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Problemas del 1999 AIME

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1.

Halla el menor número primo que sea el quinto término de una progresión aritmética creciente, en la que los cuatro términos anteriores también sean primos.

Find the smallest prime that is the fifth term of an increasing arithmetic sequence, all four preceding terms also being prime.

Respuesta: 29
Conceptos:primosucesión aritméticadivisibilidad

Nivel de dificultad: 1890

Solución:

Sean los términos p,p, p+d,p + d, …,\ldots, p+4d.p + 4d. Si dd fuera impar, términos consecutivos tendrían paridad opuesta, así que algún término distinto del primero sería par y mayor que 22, lo cual es imposible. Si dd no fuera múltiplo de 3,3, entonces p,p, p+d,p + d, p+2dp + 2d cubrirían todos los residuos módulo 3,3, por lo que algún término sería divisible entre 3;3; ese término tendría que ser el propio 33, lo que obliga a p=3,p = 3, pero entonces p+3d=3(1+d)p + 3d = 3(1 + d) es compuesto. Por lo tanto 6∣d.6 \mid d.

Como d≥6d \ge 6, el quinto término es al menos p+24.p + 24. Probando p=5p = 5 y d=6d = 6 se obtiene 5,11,17,23,29,5, 11, 17, 23, 29, todos primos, y no es posible un quinto término menor puesto que p≥5p \ge 5 (los inicios p=2p = 2 y p=3p = 3 fallan como arriba). La respuesta es 29.29.

Let the terms be p,p, p+d,p + d, …,\ldots, p+4d.p + 4d. If dd were odd, consecutive terms would have opposite parity, so some term other than the first would be even and greater than 22 — impossible. If dd were not a multiple of 3,3, then p,p, p+d,p + d, p+2dp + 2d would cover all residues mod 3,3, so some term would be divisible by 3;3; that term would have to be 33 itself, forcing p=3,p = 3, but then p+3d=3(1+d)p + 3d = 3(1 + d) is composite. Hence 6∣d.6 \mid d.

With d≥6d \ge 6 the fifth term is at least p+24.p + 24. Trying p=5p = 5 and d=6d = 6 gives 5,11,17,23,29,5, 11, 17, 23, 29, all prime, and no smaller fifth term is possible since p≥5p \ge 5 (the starts p=2p = 2 and p=3p = 3 fail as above). The answer is 29.29.

2.

Considera el paralelogramo con vértices (10,45),(10, 45), (10,114),(10, 114), (28,153),(28, 153), y (28,84).(28, 84). Una recta que pasa por el origen divide esta figura en dos polígonos congruentes. La pendiente de la recta es mn,\frac{m}{n}, donde mm y nn son enteros positivos primos entre sí. Halla m+n.m + n.

Consider the parallelogram with vertices (10,45),(10, 45), (10,114),(10, 114), (28,153),(28, 153), and (28,84).(28, 84). A line through the origin cuts this figure into two congruent polygons. The slope of the line is mn,\frac{m}{n}, where mm and nn are relatively prime positive integers. Find m+n.m + n.

Respuesta: 118
Conceptos:paralelogramopunto mediopendientesimetría

Nivel de dificultad: 1790

Solución:

Un paralelogramo es simétrico bajo la rotación de 180∘180^\circ en torno a su centro, de modo que cualquier recta que pase por el centro lo divide en dos piezas que se intercambian mediante esa rotación, y por tanto son congruentes. El centro es el punto medio de una diagonal: (10+282,45+1532)=(19,99). \begin{aligned} &\left(\frac{10 + 28}{2}, \frac{45 + 153}{2}\right) \\ &= (19, 99). \end{aligned}

La recta que pasa por el origen y (19,99)(19, 99) tiene pendiente 9919,\frac{99}{19}, y gcd⁡(99,19)=1,\gcd(99, 19) = 1, así que m+n=99+19=118.m + n = 99 + 19 = 118.

A parallelogram is symmetric under the 180∘180^\circ rotation about its center, so any line through the center cuts it into two pieces that are swapped by that rotation, hence congruent. The center is the midpoint of a diagonal: (10+282,45+1532)=(19,99). \begin{aligned} &\left(\frac{10 + 28}{2}, \frac{45 + 153}{2}\right) \\ &= (19, 99). \end{aligned}

The line through the origin and (19,99)(19, 99) has slope 9919,\frac{99}{19}, and gcd⁡(99,19)=1,\gcd(99, 19) = 1, so m+n=99+19=118.m + n = 99 + 19 = 118.

3.

Halla la suma de todos los enteros positivos nn para los cuales n2−19n+99n^2 - 19n + 99 es un cuadrado perfecto.

Find the sum of all positive integers nn for which n2−19n+99n^2 - 19n + 99 is a perfect square.

Respuesta: 38
Conceptos:cuadrado perfectocompletar el cuadradodiferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 2180

Solución:

Supongamos que n2−19n+99=k2.n^2 - 19n + 99 = k^2. Multiplicando por 44 y completando el cuadrado se obtiene (2n−19)2+35=(2k)2,(2n - 19)^2 + 35 = (2k)^2, así que (2k−(2n−19))⋅(2k+(2n−19))=35. \begin{aligned} &\bigl(2k - (2n - 19)\bigr) \\ &\quad {}\cdot \bigl(2k + (2n - 19)\bigr) \\ &= 35. \end{aligned} La suma de estos dos factores es 4k>0,4k \gt 0, por lo que ambos son positivos: los pares de factores son (1,35),(1, 35), (5,7),(5, 7), (7,5),(7, 5), y (35,1).(35, 1).

Restando el primer factor del segundo se obtiene 2(2n−19)=34,2(2n - 19) = 34, 2,2, −2,-2, o −34,-34, de modo que n=18,n = 18, 10,10, 9,9, o 1.1. Cada uno de ellos hace efectivamente que la expresión sea un cuadrado perfecto (81,81, 9,9, 9,9, 8181), y la suma es 18+10+9+1=38.18 + 10 + 9 + 1 = 38.

