Question

Jackie y Phil tienen dos monedas justas y una tercera moneda que cae cara con probabilidad $\frac{4}{7}.$ Jackie lanza las tres monedas y luego Phil lanza las tres monedas. Sea $\frac{m}{n}$ la probabilidad de que Jackie obtenga el mismo número de caras que Phil, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

Jackie and Phil have two fair coins and a third coin that comes up heads with probability $\frac{4}{7}.$ Jackie flips the three coins, and then Phil flips the three coins. Let $\frac{m}{n}$ be the probability that Jackie gets the same number of heads as Phil, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Sea $p(h)$ la probabilidad de que un jugador saque $h$ caras. Separando según las dos monedas justas y la moneda sesgada, $\begin{aligned} p(0) &= \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{3}{7} = \tfrac{3}{28}, \\ p(1) &= \tfrac{2}{4} \cdot \tfrac{3}{7} + \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{4}{7} = \tfrac{10}{28}, \\ p(2) &= \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{3}{7} + \tfrac{2}{4} \cdot \tfrac{4}{7} = \tfrac{11}{28}, \\ p(3) &= \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{4}{7} = \tfrac{4}{28}. \end{aligned}$

Los lanzamientos de Jackie y Phil son independientes y con la misma distribución, así que la probabilidad de que sus conteos de caras coincidan es $\small \begin{aligned} \sum_h p(h)^2 &= \frac{3^2 + 10^2 + 11^2 + 4^2}{28^2} \\ &= \frac{246}{784} = \frac{123}{392}. \end{aligned}$ Por lo tanto, $m + n = 123 + 392 = 515.$

Let $p(h)$ be the probability that one player flips $h$ heads. Splitting according to the two fair coins and the biased coin, $\begin{aligned} p(0) &= \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{3}{7} = \tfrac{3}{28}, \\ p(1) &= \tfrac{2}{4} \cdot \tfrac{3}{7} + \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{4}{7} = \tfrac{10}{28}, \\ p(2) &= \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{3}{7} + \tfrac{2}{4} \cdot \tfrac{4}{7} = \tfrac{11}{28}, \\ p(3) &= \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{4}{7} = \tfrac{4}{28}. \end{aligned}$

Jackie's and Phil's flips are independent with the same distribution, so the probability that their head counts agree is $\small \begin{aligned} \sum_h p(h)^2 &= \frac{3^2 + 10^2 + 11^2 + 4^2}{28^2} \\ &= \frac{246}{784} = \frac{123}{392}. \end{aligned}$ Thus $m + n = 123 + 392 = 515.$

2010 AIME I Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años