1999 AIME — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

3:00:00

1.

Halla el menor número primo que sea el quinto término de una progresión aritmética creciente, en la que los cuatro términos anteriores también sean primos.

Find the smallest prime that is the fifth term of an increasing arithmetic sequence, all four preceding terms also being prime.

Respuesta

Respuesta: 29

Conceptos:primo sucesión aritmética divisibilidad

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Si la diferencia común no es múltiplo de $3,$ uno de los tres primeros términos es divisible entre $3$

If the common difference is not a multiple of $3,$ one of the first three terms is divisible by $3$

Pista grande:

La diferencia debe ser múltiplo de $6,$ así que prueba progresiones de cinco términos con diferencia $6$ empezando desde primos pequeños

The difference must be a multiple of $6,$ so try five-term progressions with difference $6$ starting from small primes

Solución:

Sean los términos $p,$ $p + d,$ $\ldots,$ $p + 4d.$ El primo par no puede ser el primer término: una diferencia par hace par al segundo término, mientras que una diferencia impar hace par al tercero. Si $d$ fuera impar, términos consecutivos tendrían paridad opuesta, así que algún término distinto del primero sería par y mayor que $2$ , lo cual es imposible. Si $d$ no fuera múltiplo de $3,$ entonces $p,$ $p + d,$ $p + 2d$ cubrirían todos los residuos módulo $3,$ por lo que algún término sería divisible entre $3;$ ese término tendría que ser el propio $3$ , lo que obliga a $p = 3,$ pero entonces $p + 3d = 3(1 + d)$ es compuesto. Por lo tanto $d$ es divisible entre $6.$

Como $d \ge 6$ , el quinto término es al menos $p + 24.$ Probando $p = 5$ y $d = 6$ se obtiene $5, 11, 17, 23, 29,$ todos primos, y no es posible un quinto término menor puesto que $p \ge 5$ (los inicios $p = 2$ y $p = 3$ fallan como arriba). La respuesta es $29.$

Let the terms be $p,$ $p + d,$ $\ldots,$ $p + 4d.$ The even prime cannot be the first term: an even difference makes the second term even, while an odd difference makes the third term even. If $d$ were odd, consecutive terms would have opposite parity, so some term other than the first would be even and greater than $2$ — impossible. If $d$ were not a multiple of $3,$ then $p,$ $p + d,$ $p + 2d$ would cover all residues mod $3,$ so some term would be divisible by $3;$ that term would have to be $3$ itself, forcing $p = 3,$ but then $p + 3d = 3(1 + d)$ is composite. Hence $d$ is divisible by $6.$

With $d \ge 6$ the fifth term is at least $p + 24.$ Trying $p = 5$ and $d = 6$ gives $5, 11, 17, 23, 29,$ all prime, and no smaller fifth term is possible since $p \ge 5$ (the starts $p = 2$ and $p = 3$ fail as above). The answer is $29.$

2.

Considera el paralelogramo con vértices $(10, 45),$ $(10, 114),$ $(28, 153),$ y $(28, 84).$ Una recta que pasa por el origen divide esta figura en dos polígonos congruentes. La pendiente de la recta es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Consider the parallelogram with vertices $(10, 45),$ $(10, 114),$ $(28, 153),$ and $(28, 84).$ A line through the origin cuts this figure into two congruent polygons. The slope of the line is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 118

Conceptos:paralelogramo punto medio pendiente simetría

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Una recta divide un paralelogramo en dos piezas congruentes cuando pasa por el centro de simetría del paralelogramo

A line cuts a parallelogram into two congruent pieces when it passes through the parallelogram’s center of symmetry

Pista grande:

El centro es el punto medio de la diagonal desde $(10, 45)$ hasta $(28, 153)$

The center is the midpoint of the diagonal from $(10, 45)$ to $(28, 153)$

Solución:

Dos piezas congruentes tienen igual área. Para cualquier dirección fija, hay una única recta de esa dirección que biseca el área de una figura convexa; como el paralelogramo es centralmente simétrico, esa recta pasa por su centro. Por lo tanto, la recta buscada que pasa por el origen también debe pasar por el centro. Recíprocamente, un paralelogramo es simétrico bajo la rotación de $180^\circ$ en torno a su centro, de modo que cualquier recta que pase por el centro lo divide en dos piezas que se intercambian mediante esa rotación, y por tanto son congruentes. El centro es el punto medio de una diagonal: $\begin{aligned} &\left(\frac{10 + 28}{2}, \frac{45 + 153}{2}\right) \\ &= (19, 99). \end{aligned}$

La recta que pasa por el origen y $(19, 99)$ tiene pendiente $\frac{99}{19},$ y $\gcd(99, 19) = 1,$ así que $m + n = 99 + 19 = 118.$

Congruent pieces have equal area. For any fixed direction, there is only one line in that direction that bisects the area of a convex figure; because a parallelogram is centrally symmetric, that line passes through its center. Thus the required line through the origin must also pass through the center. Conversely, the $180^\circ$ rotation about the center swaps the two pieces cut by such a line, so they are congruent. The center is the midpoint of a diagonal: $\begin{aligned} &\left(\frac{10 + 28}{2}, \frac{45 + 153}{2}\right) \\ &= (19, 99). \end{aligned}$

The line through the origin and $(19, 99)$ has slope $\frac{99}{19},$ and $\gcd(99, 19) = 1,$ so $m + n = 99 + 19 = 118.$

3.

Halla la suma de todos los enteros positivos $n$ para los cuales $n^2 - 19n + 99$ es un cuadrado perfecto.

Find the sum of all positive integers $n$ for which $n^2 - 19n + 99$ is a perfect square.

