Question

Existen números reales $a, b, c,$ y $d$ tales que $-20$ es una raíz de $x^3 + ax + b$ y $-21$ es una raíz de $x^3 + cx^2 + d$ . Estos dos polinomios comparten una raíz compleja $m + \sqrt{n} \cdot i$ , donde $m$ y $n$ son enteros positivos e $i = \sqrt{-1}$ . Halle $m + n$ .

There are real numbers $a, b, c,$ and $d$ such that $-20$ is a root of $x^3 + ax + b$ and $-21$ is a root of $x^3 + cx^2 + d.$ These two polynomials share a complex root $m + \sqrt{n} \cdot i,$ where $m$ and $n$ are positive integers and $i = \sqrt{-1}.$ Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Ambas cúbicas tienen coeficientes reales, así que sus raíces no reales aparecen en pares conjugados: las raíces de la primera son $-20$ y $m \pm \sqrt{n}\,i$ , y las raíces de la segunda son $-21$ y $m \pm \sqrt{n}\,i$ .

La primera cúbica $x^3 + ax + b$ no tiene término $x^2$ , así que sus raíces suman $0$ : $-20 + 2m = 0$ , lo que da $m = 10$ . La segunda cúbica $x^3 + cx^2 + d$ no tiene término $x$ , así que la suma de los productos por pares de sus raíces es $0$ : $\begin{aligned} &(m + \sqrt{n}\,i)(m - \sqrt{n}\,i) \\ &\quad {}+ (-21)(2m) \\ &= m^2 + n - 42m = 0, \end{aligned}$ de modo que $n = 420 - 100 = 320$ . Entonces $m + n = 10 + 320 = 330$ .

Both cubics have real coefficients, so their non-real roots come in conjugate pairs: the roots of the first are $-20$ and $m \pm \sqrt{n}\,i,$ and the roots of the second are $-21$ and $m \pm \sqrt{n}\,i.$

The first cubic $x^3 + ax + b$ has no $x^2$ term, so its roots sum to $0:$ $-20 + 2m = 0,$ giving $m = 10.$ The second cubic $x^3 + cx^2 + d$ has no $x$ term, so the sum of pairwise products of its roots is $0:$ $\begin{aligned} &(m + \sqrt{n}\,i)(m - \sqrt{n}\,i) \\ &\quad {}+ (-21)(2m) \\ &= m^2 + n - 42m = 0, \end{aligned}$ so $n = 420 - 100 = 320.$ Then $m + n = 10 + 320 = 330.$

2021 AIME II Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años