{45 + 153}{2}\right) \\ &= (19, 99). \end{aligned}$

La recta que pasa por el origen y $(19, 99)$ tiene pendiente $\frac{99}{19},$ y $\gcd(99, 19) = 1,$ así que $m + n = 99 + 19 = 118.$

A parallelogram is symmetric under the $180^\circ$ rotation about its center, so any line through the center cuts it into two pieces that are swapped by that rotation, hence congruent. The center is the midpoint of a diagonal: $\begin{aligned} &\left(\frac{10 + 28}{2}, \frac{45 + 153}{2}\right) \\ &= (19, 99). \end{aligned}$

The line through the origin and $(19, 99)$ has slope $\frac{99}{19},$ and $\gcd(99, 19) = 1,$ so $m + n = 99 + 19 = 118.$

3.

Halla la suma de todos los enteros positivos $n$ para los cuales $n^2 - 19n + 99$ es un cuadrado perfecto.

Find the sum of all positive integers $n$ for which $n^2 - 19n + 99$ is a perfect square.

Respuesta

Conceptos:cuadrado perfecto completar el cuadrado diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 2180

Solución:

Supongamos que $n^2 - 19n + 99 = k^2.$ Multiplicando por $4$ y completando el cuadrado se obtiene $(2n - 19)^2 + 35 = (2k)^2,$ así que $\begin{aligned} &\bigl(2k - (2n - 19)\bigr) \\ &\quad {}\cdot \bigl(2k + (2n - 19)\bigr) \\ &= 35. \end{aligned}$ La suma de estos dos factores es $4k \gt 0,$ por lo que ambos son positivos: los pares de factores son $(1, 35),$ $(5, 7),$ $(7, 5),$ y $(35, 1).$

Restando el primer factor del segundo se obtiene $2(2n - 19) = 34,$ $2,$ $-2,$ o $-34,$ de modo que $n = 18,$ $10,$ $9,$ o $1.$ Cada uno de ellos hace efectivamente que la expresión sea un cuadrado perfecto ( $81,$ $9,$ $9,$ $81$ ), y la suma es $18 + 10 + 9 + 1 = 38.$

Suppose $n^2 - 19n + 99 = k^2.$ Multiplying by $4$ and completing the square gives $(2n - 19)^2 + 35 = (2k)^2,$ so $\begin{aligned} &\bigl(2k - (2n - 19)\bigr) \\ &\quad {}\cdot \bigl(2k + (2n - 19)\bigr) \\ &= 35. \end{aligned}$ The two factors sum to $4k \gt 0,$ so both are positive: the factor pairs are $(1, 35),$ $(5, 7),$ $(7, 5),$ and $(35, 1).$

Subtracting the first factor from the second gives $2(2n - 19) = 34,$ $2,$ $-2,$ or $-34,$ so $n = 18,$ $10,$ $9,$ or $1.$ Each indeed makes the expression a perfect square ( $81,$ $9,$ $9,$ $81$ ), and the sum is $18 + 10 + 9 + 1 = 38.$

4.

Los dos cuadrados mostrados comparten el mismo centro $O$ y tienen lados de longitud $1.$ La longitud de $\overline{AB}$ es $\frac{43}{99}$ y el área del octágono $ABCDEFGH$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

The two squares shown share the same center $O$ and have sides of length $1.$ The length of $\overline{AB}$ is $\frac{43}{99}$ and the area of octagon $ABCDEFGH$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:cuadrado (geometría)descomposición de áreas simetría

Nivel de dificultad: 2350

Solución:

Toda la configuración queda invariante al rotar $90^\circ$ en torno a $O,$ lo que lleva el lado del octágono $AB$ sucesivamente a $CD,$ $EF,$ $GH,$ y también queda invariante bajo la reflexión que intercambia los dos cuadrados, la cual lleva esos lados a $BC,$ $DE,$ $FG,$ $HA.$ Así que los ocho lados del octágono tienen la misma longitud, $\frac{43}{99}.$

Los segmentos desde $O$ hasta los ocho vértices dividen el octágono en $8$ triángulos. Cada uno tiene base $\frac{43}{99}$ situada sobre un lado de uno de los cuadrados unitarios, así que su altura desde $O$ es la distancia del centro a ese lado, es decir $\frac{1}{2}.$ El área es $8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{43}{99} \cdot \frac{1}{2} = \frac{86}{99}.$

Como $\gcd(86, 99) = 1,$ la respuesta es $86 + 99 = 185.$

The whole configuration is unchanged by rotating $90^\circ$ about $O,$ which cycles the octagon side $AB$ to $CD,$ $EF,$ $GH,$ and it is also unchanged by the reflection that swaps the two squares, which carries those sides to $BC,$ $DE,$ $FG,$ $HA.$ So all eight sides of the octagon have the same length, $\frac{43}{99}.$

Segments from $O$ to the eight vertices cut the octagon into $8$ triangles. Each has base $\frac{43}{99}$ lying on a side of one of the unit squares, so its height from $O$ is the distance from the center to that side, namely $\frac{1}{2}.$ The area is $8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{43}{99} \cdot \frac{1}{2} = \frac{86}{99}.$

Since $\gcd(86, 99) = 1,$ the answer is $86 + 99 = 185.$

5.