Respuesta

Respuesta: 38

Conceptos:cuadrado perfecto completar el cuadrado diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 2180

Pista pequeña:

Multiplica por $4$ y completa el cuadrado: $4(n^2 - 19n + 99)$ $= (2n - 19)^2 + 35$

Multiply by $4$ and complete the square: $4(n^2 - 19n + 99)$ $= (2n - 19)^2 + 35$

Pista grande:

Si la expresión es igual a $k^2,$ entonces $(2k)^2 - (2n - 19)^2 = 35;$ factoriza $35$ como diferencia de cuadrados de todas las formas posibles

If the expression equals $k^2,$ then $(2k)^2 - (2n - 19)^2 = 35;$ factor $35$ as a difference of squares in every way

Solución:

Supongamos que $n^2 - 19n + 99 = k^2.$ Multiplicando por $4$ y completando el cuadrado se obtiene $(2n - 19)^2 + 35 = (2k)^2,$ así que $\begin{aligned} &\bigl(2k - (2n - 19)\bigr) \\ &\quad {}\cdot \bigl(2k + (2n - 19)\bigr) \\ &= 35. \end{aligned}$ La suma de estos dos factores es $4k \gt 0,$ por lo que ambos son positivos: los pares de factores son $(1, 35),$ $(5, 7),$ $(7, 5),$ y $(35, 1).$

Restando el primer factor del segundo se obtiene $2(2n - 19) = 34,$ $2,$ $-2,$ o $-34,$ de modo que $n = 18,$ $10,$ $9,$ o $1.$ Cada uno de ellos hace efectivamente que la expresión sea un cuadrado perfecto ( $81,$ $9,$ $9,$ $81$ ), y la suma es $18 + 10 + 9 + 1 = 38.$

Suppose $n^2 - 19n + 99 = k^2.$ Multiplying by $4$ and completing the square gives $(2n - 19)^2 + 35 = (2k)^2,$ so $\begin{aligned} &\bigl(2k - (2n - 19)\bigr) \\ &\quad {}\cdot \bigl(2k + (2n - 19)\bigr) \\ &= 35. \end{aligned}$ The two factors sum to $4k \gt 0,$ so both are positive: the factor pairs are $(1, 35),$ $(5, 7),$ $(7, 5),$ and $(35, 1).$

Subtracting the first factor from the second gives $2(2n - 19) = 34,$ $2,$ $-2,$ or $-34,$ so $n = 18,$ $10,$ $9,$ or $1.$ Each indeed makes the expression a perfect square ( $81,$ $9,$ $9,$ $81$ ), and the sum is $18 + 10 + 9 + 1 = 38.$

4.

Los dos cuadrados mostrados comparten el mismo centro $O$ y tienen lados de longitud $1.$ La longitud de $\overline{AB}$ es $\frac{43}{99}$ y el área del octágono $ABCDEFGH$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

The two squares shown share the same center $O$ and have sides of length $1.$ The length of $\overline{AB}$ is $\frac{43}{99}$ and the area of octagon $ABCDEFGH$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 185

Conceptos:cuadrado (geometría)descomposición de áreas simetría

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Por las simetrías que intercambian los dos cuadrados y que rotan $90^\circ,$ los ocho lados del octágono son congruentes

By the symmetries swapping the two squares and rotating by $90^\circ,$ all eight sides of the octagon are congruent

Pista grande:

Divide el octágono en $8$ triángulos con vértice $O;$ cada lado del octágono está sobre un lado de un cuadrado, a distancia $\frac{1}{2}$ de $O$

Cut the octagon into $8$ triangles with apex $O;$ each side of the octagon lies on a side of a square, at distance $\frac{1}{2}$ from $O$

Solución:

Toda la configuración queda invariante al rotar $90^\circ$ en torno a $O,$ lo que lleva el lado del octágono $AB$ sucesivamente a $CD,$ $EF,$ $GH,$ y también queda invariante bajo la reflexión que intercambia los dos cuadrados, la cual lleva esos lados a $BC,$ $DE,$ $FG,$ $HA.$ Así que los ocho lados del octágono tienen la misma longitud, $\frac{43}{99}.$

Los segmentos desde $O$ hasta los ocho vértices dividen el octágono en $8$ triángulos. Cada uno tiene base $\frac{43}{99}$ situada sobre un lado de uno de los cuadrados unitarios, así que su altura desde $O$ es la distancia del centro a ese lado, es decir $\frac{1}{2}.$ El área es $8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{43}{99} \cdot \frac{1}{2} = \frac{86}{99}.$

Como $\gcd(86, 99) = 1,$ la respuesta es $86 + 99 = 185.$

The whole configuration is unchanged by rotating $90^\circ$ about $O,$ which cycles the octagon side $AB$ to $CD,$ $EF,$ $GH,$ and it is also unchanged by the reflection that swaps the two squares, which carries those sides to $BC,$ $DE,$ $FG,$ $HA.$ So all eight sides of the octagon have the same length, $\frac{43}{99}.$

Segments from $O$ to the eight vertices cut the octagon into $8$ triangles. Each has base $\frac{43}{99}$ lying on a side of one of the unit squares, so its height from $O$ is the distance from the center to that side, namely $\frac{1}{2}.$ The area is $8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{43}{99} \cdot \frac{1}{2} = \frac{86}{99}.$

Since $\gcd(86, 99) = 1,$ the answer is $86 + 99 = 185.$

5.

Para cualquier entero positivo $x,$ sea $S(x)$ la suma de los dígitos de $x,$ y sea $T(x)$ igual a $|S(x + 2) - S(x)|.$ Por ejemplo, $T(199)$ $= |S(201) - S(199)|$ $= |3 - 19|$ $= 16.$ ¿Cuántos valores $T(x)$ no exceden $1999$ ?

For any positive integer $x,$ let $S(x)$ be the sum of the digits of $x,$ and let $T(x)$ be $|S(x + 2) - S(x)|.$ For example, $T(199)$ $= |S(201) - S(199)|$ $= |3 - 19|$ $= 16.$ How many values $T(x)$ do not exceed $1999?$

Respuesta

Respuesta: 223

Conceptos:dígitos sucesión aritmética análisis por casos

Nivel de dificultad: 2400

Pista pequeña:

Si al sumar $2$ no se produce ningún acarreo, $T(x) = 2.$ El acarreo ocurre solo cuando $x$ termina en $8$ o $9.$

If adding $2$ causes no carrying, $T(x) = 2.$ Carrying happens only when $x$ ends in $8$ or $9.$

Pista grande:

Sigue cómo cambia la suma de dígitos cuando $x$ termina en una serie de nueves; los valores con acarreo forman una progresión aritmética de diferencia común $9$

Track how the digit sum changes when $x$ ends in a run of nines; the carrying values form an arithmetic progression with common difference $9$

Solución:

Si el último dígito de $x$ es a lo sumo $7,$ sumar $2$ no cambia ningún otro dígito, así que $T(x) = 2.$ En caso contrario hay acarreo. Si $x$ termina en el dígito $8$ precedido por exactamente $m \ge 0$ nueves, entonces $x + 2$ reemplaza $\ldots a\underbrace{9 \cdots 9}_{m}8$ por $\ldots (a{+}1)\underbrace{0 \cdots 0}_{m}0,$ así que $S(x + 2) - S(x) = 1 - 9m - 8$ y $T(x) = 9m + 7.$ Si $x$ termina en exactamente $m \ge 1$ nueves, entonces $x + 2$ reemplaza $\ldots a\underbrace{9 \cdots 9}_{m}$ por $\ldots (a{+}1)\underbrace{0 \cdots 0}_{m - 1}1,$ así que $S(x + 2) - S(x) = 2 - 9m$ y $T(x) = 9m - 2.$

Ambas familias con acarreo dan exactamente los valores $7, 16, 25, \ldots,$ es decir, $9j + 7$ para $j \ge 0,$ y cada uno de esos valores se alcanza. Así que los valores posibles de $T$ son $2$ junto con todos los $9j + 7.$ Exigir $9j + 7 \le 1999$ da $j \le 221,$ lo que son $222$ valores, y $T = 2$ añade uno más, para un total de $223.$

If the last digit of $x$ is at most $7,$ adding $2$ changes no other digit, so $T(x) = 2.$ Otherwise there is carrying. If $x$ ends in the digit $8$ preceded by exactly $m \ge 0$ nines, then $x + 2$ replaces $\ldots a\underbrace{9 \cdots 9}_{m}8$ by $\ldots (a{+}1)\underbrace{0 \cdots 0}_{m}0,$ so $S(x + 2) - S(x) = 1 - 9m - 8$ and $T(x) = 9m + 7.$ If $x$ ends in exactly $m \ge 1$ nines, then $x + 2$ replaces $\ldots a\underbrace{9 \cdots 9}_{m}$ by $\ldots (a{+}1)\underbrace{0 \cdots 0}_{m - 1}1,$ so $S(x + 2) - S(x) = 2 - 9m$ and $T(x) = 9m - 2.$

Both carrying families give exactly the values $7, 16, 25, \ldots,$ that is, $9j + 7$ for $j \ge 0,$ and every such value occurs. So the possible values of $T$ are $2$ together with all $9j + 7.$ Requiring $9j + 7 \le 1999$ gives $j \le 221,$ which is $222$ values, and $T = 2$ adds one more, for a total of $223.$

6.

Una transformación del primer cuadrante del plano coordenado lleva cada punto $(x, y)$ al punto $(\sqrt{x}, \sqrt{y}).$ Los vértices del cuadrilátero $ABCD$ son $A = (900, 300),$ $B = (1800, 600),$ $C = (600, 1800),$ y $D = (300, 900).$ Sea $k$ el área de la región encerrada por la imagen del cuadrilátero $ABCD.$ Halla el mayor entero que no excede $k.$

A transformation of the first quadrant of the coordinate plane maps each point $(x, y)$ to the point $(\sqrt{x}, \sqrt{y}).$ The vertices of quadrilateral $ABCD$ are $A = (900, 300),$ $B = (1800, 600),$ $C = (600, 1800),$ and $D = (300, 900).$ Let $k$ be the area of the region enclosed by the image of quadrilateral $ABCD.$ Find the greatest integer that does not exceed $k.$

Respuesta

Respuesta: 314

Conceptos:transformación geometría analítica sector circular corona circular

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

En lugar de seguir los vértices, averigua qué le hace la aplicación a cada una de las cuatro rectas del contorno

Instead of tracking the vertices, find what the map does to each of the four boundary lines

Pista grande:

$y = 3x$ y $y = \frac{x}{3}$ se transforman en rectas que pasan por el origen, mientras que $x + y = c$ se transforma en un arco de $u^2 + v^2 = c$

$y = 3x$ and $y = \frac{x}{3}$ map to lines through the origin, while $x + y = c$ maps to an arc of $u^2 + v^2 = c$

Solución:

Sigue las cuatro aristas. Los lados $AB$ y $DC$ están sobre las rectas $y = \frac{x}{3}$ y $y = 3x,$ que se transforman en las rectas $v = \frac{u}{\sqrt{3}}$ y $v = \sqrt{3}\,u$ , rayos desde el origen con ángulos $30^\circ$ y $60^\circ.$ Los lados $AD$ y $BC$ están sobre $x + y = 1200$ y $x + y = 2400,$ que se transforman en arcos de las circunferencias $u^2 + v^2 = 1200$ y $u^2 + v^2 = 2400.$

Así que la imagen es la parte del anillo entre los radios $\sqrt{1200}$ y $\sqrt{2400}$ situada entre los rayos de $30^\circ$ y $60^\circ$ , una doceava parte del anillo completo: $\begin{aligned} k &= \frac{30}{360}\,\pi\,(2400 - 1200) \\ &= 100\pi. \end{aligned}$

Como $3.14 < \pi < 3.15,$ tenemos $314 < k < 315,$ así que el mayor entero que no excede $k$ es $314.$

Follow the four edges. Sides $AB$ and $DC$ lie on the lines $y = \frac{x}{3}$ and $y = 3x,$ which map to the lines $v = \frac{u}{\sqrt{3}}$ and $v = \sqrt{3}\,u$ — rays from the origin at angles $30^\circ$ and $60^\circ.$ Sides $AD$ and $BC$ lie on $x + y = 1200$ and $x + y = 2400,$ which map to arcs of the circles $u^2 + v^2 = 1200$ and $u^2 + v^2 = 2400.$

So the image is the part of the annulus between radii $\sqrt{1200}$ and $\sqrt{2400}$ lying between the $30^\circ$ and $60^\circ$ rays, one twelfth of the full annulus: $\begin{aligned} k &= \frac{30}{360}\,\pi\,(2400 - 1200) \\ &= 100\pi. \end{aligned}$

Since $3.14 < \pi < 3.15,$ we have $314 < k < 315,$ so the greatest integer not exceeding $k$ is $314.$

7.

