Question

Halle el número de pares ordenados $(x, y),$ donde tanto $x$ como $y$ son enteros entre $-100$ y $100,$ inclusive, tales que $12x^2 - xy - 6y^2 = 0.$

Find the number of ordered pairs $(x, y),$ where both $x$ and $y$ are integers between $-100$ and $100,$ inclusive, such that $12x^2 - xy - 6y^2 = 0.$

Respuesta

Respuesta: 117

Conceptos:Ecuación diofántica factorización conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

El lado izquierdo se factoriza como $(3x + 2y)(4x - 3y)$

The left side factors as $(3x + 2y)(4x - 3y)$

Pista grande:

Una recta da $(x, y) = (3t, 4t)$ con $|t| \le 25;$ la otra da $(2t, -3t)$ con $|t| \le 33.$ No cuente el origen dos veces.

One line gives $(x, y) = (3t, 4t)$ with $|t| \le 25;$ the other gives $(2t, -3t)$ with $|t| \le 33.$ Don’t count the origin twice.

Solución:

La ecuación se factoriza como $\begin{gathered} 12x^2 - xy - 6y^2 \\ = (3x + 2y)(4x - 3y) \\ = 0, \end{gathered}$ así que toda solución cumple $4x = 3y$ o $3x = -2y.$

Las soluciones enteras de $4x = 3y$ son $(x, y) = (3t, 4t);$ la restricción $|4t| \le 100$ da $-25 \le t \le 25,$ es decir $51$ pares. Las soluciones enteras de $3x = -2y$ son $(x, y) = (2t, -3t);$ la restricción $|3t| \le 100$ da $-33 \le t \le 33,$ es decir $67$ pares. Las familias solo coinciden en $(0, 0),$ así que el conteo es $51 + 67 - 1 = 117.$

The equation factors as $\begin{gathered} 12x^2 - xy - 6y^2 \\ = (3x + 2y)(4x - 3y) \\ = 0, \end{gathered}$ so every solution has $4x = 3y$ or $3x = -2y.$

Integer solutions of $4x = 3y$ are $(x, y) = (3t, 4t);$ the constraint $|4t| \le 100$ gives $-25 \le t \le 25,$ or $51$ pairs. Integer solutions of $3x = -2y$ are $(x, y) = (2t, -3t);$ the constraint $|3t| \le 100$ gives $-33 \le t \le 33,$ or $67$ pairs. The families overlap only at $(0, 0),$ so the count is $51 + 67 - 1 = 117.$

2025 AIME I Problema 4

Respuesta: 117

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años