Suppose n2−19n+99=k2.n^2 - 19n + 99 = k^2. Multiplying by 44 and completing the square gives (2n−19)2+35=(2k)2,(2n - 19)^2 + 35 = (2k)^2, so (2k−(2n−19))⋅(2k+(2n−19))=35. \begin{aligned} &\bigl(2k - (2n - 19)\bigr) \\ &\quad {}\cdot \bigl(2k + (2n - 19)\bigr) \\ &= 35. \end{aligned} The two factors sum to 4k>0,4k \gt 0, so both are positive: the factor pairs are (1,35),(1, 35), (5,7),(5, 7), (7,5),(7, 5), and (35,1).(35, 1).

Subtracting the first factor from the second gives 2(2n−19)=34,2(2n - 19) = 34, 2,2, −2,-2, or −34,-34, so n=18,n = 18, 10,10, 9,9, or 1.1. Each indeed makes the expression a perfect square (81,81, 9,9, 9,9, 8181), and the sum is 18+10+9+1=38.18 + 10 + 9 + 1 = 38.

4.

Los dos cuadrados mostrados comparten el mismo centro OO y tienen lados de longitud 1.1. La longitud de AB‾\overline{AB} es 4399\frac{43}{99} y el área del octágono ABCDEFGHABCDEFGH es mn,\frac{m}{n}, donde mm y nn son enteros positivos primos entre sí. Halla m+n.m + n.

The two squares shown share the same center OO and have sides of length 1.1. The length of AB‾\overline{AB} is 4399\frac{43}{99} and the area of octagon ABCDEFGHABCDEFGH is mn,\frac{m}{n}, where mm and nn are relatively prime positive integers. Find m+n.m + n.

Respuesta: 185
Conceptos:cuadrado (geometría)descomposición de áreassimetría

Nivel de dificultad: 2350

Solución:

Toda la configuración queda invariante al rotar 90∘90^\circ en torno a O,O, lo que lleva el lado del octágono ABAB sucesivamente a CD,CD, EF,EF, GH,GH, y también queda invariante bajo la reflexión que intercambia los dos cuadrados, la cual lleva esos lados a BC,BC, DE,DE, FG,FG, HA.HA. Así que los ocho lados del octágono tienen la misma longitud, 4399.\frac{43}{99}.

Los segmentos desde OO hasta los ocho vértices dividen el octágono en 88 triángulos. Cada uno tiene base 4399\frac{43}{99} situada sobre un lado de uno de los cuadrados unitarios, así que su altura desde OO es la distancia del centro a ese lado, es decir 12.\frac{1}{2}. El área es 8⋅12⋅4399⋅12=8699.8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{43}{99} \cdot \frac{1}{2} = \frac{86}{99}.

Como gcd⁡(86,99)=1,\gcd(86, 99) = 1, la respuesta es 86+99=185.86 + 99 = 185.

The whole configuration is unchanged by rotating 90∘90^\circ about O,O, which cycles the octagon side ABAB to CD,CD, EF,EF, GH,GH, and it is also unchanged by the reflection that swaps the two squares, which carries those sides to BC,BC, DE,DE, FG,FG, HA.HA. So all eight sides of the octagon have the same length, 4399.\frac{43}{99}.

Segments from OO to the eight vertices cut the octagon into 88 triangles. Each has base 4399\frac{43}{99} lying on a side of one of the unit squares, so its height from OO is the distance from the center to that side, namely 12.\frac{1}{2}. The area is 8⋅12⋅4399⋅12=8699.8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{43}{99} \cdot \frac{1}{2} = \frac{86}{99}.

Since gcd⁡(86,99)=1,\gcd(86, 99) = 1, the answer is 86+99=185.86 + 99 = 185.

5.

Para cualquier entero positivo x,x, sea S(x)S(x) la suma de los dígitos de x,x, y sea T(x)T(x) igual a ∣S(x+2)−S(x)∣.|S(x + 2) - S(x)|. Por ejemplo, T(199)T(199) =∣S(201)−S(199)∣= |S(201) - S(199)| =∣3−19∣= |3 - 19| =16.= 16. ¿Cuántos valores T(x)T(x) no exceden 19991999?

For any positive integer x,x, let S(x)S(x) be the sum of the digits of x,x, and let T(x)T(x) be ∣S(x+2)−S(x)∣.|S(x + 2) - S(x)|. For example, T(199)T(199) =∣S(201)−S(199)∣= |S(201) - S(199)| =∣3−19∣= |3 - 19| =16.= 16. How many values T(x)T(x) do not exceed 1999?1999?

Respuesta: 223
Conceptos:dígitossucesión aritméticaanálisis por casos

Nivel de dificultad: 2400

Solución:

Si el último dígito de xx es a lo sumo 7,7, sumar 22 no cambia ningún otro dígito, así que T(x)=2.T(x) = 2. En caso contrario hay acarreo. Si xx termina en el dígito 88 precedido por exactamente m≥0m \ge 0 nueves, entonces x+2x + 2 reemplaza …a9⋯9⏟m8\ldots a\underbrace{9 \cdots 9}_{m}8 por …(a+1)0⋯0⏟m0,\ldots (a{+}1)\underbrace{0 \cdots 0}_{m}0, así que S(x+2)−S(x)=1−9m−8S(x + 2) - S(x) = 1 - 9m - 8 y T(x)=9m+7.T(x) = 9m + 7. Si xx termina en exactamente m≥1m \ge 1 nueves, entonces x+2x + 2 reemplaza …a9⋯9⏟m\ldots a\underbrace{9 \cdots 9}_{m} por …(a+1)0⋯0⏟m−11,\ldots (a{+}1)\underbrace{0 \cdots 0}_{m - 1}1, así que S(x+2)−S(x)=2−9mS(x + 2) - S(x) = 2 - 9m y T(x)=9m−2.T(x) = 9m - 2.

Ambas familias con acarreo dan exactamente los valores 7,16,25,…,7, 16, 25, \ldots, es decir, 9j+79j + 7 para j≥0,j \ge 0, y cada uno de esos valores se alcanza. Así que los valores posibles de TT son 22 junto con todos los 9j+7.9j + 7. Exigir 9j+7≤19999j + 7 \le 1999 da j≤221,j \le 221, lo que son 222222 valores, y T=2T = 2 añade uno más, para un total de 223.223.