Hay un conjunto de $1000$ interruptores, cada uno de los cuales tiene cuatro posiciones, llamadas $A,$ $B,$ $C,$ y $D.$ Cuando la posición de cualquier interruptor cambia, solo lo hace de $A$ a $B,$ de $B$ a $C,$ de $C$ a $D,$ o de $D$ a $A.$ Inicialmente cada interruptor está en la posición $A.$ Los interruptores están etiquetados con los $1000$ enteros distintos $2^x 3^y 5^z,$ donde $x,$ $y,$ y $z$ toman los valores $0,$ $1,$ $\ldots,$ $9.$ En el paso $i$ de un proceso de $1000$ pasos, el $i$ -ésimo interruptor avanza un paso, y también lo hacen todos los demás interruptores cuyas etiquetas dividen la etiqueta del $i$ -ésimo interruptor. Después de completar el paso $1000$ , ¿cuántos interruptores estarán en la posición $A$ ?

There is a set of $1000$ switches, each of which has four positions, called $A,$ $B,$ $C,$ and $D.$ When the position of any switch changes, it is only from $A$ to $B,$ from $B$ to $C,$ from $C$ to $D,$ or from $D$ to $A.$ Initially each switch is in position $A.$ The switches are labeled with the $1000$ different integers $2^x 3^y 5^z,$ where $x,$ $y,$ and $z$ take on the values $0,$ $1,$ $\ldots,$ $9.$ At step $i$ of a $1000$ -step process, the $i$ th switch is advanced one step, and so are all the other switches whose labels divide the label on the $i$ th switch. After step $1000$ has been completed, how many switches will be in position $A?$

Respuesta

Respuesta: 650

Conceptos:factorización en primos aritmética modular conteo complementario

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

El interruptor etiquetado $d$ avanza una vez por cada etiqueta que sea múltiplo de $d;$ cuenta esos múltiplos en términos de los exponentes

The switch labeled $d$ is advanced once for every label that is a multiple of $d;$ count those multiples in terms of the exponents

Pista grande:

La etiqueta $2^x 3^y 5^z$ avanza $(10 - x)(10 - y)(10 - z)$ veces; cuenta las ternas para las cuales este producto no es múltiplo de $4$

The label $2^x 3^y 5^z$ advances $(10 - x)(10 - y)(10 - z)$ times; count the triples for which this product is not a multiple of $4$

Solución:

El interruptor etiquetado $d$ avanza exactamente una vez por cada paso $i$ cuya etiqueta sea múltiplo de $d.$ Los múltiplos de $2^x 3^y 5^z$ entre las etiquetas son los $2^{x'} 3^{y'} 5^{z'}$ con $x \le x' \le 9,$ etc., así que ese interruptor avanza $(10 - x)(10 - y)(10 - z)$ veces. Regresa a la posición $A$ exactamente cuando este número es múltiplo de $4.$

Escribamos $a = 10 - x,$ $b = 10 - y,$ $c = 10 - z,$ recorriendo cada uno desde $1$ hasta $10.$ Contamos las ternas en las que $abc$ no es divisible entre $4:$ o bien los tres son impares, o bien exactamente uno es par pero no divisible entre $4.$ Entre $1, \ldots, 10$ hay $5$ valores impares y $3$ valores ( $2,$ $6,$ $10$ ) que son el doble de un número impar. Eso da $5^3 = 125$ ternas del primer tipo y $3 \cdot 3 \cdot 5^2 = 225$ del segundo, o sea $350$ en total.

Por lo tanto $1000 - 350 = 650$ interruptores terminan en la posición $A.$

The switch labeled $d$ is advanced exactly once for each step $i$ whose label is a multiple of $d.$ The multiples of $2^x 3^y 5^z$ among the labels are the $2^{x'} 3^{y'} 5^{z'}$ with $x \le x' \le 9,$ etc., so that switch advances $(10 - x)(10 - y)(10 - z)$ times. It returns to position $A$ exactly when this count is a multiple of $4.$

Write $a = 10 - x,$ $b = 10 - y,$ $c = 10 - z,$ each ranging over $1$ through $10.$ We count the triples where $abc$ is not divisible by $4:$ either all three are odd, or exactly one is even but not divisible by $4.$ Among $1, \ldots, 10$ there are $5$ odd values and $3$ values ( $2,$ $6,$ $10$ ) that are twice an odd number. That gives $5^3 = 125$ triples of the first kind and $3 \cdot 3 \cdot 5^2 = 225$ of the second, or $350$ in all.

Therefore $1000 - 350 = 650$ switches end in position $A.$

8.

Sea $T$ el conjunto de las ternas ordenadas $(x, y, z)$ de números reales no negativos que están en el plano $x + y + z = 1.$ Digamos que $(x, y, z)$ sostiene a $(a, b, c)$ cuando exactamente dos de las siguientes son verdaderas: $x \ge a,$ $y \ge b,$ $z \ge c.$ Sea $S$ el conjunto de aquellas ternas de $T$ que sostienen a $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}\right).$ El área de $S$ dividida entre el área de $T$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Let $T$ be the set of ordered triples $(x, y, z)$ of nonnegative real numbers that lie in the plane $x + y + z = 1.$ Let us say that $(x, y, z)$ supports $(a, b, c)$ when exactly two of the following are true: $x \ge a,$ $y \ge b,$ $z \ge c.$ Let $S$ consist of those triples in $T$ that support $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}\right).$ The area of $S$ divided by the area of $T$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 25

Conceptos:razón de áreas semejanza análisis por casos

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

$T$ es un triángulo, y cada condición como $x \ge \frac{1}{2}$ recorta una esquina con una recta paralela a un lado

$T$ is a triangle, and each condition like $x \ge \frac{1}{2}$ cuts off a corner with a line parallel to a side

Pista grande:

Como $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1,$ las tres desigualdades se cumplen simultáneamente solo en un punto de la frontera; aparte de ese punto, cada región de dos desigualdades es un triángulo semejante a $T$

Since $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1,$ all three inequalities hold only at one boundary point; apart from that point, each two-inequality region is a triangle similar to $T$

Solución:

$T$ es el triángulo con vértices $(1,0,0),$ $(0,1,0),$ $(0,0,1).$ Como $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1 = x + y + z,$ siempre que se cumplen dos de las desigualdades $x \ge \frac{1}{2},$ $y \ge \frac{1}{3},$ $z \ge \frac{1}{6}$ , la tercera solo puede cumplirse en un punto de la frontera, de área cero. Así que $S$ es, salvo medida cero, la unión de las tres regiones donde se cumple un par específico de desigualdades.

