Question

Un poliedro convexo $P$ tiene $26$ vértices, $60$ aristas y $36$ caras, de las cuales $24$ son triangulares y $12$ son cuadriláteros. Una diagonal espacial es un segmento que une dos vértices no adyacentes que no pertenecen a la misma cara. ¿Cuántas diagonales espaciales tiene $P$ ?

A convex polyhedron $P$ has $26$ vertices, $60$ edges, and $36$ faces, $24$ of which are triangular, and $12$ of which are quadrilaterals. A space diagonal is a line segment connecting two non-adjacent vertices that do not belong to the same face. How many space diagonals does $P$ have?

Respuesta

Solución:

Cada par de vértices determina exactamente una de tres cosas: una arista, una diagonal de una cara o una diagonal espacial. Hay $\binom{26}{2} = 325$ pares de vértices en total.

De estos, $60$ son aristas. Las $24$ caras triangulares no tienen diagonales, mientras que cada una de las $12$ caras cuadriláteras tiene $2,$ lo que da $24$ diagonales de cara (ningún par de caras comparte una diagonal, pues el poliedro es convexo).

El número de diagonales espaciales es $325 - 60 - 24 = 241.$

Every pair of vertices determines exactly one of three things: an edge, a diagonal of a face, or a space diagonal. There are $\binom{26}{2} = 325$ pairs of vertices in all.

Of these, $60$ are edges. The $24$ triangular faces have no diagonals, while each of the $12$ quadrilateral faces has $2,$ for $24$ face diagonals (no two faces share a diagonal, since the polyhedron is convex).

The number of space diagonals is $325 - 60 - 24 = 241.$

2004 AIME I Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años