Para cualquier entero positivo $x,$ sea $S(x)$ la suma de los dígitos de $x,$ y sea $T(x)$ igual a $|S(x + 2) - S(x)|.$ Por ejemplo, $T(199)$ $= |S(201) - S(199)|$ $= |3 - 19|$ $= 16.$ ¿Cuántos valores $T(x)$ no exceden $1999$ ?

For any positive integer $x,$ let $S(x)$ be the sum of the digits of $x,$ and let $T(x)$ be $|S(x + 2) - S(x)|.$ For example, $T(199)$ $= |S(201) - S(199)|$ $= |3 - 19|$ $= 16.$ How many values $T(x)$ do not exceed $1999?$

Respuesta

Conceptos:dígitos sucesión aritmética análisis por casos

Nivel de dificultad: 2400

Solución:

Si el último dígito de $x$ es a lo sumo $7,$ sumar $2$ no cambia ningún otro dígito, así que $T(x) = 2.$ En caso contrario hay acarreo. Si $x$ termina en el dígito $8$ precedido por exactamente $m \ge 0$ nueves, entonces $x + 2$ reemplaza $\ldots a\underbrace{9 \cdots 9}_{m}8$ por $\ldots (a{+}1)\underbrace{0 \cdots 0}_{m}0,$ así que $S(x + 2) - S(x) = 1 - 9m - 8$ y $T(x) = 9m + 7.$ Si $x$ termina en exactamente $m \ge 1$ nueves, entonces $x + 2$ reemplaza $\ldots a\underbrace{9 \cdots 9}_{m}$ por $\ldots (a{+}1)\underbrace{0 \cdots 0}_{m - 1}1,$ así que $S(x + 2) - S(x) = 2 - 9m$ y $T(x) = 9m - 2.$

Ambas familias con acarreo dan exactamente los valores $7, 16, 25, \ldots,$ es decir, $9j + 7$ para $j \ge 0,$ y cada uno de esos valores se alcanza. Así que los valores posibles de $T$ son $2$ junto con todos los $9j + 7.$ Exigir $9j + 7 \le 1999$ da $j \le 221,$ lo que son $222$ valores, y $T = 2$ añade uno más, para un total de $223.$

If the last digit of $x$ is at most $7,$ adding $2$ changes no other digit, so $T(x) = 2.$ Otherwise there is carrying. If $x$ ends in the digit $8$ preceded by exactly $m \ge 0$ nines, then $x + 2$ replaces $\ldots a\underbrace{9 \cdots 9}_{m}8$ by $\ldots (a{+}1)\underbrace{0 \cdots 0}_{m}0,$ so $S(x + 2) - S(x) = 1 - 9m - 8$ and $T(x) = 9m + 7.$ If $x$ ends in exactly $m \ge 1$ nines, then $x + 2$ replaces $\ldots a\underbrace{9 \cdots 9}_{m}$ by $\ldots (a{+}1)\underbrace{0 \cdots 0}_{m - 1}1,$ so $S(x + 2) - S(x) = 2 - 9m$ and $T(x) = 9m - 2.$

Both carrying families give exactly the values $7, 16, 25, \ldots,$ that is, $9j + 7$ for $j \ge 0,$ and every such value occurs. So the possible values of $T$ are $2$ together with all $9j + 7.$ Requiring $9j + 7 \le 1999$ gives $j \le 221,$ which is $222$ values, and $T = 2$ adds one more, for a total of $223.$

6.

Una transformación del primer cuadrante del plano coordenado lleva cada punto $(x, y)$ al punto $(\sqrt{x}, \sqrt{y}).$ Los vértices del cuadrilátero $ABCD$ son $A = (900, 300),$ $B = (1800, 600),$ $C = (600, 1800),$ y $D = (300, 900).$ Sea $k$ el área de la región encerrada por la imagen del cuadrilátero $ABCD.$ Halla el mayor entero que no excede $k.$

A transformation of the first quadrant of the coordinate plane maps each point $(x, y)$ to the point $(\sqrt{x}, \sqrt{y}).$ The vertices of quadrilateral $ABCD$ are $A = (900, 300),$ $B = (1800, 600),$ $C = (600, 1800),$ and $D = (300, 900).$ Let $k$ be the area of the region enclosed by the image of quadrilateral $ABCD.$ Find the greatest integer that does not exceed $k.$