La región con $x \ge \frac{1}{2}$ y $y \ge \frac{1}{3}$ se convierte, tras sustituir $x = \frac{1}{2} + x'$ y $y = \frac{1}{3} + y',$ en una copia de $T$ con suma de coordenadas $1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6},$ es decir, un triángulo semejante a $T$ con razón $\frac{1}{6}$ y área $\left(\frac{1}{6}\right)^2$ de la de $T.$ De igual modo, los pares $\{x, z\}$ y $\{y, z\}$ dan triángulos semejantes con razones $\frac{1}{3}$ y $\frac{1}{2}.$

La razón de las áreas es $\begin{aligned} &\frac{1}{36} + \frac{1}{9} + \frac{1}{4} = \frac{1 + 4 + 9}{36} \\ &= \frac{7}{18}, \end{aligned}$ así que $m + n = 7 + 18 = 25.$

$T$ is the triangle with vertices $(1,0,0),$ $(0,1,0),$ $(0,0,1).$ Because $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1 = x + y + z,$ whenever two of the inequalities $x \ge \frac{1}{2},$ $y \ge \frac{1}{3},$ $z \ge \frac{1}{6}$ hold, the third can hold only at a boundary point of zero area. So $S$ is, up to measure zero, the union of the three regions where a specific pair of inequalities holds.

The region with $x \ge \frac{1}{2}$ and $y \ge \frac{1}{3}$ becomes, after substituting $x = \frac{1}{2} + x'$ and $y = \frac{1}{3} + y',$ a copy of $T$ with coordinate sum $1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6},$ i.e. a triangle similar to $T$ with ratio $\frac{1}{6}$ and area $\left(\frac{1}{6}\right)^2$ of $T.$ Likewise the pairs $\{x, z\}$ and $\{y, z\}$ give similar triangles with ratios $\frac{1}{3}$ and $\frac{1}{2}.$

The ratio of areas is $\begin{aligned} &\frac{1}{36} + \frac{1}{9} + \frac{1}{4} = \frac{1 + 4 + 9}{36} \\ &= \frac{7}{18}, \end{aligned}$ so $m + n = 7 + 18 = 25.$

9.

Una función $f$ está definida sobre los números complejos por $f(z) = (a + bi)z,$ donde $a$ y $b$ son números positivos. Esta función tiene la propiedad de que la imagen de cada punto del plano complejo equidista de ese punto y del origen. Dado que $|a + bi| = 8$ y que $b^2 = \frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí, halla $m + n.$

A function $f$ is defined on the complex numbers by $f(z) = (a + bi)z,$ where $a$ and $b$ are positive numbers. This function has the property that the image of each point in the complex plane is equidistant from that point and the origin. Given that $|a + bi| = 8$ and that $b^2 = \frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 259

Conceptos:número complejo manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

La condición dice que $|f(z) - z| = |f(z)|$ para todo $z;$ escribe ambos lados como un módulo por $|z|$

The condition says $|f(z) - z| = |f(z)|$ for every $z;$ write both sides as a modulus times $|z|$

Pista grande:

Necesitas $|a - 1 + bi| = |a + bi|,$ lo que determina $a;$ luego usa $a^2 + b^2 = 64$

You need $|a - 1 + bi| = |a + bi|,$ which pins down $a;$ then use $a^2 + b^2 = 64$

Solución:

La condición es $|f(z) - z| = |f(z)|$ para todo $z,$ es decir, $|(a - 1 + bi)z| = |(a + bi)z|.$ Dividiendo entre $|z|$ (para $z \ne 0$ ) se obtiene $|a - 1 + bi| = |a + bi|,$ así que $(a - 1)^2 + b^2 = a^2 + b^2,$ lo que obliga a $a = \frac{1}{2}.$

Como $|a + bi| = 8,$ tenemos $a^2 + b^2 = 64,$ así que $b^2 = 64 - \frac{1}{4} = \frac{255}{4}.$ Como $\gcd(255, 4) = 1,$ la respuesta es $255 + 4 = 259.$

The condition is $|f(z) - z| = |f(z)|$ for all $z,$ that is, $|(a - 1 + bi)z| = |(a + bi)z|.$ Dividing by $|z|$ (for $z \ne 0$ ) gives $|a - 1 + bi| = |a + bi|,$ so $(a - 1)^2 + b^2 = a^2 + b^2,$ which forces $a = \frac{1}{2}.$

Since $|a + bi| = 8,$ we have $a^2 + b^2 = 64,$ so $b^2 = 64 - \frac{1}{4} = \frac{255}{4}.$ As $\gcd(255, 4) = 1,$ the answer is $255 + 4 = 259.$

10.

Se dan diez puntos en el plano, sin que haya tres colineales. Se eligen al azar cuatro segmentos distintos que unen pares de estos puntos, siendo igualmente probables todas esas selecciones. La probabilidad de que algunos tres de los segmentos formen un triángulo cuyos vértices estén entre los diez puntos dados es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Ten points in the plane are given, with no three collinear. Four distinct segments joining pairs of these points are chosen at random, all such segments being equally likely. The probability that some three of the segments form a triangle whose vertices are among the ten given points is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 489

Conceptos:probabilidad básica combinaciones

Nivel de dificultad: 2480

Pista pequeña:

Cuatro segmentos pueden contener a lo sumo un triángulo, porque dos triángulos distintos usan siempre al menos cinco segmentos

Four segments can contain at most one triangle, because two different triangles always use at least five segments

Pista grande:

Cuenta las elecciones favorables así: elige un triángulo de los $\binom{10}{3}$ posibles, luego elige cualquier cuarto segmento

Count favorable choices as: pick a triangle from the $\binom{10}{3}$ possible ones, then pick any fourth segment

Solución:

Hay $\binom{10}{2} = 45$ segmentos, así que $\binom{45}{4} = 148995$ elecciones igualmente probables. Dos triángulos distintos comparten a lo sumo una arista, de modo que juntos usan al menos $5$ segmentos; por tanto un conjunto de $4$ segmentos contiene a lo sumo un triángulo, y los conjuntos favorables se cuentan exactamente una vez eligiendo un triángulo y luego un cuarto segmento: $\begin{aligned} &\binom{10}{3} \cdot (45 - 3) = 120 \cdot 42 \\ &= 5040. \end{aligned}$

La probabilidad es $\frac{5040}{148995} = \frac{16}{473},$ ya en su forma más simple ( $473 = 11 \cdot 43$ ), así que $m + n = 16 + 473 = 489.$

There are $\binom{10}{2} = 45$ segments, so $\binom{45}{4} = 148995$ equally likely choices. Two distinct triangles share at most one edge, so together they use at least $5$ segments; hence a set of $4$ segments contains at most one triangle, and the favorable sets are counted exactly once by choosing a triangle and then a fourth segment: $\begin{aligned} &\binom{10}{3} \cdot (45 - 3) = 120 \cdot 42 \\ &= 5040. \end{aligned}$

The probability is $\frac{5040}{148995} = \frac{16}{473},$ already in lowest terms ( $473 = 11 \cdot 43$ ), so $m + n = 16 + 473 = 489.$

11.

Dado que $\sum_{k=1}^{35} \sin 5k = \tan \frac{m}{n},$ donde los ángulos se miden en grados, y $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí que satisfacen $\frac{m}{n} \lt 90,$ halla $m + n.$

Given that $\sum_{k=1}^{35} \sin 5k = \tan \frac{m}{n},$ where angles are measured in degrees, and $m$ and $n$ are relatively prime positive integers that satisfy $\frac{m}{n} \lt 90,$ find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 177

Conceptos:identidad trigonométrica telescópica

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Multiplica la suma por $2 \sin 2.5^\circ$ y usa $2 \sin\alpha \sin\beta$ $= \cos(\alpha - \beta)$ $- \cos(\alpha + \beta)$ para telescopar

Multiply the sum by $2 \sin 2.5^\circ$ and use $2 \sin\alpha \sin\beta$ $= \cos(\alpha - \beta)$ $- \cos(\alpha + \beta)$ to telescope

Pista grande:

Los dos términos que sobreviven se combinan porque $\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta;$ termina con $\cot\theta = \tan(90^\circ - \theta)$

The two surviving terms combine because $\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta;$ finish with $\cot\theta = \tan(90^\circ - \theta)$

Solución:

Multiplica la suma por $2 \sin 2.5^\circ$ y aplica $2 \sin 5k^\circ \sin 2.5^\circ$ $= \cos(5k - 2.5)^\circ$ $- \cos(5k + 2.5)^\circ,$ de modo que la suma se telescopa: $\begin{aligned} &2 \sin 2.5^\circ \sum_{k=1}^{35} \sin 5k^\circ \\ &= \cos 2.5^\circ - \cos 177.5^\circ \\ &= 2\cos 2.5^\circ. \end{aligned}$

Por lo tanto la suma es igual a $\frac{\cos 2.5^\circ}{\sin 2.5^\circ}$ $= \cot 2.5^\circ$ $= \tan 87.5^\circ$ $= \tan \frac{175}{2}^\circ.$ Como $\gcd(175, 2) = 1$ y $\frac{175}{2} \lt 90,$ obtenemos $m + n = 175 + 2 = 177.$

Multiply the sum by $2 \sin 2.5^\circ$ and apply $2 \sin 5k^\circ \sin 2.5^\circ$ $= \cos(5k - 2.5)^\circ$ $- \cos(5k + 2.5)^\circ,$ so the sum telescopes: $\begin{aligned} &2 \sin 2.5^\circ \sum_{k=1}^{35} \sin 5k^\circ \\ &= \cos 2.5^\circ - \cos 177.5^\circ \\ &= 2\cos 2.5^\circ. \end{aligned}$

Hence the sum equals $\frac{\cos 2.5^\circ}{\sin 2.5^\circ}$ $= \cot 2.5^\circ$ $= \tan 87.5^\circ$ $= \tan \frac{175}{2}^\circ.$ Since $\gcd(175, 2) = 1$ and $\frac{175}{2} \lt 90,$ we get $m + n = 175 + 2 = 177.$

12.

La circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ es tangente a $\overline{AB}$ en $P,$ y su radio es $21.$ Dado que $AP = 23$ y $PB = 27,$ halla el perímetro del triángulo.

The inscribed circle of triangle $ABC$ is tangent to $\overline{AB}$ at $P,$ and its radius is $21.$ Given that $AP = 23$ and $PB = 27,$ find the perimeter of the triangle.

Respuesta

Respuesta: 345

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio Fórmula de Herón área del triángulo

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Los segmentos tangentes desde cada vértice son iguales, así que las longitudes tangentes desde $A,$ $B,$ $C$ son $23,$ $27,$ y una incógnita $z$

Tangent segments from each vertex are equal, so the tangent lengths from $A,$ $B,$ $C$ are $23,$ $27,$ and an unknown $z$

Pista grande:

Iguala el área de dos maneras: $rs$ y la fórmula de Herón; la ecuación resultante es lineal en $z$

Set the area two ways: $rs$ and Heron’s formula; the resulting equation is linear in $z$

Solución:

Los segmentos tangentes desde un punto son iguales, así que las longitudes tangentes desde $A,$ $B,$ $C$ son $23,$ $27,$ y cierto $z.$ Entonces los lados son $50,$ $23 + z,$ $27 + z,$ el semiperímetro es $s = 50 + z,$ y la fórmula de Herón da el área $\sqrt{(50 + z) \cdot z \cdot 23 \cdot 27}.$

El área también es igual a $rs = 21(50 + z).$ Elevando al cuadrado $21(50 + z) = \sqrt{621 z (50 + z)}$ y dividiendo entre $50 + z$ se obtiene $441(50 + z) = 621 z,$ así que $180 z = 22050$ y $z = \frac{245}{2}.$

El perímetro es $2s = 2\left(50 + \frac{245}{2}\right) = 345.$

Tangent segments from a point are equal, so the tangent lengths from $A,$ $B,$ $C$ are $23,$ $27,$ and some $z.$ Then the sides are $50,$ $23 + z,$ $27 + z,$ the semiperimeter is $s = 50 + z,$ and Heron’s formula gives area $\sqrt{(50 + z) \cdot z \cdot 23 \cdot 27}.$

The area also equals $rs = 21(50 + z).$ Squaring $21(50 + z) = \sqrt{621 z (50 + z)}$ and dividing by $50 + z$ gives $441(50 + z) = 621 z,$ so $180 z = 22050$ and $z = \frac{245}{2}.$

The perimeter is $2s = 2\left(50 + \frac{245}{2}\right) = 345.$

13.

