Question

Jackie y Phil tienen dos monedas justas y una tercera moneda que sale cara con probabilidad $\frac{4}{7}.$ Jackie lanza las tres monedas y luego Phil lanza las tres monedas. Sea $\frac{m}{n}$ la probabilidad de que Jackie obtenga el mismo número de caras que Phil, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

Jackie and Phil have two fair coins and a third coin that comes up heads with probability $\frac{4}{7}.$ Jackie flips the three coins, and then Phil flips the three coins. Let $\frac{m}{n}$ be the probability that Jackie gets the same number of heads as Phil, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 515

Conceptos:probabilidad básica eventos independientes análisis por casos

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Calcule la probabilidad de que un jugador saque $0,$ $1,$ $2,$ $3$ caras; las cuatro tienen denominador $28$

Compute the probability that one player flips $0,$ $1,$ $2,$ $3$ heads; all four have denominator $28$

Pista grande:

Los dos jugadores son independientes e idénticos, así que la probabilidad de que coincidan es la suma de los cuadrados de esas cuatro probabilidades

The two players are independent and identical, so the probability they match is the sum of the squares of those four probabilities

Solución:

Sea $p(h)$ la probabilidad de que un jugador saque $h$ caras. Separando según las dos monedas justas y la moneda sesgada, $\begin{aligned} p(0) &= \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{3}{7} = \tfrac{3}{28}, \\ p(1) &= \tfrac{2}{4} \cdot \tfrac{3}{7} + \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{4}{7} = \tfrac{10}{28}, \\ p(2) &= \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{3}{7} + \tfrac{2}{4} \cdot \tfrac{4}{7} = \tfrac{11}{28}, \\ p(3) &= \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{4}{7} = \tfrac{4}{28}. \end{aligned}$

Los lanzamientos de Jackie y Phil son independientes y con la misma distribución, así que la probabilidad de que sus conteos de caras coincidan es $\small \begin{aligned} \sum_h p(h)^2 &= \frac{3^2 + 10^2 + 11^2 + 4^2}{28^2} \\ &= \frac{246}{784} = \frac{123}{392}. \end{aligned}$ Por lo tanto, $m + n = 123 + 392 = 515.$

Let $p(h)$ be the probability that one player flips $h$ heads. Splitting according to the two fair coins and the biased coin, $\begin{aligned} p(0) &= \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{3}{7} = \tfrac{3}{28}, \\ p(1) &= \tfrac{2}{4} \cdot \tfrac{3}{7} + \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{4}{7} = \tfrac{10}{28}, \\ p(2) &= \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{3}{7} + \tfrac{2}{4} \cdot \tfrac{4}{7} = \tfrac{11}{28}, \\ p(3) &= \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{4}{7} = \tfrac{4}{28}. \end{aligned}$

Jackie’s and Phil’s flips are independent with the same distribution, so the probability that their head counts agree is $\small \begin{aligned} \sum_h p(h)^2 &= \frac{3^2 + 10^2 + 11^2 + 4^2}{28^2} \\ &= \frac{246}{784} = \frac{123}{392}. \end{aligned}$ Thus $m + n = 123 + 392 = 515.$

2010 AIME I Problema 4

Respuesta: 515

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años