Respuesta

Conceptos:transformación geometría analítica sector circular corona circular

Nivel de dificultad: 2450

Solución:

Sigue las cuatro aristas. Los lados $AB$ y $DC$ están sobre las rectas $y = \frac{x}{3}$ y $y = 3x,$ que se transforman en las rectas $v = \frac{u}{\sqrt{3}}$ y $v = \sqrt{3}\,u$ , rayos desde el origen con ángulos $30^\circ$ y $60^\circ.$ Los lados $AD$ y $BC$ están sobre $x + y = 1200$ y $x + y = 2400,$ que se transforman en arcos de las circunferencias $u^2 + v^2 = 1200$ y $u^2 + v^2 = 2400.$

Así que la imagen es la parte del anillo entre los radios $\sqrt{1200}$ y $\sqrt{2400}$ situada entre los rayos de $30^\circ$ y $60^\circ$ , una doceava parte del anillo completo: $\begin{aligned} k &= \frac{30}{360}\,\pi\,(2400 - 1200) \\ &= 100\pi \approx 314.16. \end{aligned}$

El mayor entero que no excede $k$ es $314.$

Follow the four edges. Sides $AB$ and $DC$ lie on the lines $y = \frac{x}{3}$ and $y = 3x,$ which map to the lines $v = \frac{u}{\sqrt{3}}$ and $v = \sqrt{3}\,u$ — rays from the origin at angles $30^\circ$ and $60^\circ.$ Sides $AD$ and $BC$ lie on $x + y = 1200$ and $x + y = 2400,$ which map to arcs of the circles $u^2 + v^2 = 1200$ and $u^2 + v^2 = 2400.$

So the image is the part of the annulus between radii $\sqrt{1200}$ and $\sqrt{2400}$ lying between the $30^\circ$ and $60^\circ$ rays, one twelfth of the full annulus: $\begin{aligned} k &= \frac{30}{360}\,\pi\,(2400 - 1200) \\ &= 100\pi \approx 314.16. \end{aligned}$

The greatest integer not exceeding $k$ is $314.$

7.

Hay un conjunto de $1000$ interruptores, cada uno de los cuales tiene cuatro posiciones, llamadas $A,$ $B,$ $C,$ y $D.$ Cuando la posición de cualquier interruptor cambia, solo lo hace de $A$ a $B,$ de $B$ a $C,$ de $C$ a $D,$ o de $D$ a $A.$ Inicialmente cada interruptor está en la posición $A.$ Los interruptores están etiquetados con los $1000$ enteros distintos $2^x 3^y 5^z,$ donde $x,$ $y,$ y $z$ toman los valores $0, 1, \ldots, 9.$ En el paso $i$ de un proceso de $1000$ pasos, el $i$ -ésimo interruptor avanza un paso, y también lo hacen todos los demás interruptores cuyas etiquetas dividen la etiqueta del $i$ -ésimo interruptor. Después de completar el paso $1000,$ ¿cuántos interruptores estarán en la posición $A$ ?

There is a set of $1000$ switches, each of which has four positions, called $A,$ $B,$ $C,$ and $D.$ When the position of any switch changes, it is only from $A$ to $B,$ from $B$ to $C,$ from $C$ to $D,$ or from $D$ to $A.$ Initially each switch is in position $A.$ The switches are labeled with the $1000$ different integers $2^x 3^y 5^z,$ where $x,$ $y,$ and $z$ take on the values $0, 1, \ldots, 9.$ At step $i$ of a $1000$ -step process, the $i$ th switch is advanced one step, and so are all the other switches whose labels divide the label on the $i$ th switch. After step $1000$ has been completed, how many switches will be in position $A?$

Respuesta

Conceptos:factorización en primos aritmética modular conteo complementario

Nivel de dificultad: 2650

Solución:

El interruptor etiquetado $d$ avanza exactamente una vez por cada paso $i$ cuya etiqueta sea múltiplo de $d.$ Los múltiplos de $2^x 3^y 5^z$ entre las etiquetas son los $2^{x'} 3^{y'} 5^{z'}$ con $x \le x' \le 9,$ etc., así que ese interruptor avanza $(10 - x)(10 - y)(10 - z)$ veces. Regresa a la posición $A$ exactamente cuando este número es múltiplo de $4.$

Escribamos $a = 10 - x,$ $b = 10 - y,$ $c = 10 - z,$ recorriendo cada uno desde $1$ hasta $10.$ Contamos las ternas en las que $abc$ no es divisible entre $4:$ o bien los tres son impares, o bien exactamente uno es par pero no divisible entre $4.$ Entre $1, \ldots, 10$ hay $5$ valores impares y $3$ valores ( $2, 6, 10$ ) que son el doble de un número impar. Eso da $5^3 = 125$ ternas del primer tipo y $3 \cdot 3 \cdot 5^2 = 225$ del segundo, o sea $350$ en total.

