Question

Los trabajadores de una fábrica producen componentes y artefactos. Para cada producto, el tiempo de producción es constante e idéntico para todos los trabajadores, pero no necesariamente igual para los dos productos. En una hora, $100$ trabajadores pueden producir $300$ componentes y $200$ artefactos. En dos horas, $60$ trabajadores pueden producir $240$ componentes y $300$ artefactos. En tres horas, $50$ trabajadores pueden producir $150$ componentes y $m$ artefactos. ¿Cuánto vale $m$ ?

The workers in a factory produce widgets and whoosits. For each product, production time is constant and identical for all workers, but not necessarily equal for the two products. In one hour, $100$ workers can produce $300$ widgets and $200$ whoosits. In two hours, $60$ workers can produce $240$ widgets and $300$ whoosits. In three hours, $50$ workers can produce $150$ widgets and $m$ whoosits. Find $m.$

Respuesta

Respuesta: 450

Conceptos:tasa sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2020

Pista pequeña:

Sean $a$ y $b$ las horas-trabajador necesarias para producir un componente y un artefacto; cada situación da una ecuación lineal.

Let $a$ and $b$ be the worker-hours needed for one widget and one whoosit; each scenario gives one linear equation

Pista grande:

Los dos primeros escenarios dan $3a + 2b = 1$ y $4a + 5b = 2;$ el tercero aporta $150$ horas-trabajador en total.

The first two scenarios give $3a + 2b = 1$ and $4a + 5b = 2;$ the third supplies $150$ worker-hours in total

Solución:

Sean $a$ y $b$ las horas-trabajador necesarias para producir un componente y un artefacto. Las tres situaciones aportan $100,$ $120,$ y $150$ horas-trabajador, así que $\begin{aligned} 300a + 200b &= 100, \\ 240a + 300b &= 120, \\ 150a + mb &= 150. \end{aligned}$

Las dos primeras ecuaciones se simplifican a $3a + 2b = 1$ y $4a + 5b = 2,$ dando $a = \frac{1}{7}$ y $b = \frac{2}{7}.$ Sustituyendo en la tercera, $\frac{150}{7} + \frac{2m}{7} = 150,$ así que $150 + 2m = 1050$ y $m = 450.$

Let $a$ and $b$ be the worker-hours required to make one widget and one whoosit. The three scenarios supply $100,$ $120,$ and $150$ worker-hours, so $\begin{aligned} 300a + 200b &= 100, \\ 240a + 300b &= 120, \\ 150a + mb &= 150. \end{aligned}$

The first two equations simplify to $3a + 2b = 1$ and $4a + 5b = 2,$ giving $a = \frac{1}{7}$ and $b = \frac{2}{7}.$ Substituting into the third, $\frac{150}{7} + \frac{2m}{7} = 150,$ so $150 + 2m = 1050$ and $m = 450.$

2007 AIME II Problema 4

Respuesta: 450

Nivel de dificultad: 2020

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años