Cuarenta equipos juegan un torneo en el que cada equipo juega contra cada otro equipo exactamente una vez. No hay empates, y cada equipo tiene una probabilidad del $50\%$ de ganar cualquier partido que juegue. La probabilidad de que no haya dos equipos que ganen el mismo número de partidos es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $\log_2 n.$

Forty teams play a tournament in which every team plays every other team exactly once. No ties occur, and each team has a $50\%$ chance of winning any game it plays. The probability that no two teams win the same number of games is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $\log_2 n.$

Respuesta

Respuesta: 742

Conceptos:probabilidad básica permutaciones Fórmula de Legendre

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Los totales de victorias distintos deben ser exactamente $0, 1, \ldots, 39,$ y ese ordenamiento determina el ganador de cada partido

Distinct win totals must be exactly $0, 1, \ldots, 39,$ and that ranking determines the winner of every single game

Pista grande:

La probabilidad es $40!$ dividido entre $2^{\binom{40}{2}};$ simplifica contando los factores de $2$ en $40!$

The probability is $40!$ divided by $2^{\binom{40}{2}};$ reduce by counting the factors of $2$ in $40!$

Solución:

Hay $\binom{40}{2} = 780$ partidos, y por tanto $2^{780}$ resultados igualmente probables. Si los $40$ totales de victorias son todos distintos, deben ser exactamente $0, 1, \ldots, 39.$ En ese caso el equipo con $39$ victorias venció a todos, el equipo con $38$ victorias venció a todos excepto a ese equipo, y así sucesivamente: la asignación de totales a los equipos determina cada partido. Recíprocamente, cada una de las $40!$ asignaciones proviene de exactamente un resultado, así que la probabilidad es $\frac{40!}{2^{780}}.$

Por la fórmula de Legendre, la potencia de $2$ que divide a $40!$ es $20 + 10 + 5 + 2 + 1 = 38.$ En su forma más simple, el denominador es por tanto $n = 2^{780 - 38} = 2^{742},$ así que $\log_2 n = 742.$

There are $\binom{40}{2} = 780$ games, hence $2^{780}$ equally likely outcomes. If all $40$ win totals are distinct, they must be exactly $0, 1, \ldots, 39.$ In that case the team with $39$ wins beat everyone, the team with $38$ wins beat everyone except that team, and so on: the assignment of totals to teams determines every game. Conversely each of the $40!$ assignments arises from exactly one outcome, so the probability is $\frac{40!}{2^{780}}.$

By Legendre’s formula the power of $2$ dividing $40!$ is $20 + 10 + 5 + 2 + 1 = 38.$ In lowest terms the denominator is therefore $n = 2^{780 - 38} = 2^{742},$ so $\log_2 n = 742.$

14.

El punto $P$ está situado dentro del triángulo $ABC$ de modo que los ángulos $PAB,$ $PBC,$ y $PCA$ son todos congruentes. Los lados del triángulo tienen longitudes $AB = 13,$ $BC = 14,$ y $CA = 15,$ y la tangente del ángulo $PAB$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Point $P$ is located inside triangle $ABC$ so that angles $PAB,$ $PBC,$ and $PCA$ are all congruent. The sides of the triangle have lengths $AB = 13,$ $BC = 14,$ and $CA = 15,$ and the tangent of angle $PAB$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 463

Conceptos:ley de los senos identidad trigonométrica área del triángulo

Nivel de dificultad: 2990

Pista pequeña:

Llama $\omega$ al ángulo común y calcula $BP$ de dos maneras, desde los triángulos $ABP$ y $BCP,$ con la ley de los senos

Call the common angle $\omega$ and compute $BP$ two ways, from triangles $ABP$ and $BCP,$ with the law of sines

Pista grande:

La comparación se simplifica a $\cot\omega = \cot A + \cot B + \cot C,$ y cada cotangente puede escribirse en términos de las longitudes de los lados y el área

The comparison simplifies to $\cot\omega = \cot A + \cot B + \cot C,$ and each cotangent can be written in terms of the side lengths and the area

Solución:

Sea $\omega = \angle PAB = \angle PBC = \angle PCA.$ En el triángulo $ABP,$ los ángulos en $A$ y $B$ son $\omega$ y $B - \omega,$ así que $\angle APB = 180^\circ - B$ y la ley de los senos da $BP = \frac{c \sin\omega}{\sin B}.$ En el triángulo $BCP,$ los ángulos en $B$ y $C$ son $\omega$ y $C - \omega,$ así que $\angle BPC = 180^\circ - C$ y $BP = \frac{a \sin(C - \omega)}{\sin C}.$

Igualando y sustituyendo $a = 2R\sin A,$ $c = 2R\sin C$ resulta $\sin^2 C \sin\omega$ $= \sin A \sin B \sin(C - \omega).$ Desarrollando $\sin(C - \omega)$ y dividiendo entre $\sin A \sin B \sin C \sin\omega,$ se obtiene $\frac{\sin C}{\sin A \sin B} = \cot\omega - \cot C,$ y como $\sin C$ $= \sin(A + B)$ $= \sin A \cos B$ $+ \cos A \sin B,$ el lado izquierdo es $\cot A + \cot B.$ Por lo tanto $\cot\omega = \cot A + \cot B + \cot C.$

Usando $\cot A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4K}$ y sus análogas, donde $K$ es el área, y dado que el triángulo $13$ - $14$ - $15$ tiene área $84,$ se obtiene $\begin{aligned} \cot\omega &= \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4K} \\ &= \frac{169 + 196 + 225}{4 \cdot 84} \\ &= \frac{590}{336} \\ &= \frac{295}{168}, \end{aligned}$ así que $\tan\omega = \frac{168}{295},$ que está en su forma más simple, y $m + n = 168 + 295 = 463.$