Por lo tanto $1000 - 350 = 650$ interruptores terminan en la posición $A.$

The switch labeled $d$ is advanced exactly once for each step $i$ whose label is a multiple of $d.$ The multiples of $2^x 3^y 5^z$ among the labels are the $2^{x'} 3^{y'} 5^{z'}$ with $x \le x' \le 9,$ etc., so that switch advances $(10 - x)(10 - y)(10 - z)$ times. It returns to position $A$ exactly when this count is a multiple of $4.$

Write $a = 10 - x,$ $b = 10 - y,$ $c = 10 - z,$ each ranging over $1$ through $10.$ We count the triples where $abc$ is not divisible by $4:$ either all three are odd, or exactly one is even but not divisible by $4.$ Among $1, \ldots, 10$ there are $5$ odd values and $3$ values ( $2, 6, 10$ ) that are twice an odd number. That gives $5^3 = 125$ triples of the first kind and $3 \cdot 3 \cdot 5^2 = 225$ of the second, or $350$ in all.

Therefore $1000 - 350 = 650$ switches end in position $A.$

8.

Sea $\mathcal{T}$ el conjunto de las ternas ordenadas $(x, y, z)$ de números reales no negativos que están en el plano $x + y + z = 1.$ Digamos que $(x, y, z)$ sostiene a $(a, b, c)$ cuando exactamente dos de las siguientes son verdaderas: $x \ge a,$ $y \ge b,$ $z \ge c.$ Sea $\mathcal{S}$ el conjunto de aquellas ternas de $\mathcal{T}$ que sostienen a $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}\right).$ El área de $\mathcal{S}$ dividida entre el área de $\mathcal{T}$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Let $\mathcal{T}$ be the set of ordered triples $(x, y, z)$ of nonnegative real numbers that lie in the plane $x + y + z = 1.$ Let us say that $(x, y, z)$ supports $(a, b, c)$ when exactly two of the following are true: $x \ge a,$ $y \ge b,$ $z \ge c.$ Let $\mathcal{S}$ consist of those triples in $\mathcal{T}$ that support $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}\right).$ The area of $\mathcal{S}$ divided by the area of $\mathcal{T}$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:razón de áreas semejanza análisis por casos

Nivel de dificultad: 2450

Solución:

$\mathcal{T}$ es el triángulo con vértices $(1,0,0),$ $(0,1,0),$ $(0,0,1).$ Como $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1 = x + y + z,$ siempre que se cumplen dos de las desigualdades $x \ge \frac{1}{2},$ $y \ge \frac{1}{3},$ $z \ge \frac{1}{6}$ , la tercera solo puede cumplirse en un segmento de frontera de área cero. Así que $\mathcal{S}$ es, salvo medida cero, la unión de las tres regiones donde se cumple un par específico de desigualdades.

La región con $x \ge \frac{1}{2}$ y $y \ge \frac{1}{3}$ se convierte, tras sustituir $x = \frac{1}{2} + x'$ y $y = \frac{1}{3} + y',$ en una copia de $\mathcal{T}$ con suma de coordenadas $1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6},$ es decir, un triángulo semejante a $\mathcal{T}$ con razón $\frac{1}{6}$ y área $\left(\frac{1}{6}\right)^2$ de la de $\mathcal{T}.$ De igual modo, los pares $\{x, z\}$ y $\{y, z\}$ dan triángulos semejantes con razones $\frac{1}{3}$ y $\frac{1}{2}.$

La razón de las áreas es $\begin{aligned} &\frac{1}{36} + \frac{1}{9} + \frac{1}{4} = \frac{1 + 4 + 9}{36} \\ &= \frac{7}{18}, \end{aligned}$ así que $m + n = 7 + 18 = 25.$

$\mathcal{T}$ is the triangle with vertices $(1,0,0),$ $(0,1,0),$ $(0,0,1).$ Because $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1 = x + y + z,$ whenever two of the inequalities $x \ge \frac{1}{2},$ $y \ge \frac{1}{3},$ $z \ge \frac{1}{6}$ hold, the third can hold only on a boundary segment of zero area. So $\mathcal{S}$ is, up to measure zero, the union of the three regions where a specific pair of inequalities holds.