If the last digit of xx is at most 7,7, adding 22 changes no other digit, so T(x)=2.T(x) = 2. Otherwise there is carrying. If xx ends in the digit 88 preceded by exactly m≥0m \ge 0 nines, then x+2x + 2 replaces …a9⋯9⏟m8\ldots a\underbrace{9 \cdots 9}_{m}8 by …(a+1)0⋯0⏟m0,\ldots (a{+}1)\underbrace{0 \cdots 0}_{m}0, so S(x+2)−S(x)=1−9m−8S(x + 2) - S(x) = 1 - 9m - 8 and T(x)=9m+7.T(x) = 9m + 7. If xx ends in exactly m≥1m \ge 1 nines, then x+2x + 2 replaces …a9⋯9⏟m\ldots a\underbrace{9 \cdots 9}_{m} by …(a+1)0⋯0⏟m−11,\ldots (a{+}1)\underbrace{0 \cdots 0}_{m - 1}1, so S(x+2)−S(x)=2−9mS(x + 2) - S(x) = 2 - 9m and T(x)=9m−2.T(x) = 9m - 2.

Both carrying families give exactly the values 7,16,25,…,7, 16, 25, \ldots, that is, 9j+79j + 7 for j≥0,j \ge 0, and every such value occurs. So the possible values of TT are 22 together with all 9j+7.9j + 7. Requiring 9j+7≤19999j + 7 \le 1999 gives j≤221,j \le 221, which is 222222 values, and T=2T = 2 adds one more, for a total of 223.223.

6.

Una transformación del primer cuadrante del plano coordenado lleva cada punto (x,y)(x, y) al punto (x,y).(\sqrt{x}, \sqrt{y}). Los vértices del cuadrilátero ABCDABCD son A=(900,300),A = (900, 300), B=(1800,600),B = (1800, 600), C=(600,1800),C = (600, 1800), y D=(300,900).D = (300, 900). Sea kk el área de la región encerrada por la imagen del cuadrilátero ABCD.ABCD. Halla el mayor entero que no excede k.k.

A transformation of the first quadrant of the coordinate plane maps each point (x,y)(x, y) to the point (x,y).(\sqrt{x}, \sqrt{y}). The vertices of quadrilateral ABCDABCD are A=(900,300),A = (900, 300), B=(1800,600),B = (1800, 600), C=(600,1800),C = (600, 1800), and D=(300,900).D = (300, 900). Let kk be the area of the region enclosed by the image of quadrilateral ABCD.ABCD. Find the greatest integer that does not exceed k.k.

Respuesta: 314
Conceptos:transformacióngeometría analíticasector circularcorona circular

Nivel de dificultad: 2450

Solución:

Sigue las cuatro aristas. Los lados ABAB y DCDC están sobre las rectas y=x3y = \frac{x}{3} y y=3x,y = 3x, que se transforman en las rectas v=u3v = \frac{u}{\sqrt{3}} y v=3 uv = \sqrt{3}\,u, rayos desde el origen con ángulos 30∘30^\circ y 60∘.60^\circ. Los lados ADAD y BCBC están sobre x+y=1200x + y = 1200 y x+y=2400,x + y = 2400, que se transforman en arcos de las circunferencias u2+v2=1200u^2 + v^2 = 1200 y u2+v2=2400.u^2 + v^2 = 2400.

Así que la imagen es la parte del anillo entre los radios 1200\sqrt{1200} y 2400\sqrt{2400} situada entre los rayos de 30∘30^\circ y 60∘60^\circ, una doceava parte del anillo completo: k=30360 π (2400−1200)=100π≈314.16. \begin{aligned} k &= \frac{30}{360}\,\pi\,(2400 - 1200) \\ &= 100\pi \approx 314.16. \end{aligned}

El mayor entero que no excede kk es 314.314.

Follow the four edges. Sides ABAB and DCDC lie on the lines y=x3y = \frac{x}{3} and y=3x,y = 3x, which map to the lines v=u3v = \frac{u}{\sqrt{3}} and v=3 uv = \sqrt{3}\,u — rays from the origin at angles 30∘30^\circ and 60∘.60^\circ. Sides ADAD and BCBC lie on x+y=1200x + y = 1200 and x+y=2400,x + y = 2400, which map to arcs of the circles u2+v2=1200u^2 + v^2 = 1200 and u2+v2=2400.u^2 + v^2 = 2400.

So the image is the part of the annulus between radii 1200\sqrt{1200} and 2400\sqrt{2400} lying between the 30∘30^\circ and 60∘60^\circ rays, one twelfth of the full annulus: k=30360 π (2400−1200)=100π≈314.16. \begin{aligned} k &= \frac{30}{360}\,\pi\,(2400 - 1200) \\ &= 100\pi \approx 314.16. \end{aligned}

The greatest integer not exceeding kk is 314.314.

7.

Hay un conjunto de 10001000 interruptores, cada uno de los cuales tiene cuatro posiciones, llamadas A,A, B,B, C,C, y D.D. Cuando la posición de cualquier interruptor cambia, solo lo hace de AA a B,B, de BB a C,C, de CC a D,D, o de DD a A.A. Inicialmente cada interruptor está en la posición A.A. Los interruptores están etiquetados con los 10001000 enteros distintos 2x3y5z,2^x 3^y 5^z, donde x,x, y,y, y zz toman los valores 0,1,…,9.0, 1, \ldots, 9. En el paso ii de un proceso de 10001000 pasos, el ii-ésimo interruptor avanza un paso, y también lo hacen todos los demás interruptores cuyas etiquetas dividen la etiqueta del ii-ésimo interruptor. Después de completar el paso 1000,1000, ¿cuántos interruptores estarán en la posición AA?

There is a set of 10001000 switches, each of which has four positions, called A,A, B,B, C,C, and D.D. When the position of any switch changes, it is only from AA to B,B, from BB to C,C, from CC to D,D, or from DD to A.A. Initially each switch is in position A.A. The switches are labeled with the 10001000 different integers 2x3y5z,2^x 3^y 5^z, where x,x, y,y, and zz take on the values 0,1,…,9.0, 1, \ldots, 9. At step ii of a 10001000-step process, the iith switch is advanced one step, and so are all the other switches whose labels divide the label on the iith switch. After step 10001000 has been completed, how many switches will be in position A?A?

