Question

Nueve personas se sientan a cenar y hay tres opciones de comida. Tres personas piden el plato de res, tres piden el plato de pollo y tres piden el plato de pescado. El camarero sirve los nueve platos en orden aleatorio. Halla el número de maneras en que el camarero podría servir los tipos de plato a las nueve personas de modo que exactamente una persona reciba el tipo de plato que pidió.

Nine people sit down for dinner where there are three choices of meals. Three people order the beef meal, three order the chicken meal, and three order the fish meal. The waiter serves the nine meals in random order. Find the number of ways in which the waiter could serve the meal types to the nine people so that exactly one person receives the type of meal ordered by that person.

Respuesta

Solución:

Elige a la única persona servida correctamente ( $9$ maneras); por simetría, supongamos que pidió res. Los platos restantes, $2$ de res, $3$ de pollo y $3$ de pescado, deben ir a las otras $8$ personas ( $2$ que pidieron res, $3$ pollo y $3$ pescado) sin que nadie coincida. Sigue a dónde van los $2$ platos de res sobrantes: a quienes pidieron pollo o pescado.

Si ambos van al mismo grupo, digamos a dos de los tres que pidieron pollo ( $3 + 3 = 6$ maneras contando ambos grupos), entonces el tercer comensal de pollo debe recibir pescado, los tres de pescado deben tomar los tres platos de pollo, y los dos de res toman el pescado restante: todo queda forzado. Si uno va a un comensal de pollo y otro a uno de pescado ( $3 \cdot 3 = 9$ maneras), los otros dos de pollo deben tomar pescado y los otros dos de pescado deben tomar pollo, dejando un plato de pollo y uno de pescado para repartir entre los dos comensales de res ( $2$ maneras).

El total es $9\,(6 + 9 \cdot 2) = 216.$

Choose the one person served correctly ( $9$ ways); by symmetry say they ordered beef. The remaining meals — $2$ beef, $3$ chicken, and $3$ fish — must go to the other $8$ people ( $2$ beef, $3$ chicken, and $3$ fish orderers) with nobody matched. Track where the $2$ leftover beef meals go: to chicken or fish orderers.

If both go to the same group, say to two of the three chicken orderers ( $3 + 3 = 6$ ways counting both groups), then the third chicken orderer must receive fish, the three fish orderers must take the three chicken meals, and the two beef orderers take the remaining fish: everything is forced. If one goes to a chicken orderer and one to a fish orderer ( $3 \cdot 3 = 9$ ways), the other two chicken orderers must take fish and the other two fish orderers must take chicken, leaving one chicken and one fish meal to split between the two beef orderers ( $2$ ways).

The total is $9\,(6 + 9 \cdot 2) = 216.$

2012 AIME I Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años