The region with $x \ge \frac{1}{2}$ and $y \ge \frac{1}{3}$ becomes, after substituting $x = \frac{1}{2} + x'$ and $y = \frac{1}{3} + y',$ a copy of $\mathcal{T}$ with coordinate sum $1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6},$ i.e. a triangle similar to $\mathcal{T}$ with ratio $\frac{1}{6}$ and area $\left(\frac{1}{6}\right)^2$ of $\mathcal{T}.$ Likewise the pairs $\{x, z\}$ and $\{y, z\}$ give similar triangles with ratios $\frac{1}{3}$ and $\frac{1}{2}.$

The ratio of areas is $\begin{aligned} &\frac{1}{36} + \frac{1}{9} + \frac{1}{4} = \frac{1 + 4 + 9}{36} \\ &= \frac{7}{18}, \end{aligned}$ so $m + n = 7 + 18 = 25.$

9.

Una función $f$ está definida sobre los números complejos por $f(z) = (a + bi)z,$ donde $a$ y $b$ son números positivos. Esta función tiene la propiedad de que la imagen de cada punto del plano complejo equidista de ese punto y del origen. Dado que $|a + bi| = 8$ y que $b^2 = \frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí, halla $m + n.$

A function $f$ is defined on the complex numbers by $f(z) = (a + bi)z,$ where $a$ and $b$ are positive numbers. This function has the property that the image of each point in the complex plane is equidistant from that point and the origin. Given that $|a + bi| = 8$ and that $b^2 = \frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:número complejo manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2270

Solución:

La condición es $|f(z) - z| = |f(z)|$ para todo $z,$ es decir, $|(a - 1 + bi)z| = |(a + bi)z|.$ Dividiendo entre $|z|$ (para $z \ne 0$ ) se obtiene $|a - 1 + bi| = |a + bi|,$ así que $(a - 1)^2 + b^2 = a^2 + b^2,$ lo que obliga a $a = \frac{1}{2}.$

Como $|a + bi| = 8,$ tenemos $a^2 + b^2 = 64,$ así que $b^2 = 64 - \frac{1}{4} = \frac{255}{4}.$ Como $\gcd(255, 4) = 1,$ la respuesta es $255 + 4 = 259.$

The condition is $|f(z) - z| = |f(z)|$ for all $z,$ that is, $|(a - 1 + bi)z| = |(a + bi)z|.$ Dividing by $|z|$ (for $z \ne 0$ ) gives $|a - 1 + bi| = |a + bi|,$ so $(a - 1)^2 + b^2 = a^2 + b^2,$ which forces $a = \frac{1}{2}.$

Since $|a + bi| = 8,$ we have $a^2 + b^2 = 64,$ so $b^2 = 64 - \frac{1}{4} = \frac{255}{4}.$ As $\gcd(255, 4) = 1,$ the answer is $255 + 4 = 259.$

10.

Se dan diez puntos en el plano, sin que haya tres colineales. Se eligen al azar cuatro segmentos distintos que unen pares de estos puntos, siendo todos esos segmentos igualmente probables. La probabilidad de que algunos tres de los segmentos formen un triángulo cuyos vértices estén entre los diez puntos dados es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Ten points in the plane are given, with no three collinear. Four distinct segments joining pairs of these points are chosen at random, all such segments being equally likely. The probability that some three of the segments form a triangle whose vertices are among the ten given points is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:probabilidad básica combinaciones

Nivel de dificultad: 2480

Solución:

Hay $\binom{10}{2} = 45$ segmentos, así que $\binom{45}{4} = 148995$ elecciones igualmente probables. Dos triángulos distintos comparten a lo sumo una arista, de modo que juntos usan al menos $5$ segmentos; por tanto un conjunto de $4$ segmentos contiene a lo sumo un triángulo, y los conjuntos favorables se cuentan exactamente una vez eligiendo un triángulo y luego un cuarto segmento: $\begin{aligned} &\binom{10}{3} \cdot (45 - 3) = 120 \cdot 42 \\ &= 5040. \end{aligned}$

La probabilidad es $\frac{5040}{148995} = \frac{16}{473},$ ya en su forma más simple ( $473 = 11 \cdot 43$ ), así que $m + n = 16 + 473 = 489.$

There are $\binom{10}{2} = 45$ segments, so $\binom{45}{4} = 148995$ equally likely choices. Two distinct triangles share at most one edge, so together they use at least $5$ segments; hence a set of $4$ segments contains at most one triangle, and the favorable sets are counted exactly once by choosing a triangle and then a fourth segment: $\begin{aligned} &\binom{10}{3} \cdot (45 - 3) = 120 \cdot 42 \\ &= 5040. \end{aligned}$

The probability is $\frac{5040}{148995} = \frac{16}{473},$ already in lowest terms ( $473 = 11 \cdot 43$ ), so $m + n = 16 + 473 = 489.$

11.