Respuesta: 650
Conceptos:factorización en primosaritmética modularconteo complementario

Nivel de dificultad: 2650

Solución:

El interruptor etiquetado dd avanza exactamente una vez por cada paso ii cuya etiqueta sea múltiplo de d.d. Los múltiplos de 2x3y5z2^x 3^y 5^z entre las etiquetas son los 2x′3y′5z′2^{x'} 3^{y'} 5^{z'} con x≤x′≤9,x \le x' \le 9, etc., así que ese interruptor avanza (10−x)(10−y)(10−z)(10 - x)(10 - y)(10 - z) veces. Regresa a la posición AA exactamente cuando este número es múltiplo de 4.4.

Escribamos a=10−x,a = 10 - x, b=10−y,b = 10 - y, c=10−z,c = 10 - z, recorriendo cada uno desde 11 hasta 10.10. Contamos las ternas en las que abcabc no es divisible entre 4:4: o bien los tres son impares, o bien exactamente uno es par pero no divisible entre 4.4. Entre 1,…,101, \ldots, 10 hay 55 valores impares y 33 valores (2,6,102, 6, 10) que son el doble de un número impar. Eso da 53=1255^3 = 125 ternas del primer tipo y 3⋅3⋅52=2253 \cdot 3 \cdot 5^2 = 225 del segundo, o sea 350350 en total.

Por lo tanto 1000−350=6501000 - 350 = 650 interruptores terminan en la posición A.A.

The switch labeled dd is advanced exactly once for each step ii whose label is a multiple of d.d. The multiples of 2x3y5z2^x 3^y 5^z among the labels are the 2x′3y′5z′2^{x'} 3^{y'} 5^{z'} with x≤x′≤9,x \le x' \le 9, etc., so that switch advances (10−x)(10−y)(10−z)(10 - x)(10 - y)(10 - z) times. It returns to position AA exactly when this count is a multiple of 4.4.

Write a=10−x,a = 10 - x, b=10−y,b = 10 - y, c=10−z,c = 10 - z, each ranging over 11 through 10.10. We count the triples where abcabc is not divisible by 4:4: either all three are odd, or exactly one is even but not divisible by 4.4. Among 1,…,101, \ldots, 10 there are 55 odd values and 33 values (2,6,102, 6, 10) that are twice an odd number. That gives 53=1255^3 = 125 triples of the first kind and 3⋅3⋅52=2253 \cdot 3 \cdot 5^2 = 225 of the second, or 350350 in all.

Therefore 1000−350=6501000 - 350 = 650 switches end in position A.A.

8.

Sea T\mathcal{T} el conjunto de las ternas ordenadas (x,y,z)(x, y, z) de números reales no negativos que están en el plano x+y+z=1.x + y + z = 1. Digamos que (x,y,z)(x, y, z) sostiene a (a,b,c)(a, b, c) cuando exactamente dos de las siguientes son verdaderas: x≥a,x \ge a, y≥b,y \ge b, z≥c.z \ge c. Sea S\mathcal{S} el conjunto de aquellas ternas de T\mathcal{T} que sostienen a (12,13,16).\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}\right). El área de S\mathcal{S} dividida entre el área de T\mathcal{T} es mn,\frac{m}{n}, donde mm y nn son enteros positivos primos entre sí. Halla m+n.m + n.

Let T\mathcal{T} be the set of ordered triples (x,y,z)(x, y, z) of nonnegative real numbers that lie in the plane x+y+z=1.x + y + z = 1. Let us say that (x,y,z)(x, y, z) supports (a,b,c)(a, b, c) when exactly two of the following are true: x≥a,x \ge a, y≥b,y \ge b, z≥c.z \ge c. Let S\mathcal{S} consist of those triples in T\mathcal{T} that support (12,13,16).\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}\right). The area of S\mathcal{S} divided by the area of T\mathcal{T} is mn,\frac{m}{n}, where mm and nn are relatively prime positive integers. Find m+n.m + n.

Respuesta: 25
Conceptos:razón de áreassemejanzaanálisis por casos

Nivel de dificultad: 2450

Solución:

T\mathcal{T} es el triángulo con vértices (1,0,0),(1,0,0), (0,1,0),(0,1,0), (0,0,1).(0,0,1). Como 12+13+16=1=x+y+z,\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1 = x + y + z, siempre que se cumplen dos de las desigualdades x≥12,x \ge \frac{1}{2}, y≥13,y \ge \frac{1}{3}, z≥16z \ge \frac{1}{6}, la tercera solo puede cumplirse en un segmento de frontera de área cero. Así que S\mathcal{S} es, salvo medida cero, la unión de las tres regiones donde se cumple un par específico de desigualdades.

La región con x≥12x \ge \frac{1}{2} y y≥13y \ge \frac{1}{3} se convierte, tras sustituir x=12+x′x = \frac{1}{2} + x' y y=13+y′,y = \frac{1}{3} + y', en una copia de T\mathcal{T} con suma de coordenadas 1−12−13=16,1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}, es decir, un triángulo semejante a T\mathcal{T} con razón 16\frac{1}{6} y área (16)2\left(\frac{1}{6}\right)^2 de la de T.\mathcal{T}. De igual modo, los pares {x,z}\{x, z\} y {y,z}\{y, z\} dan triángulos semejantes con razones 13\frac{1}{3} y 12.\frac{1}{2}.

La razón de las áreas es 136+19+14=1+4+936=718, \begin{aligned} &\frac{1}{36} + \frac{1}{9} + \frac{1}{4} = \frac{1 + 4 + 9}{36} \\ &= \frac{7}{18}, \end{aligned} así que m+n=7+18=25.m + n = 7 + 18 = 25.

T\mathcal{T} is the triangle with vertices (1,0,0),(1,0,0), (0,1,0),(0,1,0), (0,0,1).(0,0,1). Because 12+13+16=1=x+y+z,\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1 = x + y + z, whenever two of the inequalities x≥12,x \ge \frac{1}{2}, y≥13,y \ge \frac{1}{3}, z≥16z \ge \frac{1}{6} hold, the third can hold only on a boundary segment of zero area. So S\mathcal{S} is, up to measure zero, the union of the three regions where a specific pair of inequalities holds.