Let $\omega = \angle PAB = \angle PBC = \angle PCA.$ In triangle $ABP,$ the angles at $A$ and $B$ are $\omega$ and $B - \omega,$ so $\angle APB = 180^\circ - B$ and the law of sines gives $BP = \frac{c \sin\omega}{\sin B}.$ In triangle $BCP,$ the angles at $B$ and $C$ are $\omega$ and $C - \omega,$ so $\angle BPC = 180^\circ - C$ and $BP = \frac{a \sin(C - \omega)}{\sin C}.$

Equating and substituting $a = 2R\sin A,$ $c = 2R\sin C$ yields $\sin^2 C \sin\omega$ $= \sin A \sin B \sin(C - \omega).$ Expanding $\sin(C - \omega)$ and dividing by $\sin A \sin B \sin C \sin\omega,$ $\frac{\sin C}{\sin A \sin B} = \cot\omega - \cot C,$ and since $\sin C$ $= \sin(A + B)$ $= \sin A \cos B$ $+ \cos A \sin B,$ the left side is $\cot A + \cot B.$ Hence $\cot\omega = \cot A + \cot B + \cot C.$

Using $\cot A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4K}$ and its analogues, where $K$ is the area, $\begin{aligned} \cot\omega &= \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4K} \\ &= \frac{169 + 196 + 225}{4 \cdot 84} \\ &= \frac{590}{336} \\ &= \frac{295}{168}, \end{aligned}$ since the $13$ - $14$ - $15$ triangle has area $84.$ So $\tan\omega = \frac{168}{295},$ which is in lowest terms, and $m + n = 168 + 295 = 463.$

15.

Considera el triángulo de papel cuyos vértices son $(0, 0),$ $(34, 0),$ y $(16, 24).$ Los vértices de su triángulo medial son los puntos medios de sus lados. Se forma una pirámide triangular doblando el triángulo a lo largo de los lados de su triángulo medial. ¿Cuál es el volumen de esta pirámide?

Consider the paper triangle whose vertices are $(0, 0),$ $(34, 0),$ and $(16, 24).$ The vertices of its midpoint triangle are the midpoints of its sides. A triangular pyramid is formed by folding the triangle along the sides of its midpoint triangle. What is the volume of this pyramid?

Respuesta

Respuesta: 408

Conceptos:plegado de papel Geometría 3D geometría analítica volumen

Nivel de dificultad: 2990

Pista pequeña:

Las tres esquinas dobladas se encuentran en un único vértice, cuya distancia a cada punto medio es igual a la mitad del lado original correspondiente

The three folded corners meet at a single apex, whose distance to each midpoint equals half of the corresponding original side

Pista grande:

Mantén el triángulo medial en el plano $z = 0$ y resuelve tres ecuaciones de distancia para el vértice $(x, y, z)$

Keep the midpoint triangle in the plane $z = 0$ and solve three distance equations for the apex $(x, y, z)$

Solución:

Los puntos medios son $M_1 = (17, 0),$ $M_2 = (25, 12),$ y $M_3 = (8, 12).$ Al doblar hacia arriba los tres triángulos de las esquinas a lo largo de los lados del triángulo medial, las esquinas se juntan en un único vértice $Q$ (cada par de semilados pegados tiene igual longitud). El vértice conserva sus distancias tras el doblado: $QM_1 = 17$ (la mitad del lado de longitud $34$ que $M_1$ biseca), $QM_2 = 15$ (la mitad de $30$ ), y $QM_3 = 4\sqrt{13}$ (la mitad de $\sqrt{16^2 + 24^2} = 8\sqrt{13}$ ).

Mantén el triángulo medial en el plano $z = 0$ y sea $Q = (x, y, z).$ Restando $|Q - M_3|^2 = 208$ de $|Q - M_2|^2 = 225$ se obtiene $(x - 25)^2 - (x - 8)^2 = 17,$ así que $x = 16;$ restando $|Q - M_2|^2 = 225$ de $|Q - M_1|^2 = 289$ se obtiene $2x + 3y = 68,$ así que $y = 12.$ Entonces $z^2$ $= 289 - (16 - 17)^2$ $- 12^2$ $= 144,$ de modo que el vértice está a la altura $z = 12.$

La base es el triángulo medial, con área igual a un cuarto de la del triángulo original $\frac{1}{2} \cdot 34 \cdot 24 = 408,$ es decir $102.$ El volumen es $\frac{1}{3} \cdot 102 \cdot 12 = 408.$

The midpoints are $M_1 = (17, 0),$ $M_2 = (25, 12),$ and $M_3 = (8, 12).$ Folding the three corner triangles up along the sides of the midpoint triangle brings the corners together at one apex $Q$ (each pair of glued half-sides has equal length). The apex keeps its folded distances: $QM_1 = 17$ (half of the side of length $34$ that $M_1$ bisects), $QM_2 = 15$ (half of $30$ ), and $QM_3 = 4\sqrt{13}$ (half of $\sqrt{16^2 + 24^2} = 8\sqrt{13}$ ).

Keep the midpoint triangle in the plane $z = 0$ and let $Q = (x, y, z).$ Subtracting $|Q - M_3|^2 = 208$ from $|Q - M_2|^2 = 225$ gives $(x - 25)^2 - (x - 8)^2 = 17,$ so $x = 16;$ subtracting $|Q - M_2|^2 = 225$ from $|Q - M_1|^2 = 289$ gives $2x + 3y = 68,$ so $y = 12.$ Then $z^2$ $= 289 - (16 - 17)^2$ $- 12^2$ $= 144,$ so the apex is at height $z = 12.$

The base is the midpoint triangle, with area one quarter of the original triangle’s $\frac{1}{2} \cdot 34 \cdot 24 = 408,$ i.e. $102.$ The volume is $\frac{1}{3} \cdot 102 \cdot 12 = 408.$

Problemas del 1999 AIME

Respuesta: 29

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 118

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 38

Nivel de dificultad: 2180

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 185

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 223

Nivel de dificultad: 2400

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 314

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 650

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 25

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 259

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 489

Nivel de dificultad: 2480

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 177

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 345

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 742

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 463

Nivel de dificultad: 2990

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 408

Nivel de dificultad: 2990

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución: