Question

Los $9$ integrantes de un equipo de béisbol fueron a una heladería después de su partido. Cada jugador tomó un cono de una bola de helado de chocolate, vainilla o fresa. Al menos un jugador eligió cada sabor, y el número de jugadores que eligió chocolate fue mayor que el número de jugadores que eligió vainilla, que a su vez fue mayor que el número de jugadores que eligió fresa. Sea $N$ el número de asignaciones distintas de sabores a los jugadores que cumplen estas condiciones. Halle el residuo cuando $N$ se divide entre $1000.$

The $9$ members of a baseball team went to an ice-cream parlor after their game. Each player had a single scoop cone of chocolate, vanilla, or strawberry ice cream. At least one player chose each flavor, and the number of players who chose chocolate was greater than the number of players who chose vanilla, which was greater than the number of players who chose strawberry. Let $N$ be the number of different assignments of flavors to players that meet these conditions. Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$

Respuesta

Solución:

Sean $c \gt v \gt s \ge 1$ las cantidades de jugadores que eligen chocolate, vainilla y fresa, con $c + v + s = 9.$ Al revisar los valores pequeños de $s$ se ve que las únicas posibilidades son $(6, 2, 1),$ $(5, 3, 1),$ y $(4, 3, 2).$

Como los jugadores son distintos, cada terna de cantidades aporta un coeficiente multinomial: $\begin{aligned} \frac{9!}{6!\,2!\,1!} &= 252, \\ \frac{9!}{5!\,3!\,1!} &= 504, \\ \frac{9!}{4!\,3!\,2!} &= 1260. \end{aligned}$ Así $N = 252 + 504 + 1260 = 2016,$ y el residuo módulo $1000$ es $16.$

Let $c \gt v \gt s \ge 1$ be the numbers of players choosing chocolate, vanilla, and strawberry, with $c + v + s = 9.$ Checking small values of $s$ shows the only possibilities are $(6, 2, 1),$ $(5, 3, 1),$ and $(4, 3, 2).$

Since the players are distinct, each triple of counts contributes a multinomial coefficient: $\begin{aligned} \frac{9!}{6!\,2!\,1!} &= 252, \\ \frac{9!}{5!\,3!\,1!} &= 504, \\ \frac{9!}{4!\,3!\,2!} &= 1260. \end{aligned}$ Thus $N = 252 + 504 + 1260 = 2016,$ and the remainder modulo $1000$ is $16.$

2025 AIME I Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años