The region with x≥12x \ge \frac{1}{2} and y≥13y \ge \frac{1}{3} becomes, after substituting x=12+x′x = \frac{1}{2} + x' and y=13+y′,y = \frac{1}{3} + y', a copy of T\mathcal{T} with coordinate sum 1−12−13=16,1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}, i.e. a triangle similar to T\mathcal{T} with ratio 16\frac{1}{6} and area (16)2\left(\frac{1}{6}\right)^2 of T.\mathcal{T}. Likewise the pairs {x,z}\{x, z\} and {y,z}\{y, z\} give similar triangles with ratios 13\frac{1}{3} and 12.\frac{1}{2}.

The ratio of areas is 136+19+14=1+4+936=718, \begin{aligned} &\frac{1}{36} + \frac{1}{9} + \frac{1}{4} = \frac{1 + 4 + 9}{36} \\ &= \frac{7}{18}, \end{aligned} so m+n=7+18=25.m + n = 7 + 18 = 25.

9.

Una función ff está definida sobre los números complejos por f(z)=(a+bi)z,f(z) = (a + bi)z, donde aa y bb son números positivos. Esta función tiene la propiedad de que la imagen de cada punto del plano complejo equidista de ese punto y del origen. Dado que ∣a+bi∣=8|a + bi| = 8 y que b2=mn,b^2 = \frac{m}{n}, donde mm y nn son enteros positivos primos entre sí, halla m+n.m + n.

A function ff is defined on the complex numbers by f(z)=(a+bi)z,f(z) = (a + bi)z, where aa and bb are positive numbers. This function has the property that the image of each point in the complex plane is equidistant from that point and the origin. Given that ∣a+bi∣=8|a + bi| = 8 and that b2=mn,b^2 = \frac{m}{n}, where mm and nn are relatively prime positive integers, find m+n.m + n.

Respuesta: 259
Conceptos:número complejomanipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2270

Solución:

La condición es ∣f(z)−z∣=∣f(z)∣|f(z) - z| = |f(z)| para todo z,z, es decir, ∣(a−1+bi)z∣=∣(a+bi)z∣.|(a - 1 + bi)z| = |(a + bi)z|. Dividiendo entre ∣z∣|z| (para z≠0z \ne 0) se obtiene ∣a−1+bi∣=∣a+bi∣,|a - 1 + bi| = |a + bi|, así que (a−1)2+b2=a2+b2,(a - 1)^2 + b^2 = a^2 + b^2, lo que obliga a a=12.a = \frac{1}{2}.

Como ∣a+bi∣=8,|a + bi| = 8, tenemos a2+b2=64,a^2 + b^2 = 64, así que b2=64−14=2554.b^2 = 64 - \frac{1}{4} = \frac{255}{4}. Como gcd⁡(255,4)=1,\gcd(255, 4) = 1, la respuesta es 255+4=259.255 + 4 = 259.

The condition is ∣f(z)−z∣=∣f(z)∣|f(z) - z| = |f(z)| for all z,z, that is, ∣(a−1+bi)z∣=∣(a+bi)z∣.|(a - 1 + bi)z| = |(a + bi)z|. Dividing by ∣z∣|z| (for z≠0z \ne 0) gives ∣a−1+bi∣=∣a+bi∣,|a - 1 + bi| = |a + bi|, so (a−1)2+b2=a2+b2,(a - 1)^2 + b^2 = a^2 + b^2, which forces a=12.a = \frac{1}{2}.

Since ∣a+bi∣=8,|a + bi| = 8, we have a2+b2=64,a^2 + b^2 = 64, so b2=64−14=2554.b^2 = 64 - \frac{1}{4} = \frac{255}{4}. As gcd⁡(255,4)=1,\gcd(255, 4) = 1, the answer is 255+4=259.255 + 4 = 259.

10.

Se dan diez puntos en el plano, sin que haya tres colineales. Se eligen al azar cuatro segmentos distintos que unen pares de estos puntos, siendo todos esos segmentos igualmente probables. La probabilidad de que algunos tres de los segmentos formen un triángulo cuyos vértices estén entre los diez puntos dados es mn,\frac{m}{n}, donde mm y nn son enteros positivos primos entre sí. Halla m+n.m + n.

Ten points in the plane are given, with no three collinear. Four distinct segments joining pairs of these points are chosen at random, all such segments being equally likely. The probability that some three of the segments form a triangle whose vertices are among the ten given points is mn,\frac{m}{n}, where mm and nn are relatively prime positive integers. Find m+n.m + n.

Respuesta: 489
Conceptos:probabilidad básicacombinaciones

Nivel de dificultad: 2480

Solución:

Hay (102)=45\binom{10}{2} = 45 segmentos, así que (454)=148995\binom{45}{4} = 148995 elecciones igualmente probables. Dos triángulos distintos comparten a lo sumo una arista, de modo que juntos usan al menos 55 segmentos; por tanto un conjunto de 44 segmentos contiene a lo sumo un triángulo, y los conjuntos favorables se cuentan exactamente una vez eligiendo un triángulo y luego un cuarto segmento: (103)⋅(45−3)=120⋅42=5040. \begin{aligned} &\binom{10}{3} \cdot (45 - 3) = 120 \cdot 42 \\ &= 5040. \end{aligned}

La probabilidad es 5040148995=16473,\frac{5040}{148995} = \frac{16}{473}, ya en su forma más simple (473=11⋅43473 = 11 \cdot 43), así que m+n=16+473=489.m + n = 16 + 473 = 489.

There are (102)=45\binom{10}{2} = 45 segments, so (454)=148995\binom{45}{4} = 148995 equally likely choices. Two distinct triangles share at most one edge, so together they use at least 55 segments; hence a set of 44 segments contains at most one triangle, and the favorable sets are counted exactly once by choosing a triangle and then a fourth segment: (103)⋅(45−3)=120⋅42=5040. \begin{aligned} &\binom{10}{3} \cdot (45 - 3) = 120 \cdot 42 \\ &= 5040. \end{aligned}

The probability is 5040148995=16473,\frac{5040}{148995} = \frac{16}{473}, already in lowest terms (473=11⋅43473 = 11 \cdot 43), so m+n=16+473=489.m + n = 16 + 473 = 489.

