Question

Sarah pretendía multiplicar un número de dos cifras por un número de tres cifras, pero omitió el signo de multiplicación y simplemente colocó el número de dos cifras a la izquierda del número de tres cifras, formando así un número de cinco cifras. Este número es exactamente nueve veces el producto que Sarah debería haber obtenido. ¿Cuál es la suma del número de dos cifras y el número de tres cifras?

Sarah intended to multiply a two-digit number and a three-digit number, but she left out the multiplication sign and simply placed the two-digit number to the left of the three-digit number, thereby forming a five-digit number. This number is exactly nine times the product Sarah should have obtained. What is the sum of the two-digit number and the three-digit number?

Respuesta

Solución:

Sea $a$ el número de dos cifras y $b$ el número de tres cifras. La condición es $1000a + b = 9ab,$ que se reordena como $b(9a - 1) = 1000a.$ Como $\gcd(9a - 1, a) = 1,$ el número $9a - 1$ debe dividir a $1000.$

Para un $a$ de dos cifras, $9a - 1$ va desde $89$ hasta $890,$ y $9a - 1 \equiv 8 \pmod 9.$ El único divisor de $1000$ en ese rango congruente con $8$ módulo $9$ es $125,$ lo que da $a = 14$ y $b = \frac{1000 \cdot 14}{125} = 112,$ que en efecto es un número de tres cifras. Comprobación: $14112 = 9 \cdot 14 \cdot 112.$

La suma pedida es $14 + 112 = 126.$

Let $a$ be the two-digit number and $b$ the three-digit number. The condition is $1000a + b = 9ab,$ which rearranges to $b(9a - 1) = 1000a.$ Since $\gcd(9a - 1, a) = 1,$ the number $9a - 1$ must divide $1000.$

For a two-digit $a,$ $9a - 1$ runs from $89$ to $890,$ and $9a - 1 \equiv 8 \pmod 9.$ The only divisor of $1000$ in that range congruent to $8$ modulo $9$ is $125,$ giving $a = 14$ and $b = \frac{1000 \cdot 14}{125} = 112,$ which is indeed a three-digit number. Check: $14112 = 9 \cdot 14 \cdot 112.$

The requested sum is $14 + 112 = 126.$

1997 AIME Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años