Dado que $\sum_{k=1}^{35} \sin 5k = \tan \frac{m}{n},$ donde los ángulos se miden en grados, y $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí que satisfacen $\frac{m}{n} \lt 90,$ halla $m + n.$

Given that $\sum_{k=1}^{35} \sin 5k = \tan \frac{m}{n},$ where angles are measured in degrees, and $m$ and $n$ are relatively prime positive integers that satisfy $\frac{m}{n} \lt 90,$ find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:identidad trigonométrica telescópica

Nivel de dificultad: 2560

Solución:

Multiplica la suma por $2 \sin 2.5^\circ$ y aplica $2 \sin 5k^\circ \sin 2.5^\circ$ $= \cos(5k - 2.5)^\circ$ $- \cos(5k + 2.5)^\circ,$ de modo que la suma se telescopa: $\begin{aligned} &2 \sin 2.5^\circ \sum_{k=1}^{35} \sin 5k^\circ \\ &= \cos 2.5^\circ - \cos 177.5^\circ \\ &= 2\cos 2.5^\circ. \end{aligned}$

Por lo tanto la suma es igual a $\frac{\cos 2.5^\circ}{\sin 2.5^\circ}$ $= \cot 2.5^\circ$ $= \tan 87.5^\circ$ $= \tan \frac{175}{2}^\circ.$ Como $\gcd(175, 2) = 1$ y $\frac{175}{2} \lt 90,$ obtenemos $m + n = 175 + 2 = 177.$

Multiply the sum by $2 \sin 2.5^\circ$ and apply $2 \sin 5k^\circ \sin 2.5^\circ$ $= \cos(5k - 2.5)^\circ$ $- \cos(5k + 2.5)^\circ,$ so the sum telescopes: $\begin{aligned} &2 \sin 2.5^\circ \sum_{k=1}^{35} \sin 5k^\circ \\ &= \cos 2.5^\circ - \cos 177.5^\circ \\ &= 2\cos 2.5^\circ. \end{aligned}$

Hence the sum equals $\frac{\cos 2.5^\circ}{\sin 2.5^\circ}$ $= \cot 2.5^\circ$ $= \tan 87.5^\circ$ $= \tan \frac{175}{2}^\circ.$ Since $\gcd(175, 2) = 1$ and $\frac{175}{2} \lt 90,$ we get $m + n = 175 + 2 = 177.$

12.

La circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ es tangente a $\overline{AB}$ en $P,$ y su radio es $21.$ Dado que $AP = 23$ y $PB = 27,$ halla el perímetro del triángulo.

The inscribed circle of triangle $ABC$ is tangent to $\overline{AB}$ at $P,$ and its radius is $21.$ Given that $AP = 23$ and $PB = 27,$ find the perimeter of the triangle.

Respuesta

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio Fórmula de Herón área del triángulo

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

Los segmentos tangentes desde un punto son iguales, así que las longitudes tangentes desde $A,$ $B,$ $C$ son $23,$ $27,$ y cierto $z.$ Entonces los lados son $50,$ $23 + z,$ $27 + z,$ el semiperímetro es $s = 50 + z,$ y la fórmula de Herón da el área $\sqrt{(50 + z) \cdot z \cdot 23 \cdot 27}.$

El área también es igual a $rs = 21(50 + z).$ Elevando al cuadrado $21(50 + z) = \sqrt{621 z (50 + z)}$ y dividiendo entre $50 + z$ se obtiene $441(50 + z) = 621 z,$ así que $180 z = 22050$ y $z = \frac{245}{2}.$

El perímetro es $2s = 2\left(50 + \frac{245}{2}\right) = 345.$

Tangent segments from a point are equal, so the tangent lengths from $A,$ $B,$ $C$ are $23,$ $27,$ and some $z.$ Then the sides are $50,$ $23 + z,$ $27 + z,$ the semiperimeter is $s = 50 + z,$ and Heron's formula gives area $\sqrt{(50 + z) \cdot z \cdot 23 \cdot 27}.$

The area also equals $rs = 21(50 + z).$ Squaring $21(50 + z) = \sqrt{621 z (50 + z)}$ and dividing by $50 + z$ gives $441(50 + z) = 621 z,$ so $180 z = 22050$ and $z = \frac{245}{2}.$

The perimeter is $2s = 2\left(50 + \frac{245}{2}\right) = 345.$

13.

