Question

Existe un número primo $p$ tal que $16p + 1$ es el cubo de un entero positivo. Halla $p.$

There is a prime number $p$ such that $16p + 1$ is the cube of a positive integer. Find $p.$

Respuesta

Respuesta: 307

Conceptos:suma y diferencia de cubos primo paridad

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Escribe $16p + 1 = n^3$ y factoriza $n^3 - 1$

Write $16p + 1 = n^3$ and factor $n^3 - 1$

Pista grande:

$n^2 + n + 1$ siempre es impar, así que el factor $16$ debe provenir por completo de $n - 1;$ la primalidad obliga entonces a $n - 1 = 16$

$n^2 + n + 1$ is always odd, so the factor $16$ must come entirely from $n - 1;$ primality then forces $n - 1 = 16$

Solución:

Escribe $16p + 1 = n^3,$ de modo que $16p = n^3 - 1$ $= (n - 1)(n^2 + n + 1).$ Como $16p + 1$ es impar, $n$ es impar, y $n^2 + n + 1$ también es impar. Por lo tanto los cuatro factores de $2$ deben dividir a $n - 1:$ escribe $n - 1 = 16k,$ lo que da $p = k(n^2 + n + 1).$ Para que $p$ sea primo necesitamos $k = 1,$ así que $n = 17.$

Entonces $p = 17^2 + 17 + 1 = 307,$ que efectivamente es primo, y $16 \cdot 307 + 1 = 4913 = 17^3.$

Write $16p + 1 = n^3,$ so $16p = n^3 - 1$ $= (n - 1)(n^2 + n + 1).$ Since $16p + 1$ is odd, $n$ is odd, and $n^2 + n + 1$ is odd as well. Therefore all four factors of $2$ must divide $n - 1:$ write $n - 1 = 16k,$ which gives $p = k(n^2 + n + 1).$ For $p$ to be prime we need $k = 1,$ so $n = 17.$

Then $p = 17^2 + 17 + 1 = 307,$ which is indeed prime, and $16 \cdot 307 + 1 = 4913 = 17^3.$

2015 AIME I Problema 3

Respuesta: 307

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 3 en otros años