11.

Dado que ∑k=135sin⁡5k=tan⁡mn,\sum_{k=1}^{35} \sin 5k = \tan \frac{m}{n}, donde los ángulos se miden en grados, y mm y nn son enteros positivos primos entre sí que satisfacen mn<90,\frac{m}{n} \lt 90, halla m+n.m + n.

Given that ∑k=135sin⁡5k=tan⁡mn,\sum_{k=1}^{35} \sin 5k = \tan \frac{m}{n}, where angles are measured in degrees, and mm and nn are relatively prime positive integers that satisfy mn<90,\frac{m}{n} \lt 90, find m+n.m + n.

Respuesta: 177
Conceptos:identidad trigonométricatelescópica

Nivel de dificultad: 2560

Solución:

Multiplica la suma por 2sin⁡2.5∘2 \sin 2.5^\circ y aplica 2sin⁡5k∘sin⁡2.5∘2 \sin 5k^\circ \sin 2.5^\circ =cos⁡(5k−2.5)∘= \cos(5k - 2.5)^\circ −cos⁡(5k+2.5)∘,- \cos(5k + 2.5)^\circ, de modo que la suma se telescopa: 2sin⁡2.5∘∑k=135sin⁡5k∘=cos⁡2.5∘−cos⁡177.5∘=2cos⁡2.5∘. \begin{aligned} &2 \sin 2.5^\circ \sum_{k=1}^{35} \sin 5k^\circ \\ &= \cos 2.5^\circ - \cos 177.5^\circ \\ &= 2\cos 2.5^\circ. \end{aligned}

Por lo tanto la suma es igual a cos⁡2.5∘sin⁡2.5∘\frac{\cos 2.5^\circ}{\sin 2.5^\circ} =cot⁡2.5∘= \cot 2.5^\circ =tan⁡87.5∘= \tan 87.5^\circ =tan⁡1752∘.= \tan \frac{175}{2}^\circ. Como gcd⁡(175,2)=1\gcd(175, 2) = 1 y 1752<90,\frac{175}{2} \lt 90, obtenemos m+n=175+2=177.m + n = 175 + 2 = 177.

Multiply the sum by 2sin⁡2.5∘2 \sin 2.5^\circ and apply 2sin⁡5k∘sin⁡2.5∘2 \sin 5k^\circ \sin 2.5^\circ =cos⁡(5k−2.5)∘= \cos(5k - 2.5)^\circ −cos⁡(5k+2.5)∘,- \cos(5k + 2.5)^\circ, so the sum telescopes: 2sin⁡2.5∘∑k=135sin⁡5k∘=cos⁡2.5∘−cos⁡177.5∘=2cos⁡2.5∘. \begin{aligned} &2 \sin 2.5^\circ \sum_{k=1}^{35} \sin 5k^\circ \\ &= \cos 2.5^\circ - \cos 177.5^\circ \\ &= 2\cos 2.5^\circ. \end{aligned}

Hence the sum equals cos⁡2.5∘sin⁡2.5∘\frac{\cos 2.5^\circ}{\sin 2.5^\circ} =cot⁡2.5∘= \cot 2.5^\circ =tan⁡87.5∘= \tan 87.5^\circ =tan⁡1752∘.= \tan \frac{175}{2}^\circ. Since gcd⁡(175,2)=1\gcd(175, 2) = 1 and 1752<90,\frac{175}{2} \lt 90, we get m+n=175+2=177.m + n = 175 + 2 = 177.

12.

La circunferencia inscrita del triángulo ABCABC es tangente a AB‾\overline{AB} en P,P, y su radio es 21.21. Dado que AP=23AP = 23 y PB=27,PB = 27, halla el perímetro del triángulo.

The inscribed circle of triangle ABCABC is tangent to AB‾\overline{AB} at P,P, and its radius is 21.21. Given that AP=23AP = 23 and PB=27,PB = 27, find the perimeter of the triangle.

Respuesta: 345
Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradioFórmula de Herónárea del triángulo

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

Los segmentos tangentes desde un punto son iguales, así que las longitudes tangentes desde A,A, B,B, CC son 23,23, 27,27, y cierto z.z. Entonces los lados son 50,50, 23+z,23 + z, 27+z,27 + z, el semiperímetro es s=50+z,s = 50 + z, y la fórmula de Herón da el área (50+z)⋅z⋅23⋅27.\sqrt{(50 + z) \cdot z \cdot 23 \cdot 27}.

El área también es igual a rs=21(50+z).rs = 21(50 + z). Elevando al cuadrado 21(50+z)=621z(50+z)21(50 + z) = \sqrt{621 z (50 + z)} y dividiendo entre 50+z50 + z se obtiene 441(50+z)=621z,441(50 + z) = 621 z, así que 180z=22050180 z = 22050 y z=2452.z = \frac{245}{2}.

El perímetro es 2s=2(50+2452)=345.2s = 2\left(50 + \frac{245}{2}\right) = 345.

Tangent segments from a point are equal, so the tangent lengths from A,A, B,B, CC are 23,23, 27,27, and some z.z. Then the sides are 50,50, 23+z,23 + z, 27+z,27 + z, the semiperimeter is s=50+z,s = 50 + z, and Heron's formula gives area (50+z)⋅z⋅23⋅27.\sqrt{(50 + z) \cdot z \cdot 23 \cdot 27}.

The area also equals rs=21(50+z).rs = 21(50 + z). Squaring 21(50+z)=621z(50+z)21(50 + z) = \sqrt{621 z (50 + z)} and dividing by 50+z50 + z gives 441(50+z)=621z,441(50 + z) = 621 z, so 180z=22050180 z = 22050 and z=2452.z = \frac{245}{2}.

The perimeter is 2s=2(50+2452)=345.2s = 2\left(50 + \frac{245}{2}\right) = 345.

13.

Cuarenta equipos juegan un torneo en el que cada equipo juega contra cada otro equipo exactamente una vez. No hay empates, y cada equipo tiene una probabilidad del 50%50\% de ganar cualquier partido que juegue. La probabilidad de que no haya dos equipos que ganen el mismo número de partidos es mn,\frac{m}{n}, donde mm y nn son enteros positivos primos entre sí. Halla log⁡2n.\log_2 n.