Cuarenta equipos juegan un torneo en el que cada equipo juega contra cada otro equipo exactamente una vez. No hay empates, y cada equipo tiene una probabilidad del $50\%$ de ganar cualquier partido que juegue. La probabilidad de que no haya dos equipos que ganen el mismo número de partidos es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $\log_2 n.$

Forty teams play a tournament in which every team plays every other team exactly once. No ties occur, and each team has a $50\%$ chance of winning any game it plays. The probability that no two teams win the same number of games is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $\log_2 n.$

Respuesta

Conceptos:probabilidad básica permutaciones Fórmula de Legendre

Nivel de dificultad: 2650

Solución:

Hay $\binom{40}{2} = 780$ partidos, y por tanto $2^{780}$ resultados igualmente probables. Si los $40$ totales de victorias son todos distintos, deben ser exactamente $0, 1, \ldots, 39.$ En ese caso el equipo con $39$ victorias venció a todos, el equipo con $38$ victorias venció a todos excepto a ese equipo, y así sucesivamente: la asignación de totales a los equipos determina cada partido. Recíprocamente, cada una de las $40!$ asignaciones proviene de exactamente un resultado, así que la probabilidad es $\frac{40!}{2^{780}}.$

Por la fórmula de Legendre, la potencia de $2$ que divide a $40!$ es $20 + 10 + 5 + 2 + 1 = 38.$ En su forma más simple, el denominador es por tanto $n = 2^{780 - 38} = 2^{742},$ así que $\log_2 n = 742.$

There are $\binom{40}{2} = 780$ games, hence $2^{780}$ equally likely outcomes. If all $40$ win totals are distinct, they must be exactly $0, 1, \ldots, 39.$ In that case the team with $39$ wins beat everyone, the team with $38$ wins beat everyone except that team, and so on: the assignment of totals to teams determines every game. Conversely each of the $40!$ assignments arises from exactly one outcome, so the probability is $\frac{40!}{2^{780}}.$

By Legendre's formula the power of $2$ dividing $40!$ is $20 + 10 + 5 + 2 + 1 = 38.$ In lowest terms the denominator is therefore $n = 2^{780 - 38} = 2^{742},$ so $\log_2 n = 742.$

14.

El punto $P$ está situado dentro del triángulo $ABC$ de modo que los ángulos $PAB,$ $PBC,$ y $PCA$ son todos congruentes. Los lados del triángulo tienen longitudes $AB = 13,$ $BC = 14,$ y $CA = 15,$ y la tangente del ángulo $PAB$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Point $P$ is located inside triangle $ABC$ so that angles $PAB,$ $PBC,$ and $PCA$ are all congruent. The sides of the triangle have lengths $AB = 13,$ $BC = 14,$ and $CA = 15,$ and the tangent of angle $PAB$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:ley de los senos identidad trigonométrica área del triángulo

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Sea $\omega = \angle PAB = \angle PBC = \angle PCA.$ En el triángulo $ABP,$ los ángulos en $A$ y $B$ son $\omega$ y $B - \omega,$ así que $\angle APB = 180^\circ - B$ y la ley de los senos da $BP = \frac{c \sin\omega}{\sin B}.$ En el triángulo $BCP,$ los ángulos en $B$ y $C$ son $\omega$ y $C - \omega,$ así que $\angle BPC = 180^\circ - C$ y $BP = \frac{a \sin(C - \omega)}{\sin C}.$

Igualando y sustituyendo $a = 2R\sin A,$ $c = 2R\sin C$ resulta $\sin^2 C \sin\omega$ $= \sin A \sin B \sin(C - \omega).$ Desarrollando $\sin(C - \omega)$ y dividiendo entre $\sin A \sin B \sin C \sin\omega,$ $\frac{\sin C}{\sin A \sin B} = \cot\omega - \cot C,$ y como $\sin C$ $= \sin(A + B)$ $= \sin A \cos B$ $+ \cos A \sin B,$ el lado izquierdo es $\cot A + \cot B.$ Por lo tanto $\cot\omega = \cot A + \cot B + \cot C.$

Usando $\cot A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4K}$ y sus análogas, donde $K$ es el área, $\begin{aligned} \cot\omega &= \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4K} \\ &= \frac{169 + 196 + 225}{4 \cdot 84} \\ &= \frac{590}{336} \\ &= \frac{295}{168}, \end{aligned}$ porque el triángulo $13$ - $14$ - $15$ tiene área $84.$ Así que $\tan\omega = \frac{168}{295},$ que está en su forma más simple, y $m + n = 168 + 295 = 463.$

Let $\omega = \angle PAB = \angle PBC = \angle PCA.$ In triangle $ABP,$ the angles at $A$ and $B$ are $\omega$ and $B - \omega,$ so $\angle APB = 180^\circ - B$ and the law of sines gives $BP = \frac{c \sin\omega}{\sin B}.$ In triangle $BCP,$ the angles at $B$ and $C$ are $\omega$ and $C - \omega,$ so $\angle BPC = 180^\circ - C$ and $BP = \frac{a \sin(C - \omega)}{\sin C}.$

