Question

Halla la suma de todos los enteros positivos $n$ para los cuales $n^2 - 19n + 99$ es un cuadrado perfecto.

Find the sum of all positive integers $n$ for which $n^2 - 19n + 99$ is a perfect square.

Respuesta

Solución:

Supongamos que $n^2 - 19n + 99 = k^2.$ Multiplicando por $4$ y completando el cuadrado se obtiene $(2n - 19)^2 + 35 = (2k)^2,$ así que $\begin{aligned} &\bigl(2k - (2n - 19)\bigr) \\ &\quad {}\cdot \bigl(2k + (2n - 19)\bigr) \\ &= 35. \end{aligned}$ La suma de estos dos factores es $4k \gt 0,$ por lo que ambos son positivos: los pares de factores son $(1, 35),$ $(5, 7),$ $(7, 5),$ y $(35, 1).$

Restando el primer factor del segundo se obtiene $2(2n - 19) = 34,$ $2,$ $-2,$ o $-34,$ de modo que $n = 18,$ $10,$ $9,$ o $1.$ Cada uno de ellos hace efectivamente que la expresión sea un cuadrado perfecto ( $81,$ $9,$ $9,$ $81$ ), y la suma es $18 + 10 + 9 + 1 = 38.$

Suppose $n^2 - 19n + 99 = k^2.$ Multiplying by $4$ and completing the square gives $(2n - 19)^2 + 35 = (2k)^2,$ so $\begin{aligned} &\bigl(2k - (2n - 19)\bigr) \\ &\quad {}\cdot \bigl(2k + (2n - 19)\bigr) \\ &= 35. \end{aligned}$ The two factors sum to $4k \gt 0,$ so both are positive: the factor pairs are $(1, 35),$ $(5, 7),$ $(7, 5),$ and $(35, 1).$

Subtracting the first factor from the second gives $2(2n - 19) = 34,$ $2,$ $-2,$ or $-34,$ so $n = 18,$ $10,$ $9,$ or $1.$ Each indeed makes the expression a perfect square ( $81,$ $9,$ $9,$ $81$ ), and the sum is $18 + 10 + 9 + 1 = 38.$

1999 AIME Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años