Forty teams play a tournament in which every team plays every other team exactly once. No ties occur, and each team has a 50%50\% chance of winning any game it plays. The probability that no two teams win the same number of games is mn,\frac{m}{n}, where mm and nn are relatively prime positive integers. Find log⁡2n.\log_2 n.

Respuesta: 742
Conceptos:probabilidad básicapermutacionesFórmula de Legendre

Nivel de dificultad: 2650

Solución:

Hay (402)=780\binom{40}{2} = 780 partidos, y por tanto 27802^{780} resultados igualmente probables. Si los 4040 totales de victorias son todos distintos, deben ser exactamente 0,1,…,39.0, 1, \ldots, 39. En ese caso el equipo con 3939 victorias venció a todos, el equipo con 3838 victorias venció a todos excepto a ese equipo, y así sucesivamente: la asignación de totales a los equipos determina cada partido. Recíprocamente, cada una de las 40!40! asignaciones proviene de exactamente un resultado, así que la probabilidad es 40!2780.\frac{40!}{2^{780}}.

Por la fórmula de Legendre, la potencia de 22 que divide a 40!40! es 20+10+5+2+1=38.20 + 10 + 5 + 2 + 1 = 38. En su forma más simple, el denominador es por tanto n=2780−38=2742,n = 2^{780 - 38} = 2^{742}, así que log⁡2n=742.\log_2 n = 742.

There are (402)=780\binom{40}{2} = 780 games, hence 27802^{780} equally likely outcomes. If all 4040 win totals are distinct, they must be exactly 0,1,…,39.0, 1, \ldots, 39. In that case the team with 3939 wins beat everyone, the team with 3838 wins beat everyone except that team, and so on: the assignment of totals to teams determines every game. Conversely each of the 40!40! assignments arises from exactly one outcome, so the probability is 40!2780.\frac{40!}{2^{780}}.

By Legendre's formula the power of 22 dividing 40!40! is 20+10+5+2+1=38.20 + 10 + 5 + 2 + 1 = 38. In lowest terms the denominator is therefore n=2780−38=2742,n = 2^{780 - 38} = 2^{742}, so log⁡2n=742.\log_2 n = 742.

14.

El punto PP está situado dentro del triángulo ABCABC de modo que los ángulos PAB,PAB, PBC,PBC, y PCAPCA son todos congruentes. Los lados del triángulo tienen longitudes AB=13,AB = 13, BC=14,BC = 14, y CA=15,CA = 15, y la tangente del ángulo PABPAB es mn,\frac{m}{n}, donde mm y nn son enteros positivos primos entre sí. Halla m+n.m + n.

Point PP is located inside triangle ABCABC so that angles PAB,PAB, PBC,PBC, and PCAPCA are all congruent. The sides of the triangle have lengths AB=13,AB = 13, BC=14,BC = 14, and CA=15,CA = 15, and the tangent of angle PABPAB is mn,\frac{m}{n}, where mm and nn are relatively prime positive integers. Find m+n.m + n.

Respuesta: 463
Conceptos:ley de los senosidentidad trigonométricaárea del triángulo

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Sea ω=∠PAB=∠PBC=∠PCA.\omega = \angle PAB = \angle PBC = \angle PCA. En el triángulo ABP,ABP, los ángulos en AA y BB son ω\omega y B−ω,B - \omega, así que ∠APB=180∘−B\angle APB = 180^\circ - B y la ley de los senos da BP=csin⁡ωsin⁡B.BP = \frac{c \sin\omega}{\sin B}. En el triángulo BCP,BCP, los ángulos en BB y CC son ω\omega y C−ω,C - \omega, así que ∠BPC=180∘−C\angle BPC = 180^\circ - C y BP=asin⁡(C−ω)sin⁡C.BP = \frac{a \sin(C - \omega)}{\sin C}.

Igualando y sustituyendo a=2Rsin⁡A,a = 2R\sin A, c=2Rsin⁡Cc = 2R\sin C resulta sin⁡2Csin⁡ω\sin^2 C \sin\omega =sin⁡Asin⁡Bsin⁡(C−ω).= \sin A \sin B \sin(C - \omega). Desarrollando sin⁡(C−ω)\sin(C - \omega) y dividiendo entre sin⁡Asin⁡Bsin⁡Csin⁡ω,\sin A \sin B \sin C \sin\omega, sin⁡Csin⁡Asin⁡B=cot⁡ω−cot⁡C,\frac{\sin C}{\sin A \sin B} = \cot\omega - \cot C, y como sin⁡C\sin C =sin⁡(A+B)= \sin(A + B) =sin⁡Acos⁡B= \sin A \cos B +cos⁡Asin⁡B,+ \cos A \sin B, el lado izquierdo es cot⁡A+cot⁡B.\cot A + \cot B. Por lo tanto cot⁡ω=cot⁡A+cot⁡B+cot⁡C.\cot\omega = \cot A + \cot B + \cot C.

Usando cot⁡A=b2+c2−a24K\cot A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4K} y sus análogas, donde KK es el área, cot⁡ω=a2+b2+c24K=169+196+2254⋅84=590336=295168, \begin{aligned} \cot\omega &= \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4K} \\ &= \frac{169 + 196 + 225}{4 \cdot 84} \\ &= \frac{590}{336} \\ &= \frac{295}{168}, \end{aligned} porque el triángulo 1313-1414-1515 tiene área 84.84. Así que tan⁡ω=168295,\tan\omega = \frac{168}{295}, que está en su forma más simple, y m+n=168+295=463.m + n = 168 + 295 = 463.

Let ω=∠PAB=∠PBC=∠PCA.\omega = \angle PAB = \angle PBC = \angle PCA. In triangle ABP,ABP, the angles at AA and BB are ω\omega and B−ω,B - \omega, so ∠APB=180∘−B\angle APB = 180^\circ - B and the law of sines gives BP=csin⁡ωsin⁡B.BP = \frac{c \sin\omega}{\sin B}. In triangle BCP,BCP, the angles at BB and CC are ω\omega and C−ω,C - \omega, so ∠BPC=180∘−C\angle BPC = 180^\circ - C and BP=asin⁡(C−ω)sin⁡C.BP = \frac{a \sin(C - \omega)}{\sin C}.