Equating and substituting $a = 2R\sin A,$ $c = 2R\sin C$ yields $\sin^2 C \sin\omega$ $= \sin A \sin B \sin(C - \omega).$ Expanding $\sin(C - \omega)$ and dividing by $\sin A \sin B \sin C \sin\omega,$ $\frac{\sin C}{\sin A \sin B} = \cot\omega - \cot C,$ and since $\sin C$ $= \sin(A + B)$ $= \sin A \cos B$ $+ \cos A \sin B,$ the left side is $\cot A + \cot B.$ Hence $\cot\omega = \cot A + \cot B + \cot C.$

Using $\cot A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4K}$ and its analogues, where $K$ is the area, $\begin{aligned} \cot\omega &= \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4K} \\ &= \frac{169 + 196 + 225}{4 \cdot 84} \\ &= \frac{590}{336} \\ &= \frac{295}{168}, \end{aligned}$ since the $13$ - $14$ - $15$ triangle has area $84.$ So $\tan\omega = \frac{168}{295},$ which is in lowest terms, and $m + n = 168 + 295 = 463.$

15.

Considera el triángulo de papel cuyos vértices son $(0, 0),$ $(34, 0),$ y $(16, 24).$ Los vértices de su triángulo medial son los puntos medios de sus lados. Se forma una pirámide triangular doblando el triángulo a lo largo de los lados de su triángulo medial. ¿Cuál es el volumen de esta pirámide?

Consider the paper triangle whose vertices are $(0, 0),$ $(34, 0),$ and $(16, 24).$ The vertices of its midpoint triangle are the midpoints of its sides. A triangular pyramid is formed by folding the triangle along the sides of its midpoint triangle. What is the volume of this pyramid?

Respuesta

Conceptos:plegado de papel Geometría 3D geometría analítica volumen

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Los puntos medios son $M_1 = (17, 0),$ $M_2 = (25, 12),$ y $M_3 = (8, 12).$ Al doblar hacia arriba los tres triángulos de las esquinas a lo largo de los lados del triángulo medial, las esquinas se juntan en un único vértice $Q$ (cada par de semilados pegados tiene igual longitud). El vértice conserva sus distancias tras el doblado: $QM_1 = 17$ (la mitad del lado de longitud $34$ que $M_1$ biseca), $QM_2 = 15$ (la mitad de $30$ ), y $QM_3 = 4\sqrt{13}$ (la mitad de $\sqrt{16^2 + 24^2} = 8\sqrt{13}$ ).

Mantén el triángulo medial en el plano $z = 0$ y sea $Q = (x, y, z).$ Restando $|Q - M_3|^2 = 208$ de $|Q - M_2|^2 = 225$ se obtiene $(x - 25)^2 - (x - 8)^2 = 17,$ así que $x = 16;$ restando $|Q - M_2|^2 = 225$ de $|Q - M_1|^2 = 289$ se obtiene $2x + 3y = 68,$ así que $y = 12.$ Entonces $z^2$ $= 289 - (16 - 17)^2$ $- 12^2$ $= 144,$ de modo que el vértice está a la altura $z = 12.$

La base es el triángulo medial, con área igual a un cuarto de la del triángulo original $\frac{1}{2} \cdot 34 \cdot 24 = 408,$ es decir $102.$ El volumen es $\frac{1}{3} \cdot 102 \cdot 12 = 408.$

The midpoints are $M_1 = (17, 0),$ $M_2 = (25, 12),$ and $M_3 = (8, 12).$ Folding the three corner triangles up along the sides of the midpoint triangle brings the corners together at one apex $Q$ (each pair of glued half-sides has equal length). The apex keeps its folded distances: $QM_1 = 17$ (half of the side of length $34$ that $M_1$ bisects), $QM_2 = 15$ (half of $30$ ), and $QM_3 = 4\sqrt{13}$ (half of $\sqrt{16^2 + 24^2} = 8\sqrt{13}$ ).

Keep the midpoint triangle in the plane $z = 0$ and let $Q = (x, y, z).$ Subtracting $|Q - M_3|^2 = 208$ from $|Q - M_2|^2 = 225$ gives $(x - 25)^2 - (x - 8)^2 = 17,$ so $x = 16;$ subtracting $|Q - M_2|^2 = 225$ from $|Q - M_1|^2 = 289$ gives $2x + 3y = 68,$ so $y = 12.$ Then $z^2$ $= 289 - (16 - 17)^2$ $- 12^2$ $= 144,$ so the apex is at height $z = 12.$

The base is the midpoint triangle, with area one quarter of the original triangle's $\frac{1}{2} \cdot 34 \cdot 24 = 408,$ i.e. $102.$ The volume is $\frac{1}{3} \cdot 102 \cdot 12 = 408.$