Equating and substituting a=2Rsin⁡A,a = 2R\sin A, c=2Rsin⁡Cc = 2R\sin C yields sin⁡2Csin⁡ω\sin^2 C \sin\omega =sin⁡Asin⁡Bsin⁡(C−ω).= \sin A \sin B \sin(C - \omega). Expanding sin⁡(C−ω)\sin(C - \omega) and dividing by sin⁡Asin⁡Bsin⁡Csin⁡ω,\sin A \sin B \sin C \sin\omega, sin⁡Csin⁡Asin⁡B=cot⁡ω−cot⁡C,\frac{\sin C}{\sin A \sin B} = \cot\omega - \cot C, and since sin⁡C\sin C =sin⁡(A+B)= \sin(A + B) =sin⁡Acos⁡B= \sin A \cos B +cos⁡Asin⁡B,+ \cos A \sin B, the left side is cot⁡A+cot⁡B.\cot A + \cot B. Hence cot⁡ω=cot⁡A+cot⁡B+cot⁡C.\cot\omega = \cot A + \cot B + \cot C.

Using cot⁡A=b2+c2−a24K\cot A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4K} and its analogues, where KK is the area, cot⁡ω=a2+b2+c24K=169+196+2254⋅84=590336=295168, \begin{aligned} \cot\omega &= \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4K} \\ &= \frac{169 + 196 + 225}{4 \cdot 84} \\ &= \frac{590}{336} \\ &= \frac{295}{168}, \end{aligned} since the 1313-1414-1515 triangle has area 84.84. So tan⁡ω=168295,\tan\omega = \frac{168}{295}, which is in lowest terms, and m+n=168+295=463.m + n = 168 + 295 = 463.

15.

Considera el triángulo de papel cuyos vértices son (0,0),(0, 0), (34,0),(34, 0), y (16,24).(16, 24). Los vértices de su triángulo medial son los puntos medios de sus lados. Se forma una pirámide triangular doblando el triángulo a lo largo de los lados de su triángulo medial. ¿Cuál es el volumen de esta pirámide?

Consider the paper triangle whose vertices are (0,0),(0, 0), (34,0),(34, 0), and (16,24).(16, 24). The vertices of its midpoint triangle are the midpoints of its sides. A triangular pyramid is formed by folding the triangle along the sides of its midpoint triangle. What is the volume of this pyramid?

Respuesta: 408
Conceptos:plegado de papelGeometría 3Dgeometría analíticavolumen

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Los puntos medios son M1=(17,0),M_1 = (17, 0), M2=(25,12),M_2 = (25, 12), y M3=(8,12).M_3 = (8, 12). Al doblar hacia arriba los tres triángulos de las esquinas a lo largo de los lados del triángulo medial, las esquinas se juntan en un único vértice QQ (cada par de semilados pegados tiene igual longitud). El vértice conserva sus distancias tras el doblado: QM1=17QM_1 = 17 (la mitad del lado de longitud 3434 que M1M_1 biseca), QM2=15QM_2 = 15 (la mitad de 3030), y QM3=413QM_3 = 4\sqrt{13} (la mitad de 162+242=813\sqrt{16^2 + 24^2} = 8\sqrt{13}).

Mantén el triángulo medial en el plano z=0z = 0 y sea Q=(x,y,z).Q = (x, y, z). Restando ∣Q−M3∣2=208|Q - M_3|^2 = 208 de ∣Q−M2∣2=225|Q - M_2|^2 = 225 se obtiene (x−25)2−(x−8)2=17,(x - 25)^2 - (x - 8)^2 = 17, así que x=16;x = 16; restando ∣Q−M2∣2=225|Q - M_2|^2 = 225 de ∣Q−M1∣2=289|Q - M_1|^2 = 289 se obtiene 2x+3y=68,2x + 3y = 68, así que y=12.y = 12. Entonces z2z^2 =289−(16−17)2= 289 - (16 - 17)^2 −122- 12^2 =144,= 144, de modo que el vértice está a la altura z=12.z = 12.

La base es el triángulo medial, con área igual a un cuarto de la del triángulo original 12⋅34⋅24=408,\frac{1}{2} \cdot 34 \cdot 24 = 408, es decir 102.102. El volumen es 13⋅102⋅12=408.\frac{1}{3} \cdot 102 \cdot 12 = 408.

The midpoints are M1=(17,0),M_1 = (17, 0), M2=(25,12),M_2 = (25, 12), and M3=(8,12).M_3 = (8, 12). Folding the three corner triangles up along the sides of the midpoint triangle brings the corners together at one apex QQ (each pair of glued half-sides has equal length). The apex keeps its folded distances: QM1=17QM_1 = 17 (half of the side of length 3434 that M1M_1 bisects), QM2=15QM_2 = 15 (half of 3030), and QM3=413QM_3 = 4\sqrt{13} (half of 162+242=813\sqrt{16^2 + 24^2} = 8\sqrt{13}).

Keep the midpoint triangle in the plane z=0z = 0 and let Q=(x,y,z).Q = (x, y, z). Subtracting ∣Q−M3∣2=208|Q - M_3|^2 = 208 from ∣Q−M2∣2=225|Q - M_2|^2 = 225 gives (x−25)2−(x−8)2=17,(x - 25)^2 - (x - 8)^2 = 17, so x=16;x = 16; subtracting ∣Q−M2∣2=225|Q - M_2|^2 = 225 from ∣Q−M1∣2=289|Q - M_1|^2 = 289 gives 2x+3y=68,2x + 3y = 68, so y=12.y = 12. Then z2z^2 =289−(16−17)2= 289 - (16 - 17)^2 −122- 12^2 =144,= 144, so the apex is at height z=12.z = 12.

The base is the midpoint triangle, with area one quarter of the original triangle's 12⋅34⋅24=408,\frac{1}{2} \cdot 34 \cdot 24 = 408, i.e. 102.102. The volume is 13⋅102⋅12=408.\frac{1}{3} \cdot 102 \cdot 12 = 408.