Question

Existe un número real positivo $x$ que no es igual a $\frac{1}{20}$ ni a $\frac{1}{2}$ tal que $\log_{20x}(22x) = \log_{2x}(202x).$ El valor $\log_{20x}(22x)$ se puede escribir como $\log_{10}\left(\frac{m}{n}\right),$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

There is a positive real number $x$ not equal to either $\frac{1}{20}$ or $\frac{1}{2}$ such that $\log_{20x}(22x) = \log_{2x}(202x).$ The value $\log_{20x}(22x)$ can be written as $\log_{10}\left(\frac{m}{n}\right),$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 112

Conceptos:logaritmo manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Cambia ambos lados a una base común: $\frac{\ln 22x}{\ln 20x} = \frac{\ln 202x}{\ln 2x}$

Change both sides to a common base: $\frac{\ln 22x}{\ln 20x} = \frac{\ln 202x}{\ln 2x}$

Pista grande:

Si $\frac{p}{q} = \frac{r}{s},$ entonces ambas fracciones también son iguales a $\frac{r - p}{s - q}.$ Aplica esto y simplifica el cociente resultante.

If $\frac{p}{q} = \frac{r}{s},$ then both fractions also equal $\frac{r - p}{s - q}.$ Apply this and simplify the resulting quotient.

Solución:

Sea $y$ el valor común. En logaritmos naturales, $y = \frac{\ln 22x}{\ln 20x} = \frac{\ln 202x}{\ln 2x}.$ Cuando dos fracciones son iguales, cada una también es igual al cociente de las diferencias de numeradores y denominadores: $\begin{aligned} y &= \frac{\ln 202x - \ln 22x}{\ln 2x - \ln 20x} \\ &= \frac{\ln \frac{101}{11}}{\ln \frac{1}{10}} \\ &= -\log_{10}\frac{101}{11} \\ &= \log_{10}\frac{11}{101}. \end{aligned}$

Para comprobar la existencia en vez de limitarnos a usar el $x$ prometido, observemos que $y \ne 1.$ Al tomar $\ln x=\frac{y\ln 20-\ln 22}{1-y}$ se obtiene $\ln(22x)=y\ln(20x).$ Además, $\begin{aligned} \ln(202x)-\ln(22x) &= \ln\frac{101}{11} \\ &= y\ln\frac{1}{10}, \end{aligned}$ así que también $\ln(202x)=y\ln(2x).$ Este $x$ positivo no es ninguno de los valores excluidos (ninguno satisface la ecuación lineal mostrada), por lo que ambas bases logarítmicas son válidas. Como $\gcd(11,101)=1,$ obtenemos $m+n=11+101=112.$

Let $y$ be the common value. In natural logarithms, $y = \frac{\ln 22x}{\ln 20x} = \frac{\ln 202x}{\ln 2x}.$ When two fractions are equal, each also equals the quotient of the differences of numerators and denominators: $\begin{aligned} y &= \frac{\ln 202x - \ln 22x}{\ln 2x - \ln 20x} \\ &= \frac{\ln \frac{101}{11}}{\ln \frac{1}{10}} \\ &= -\log_{10}\frac{101}{11} \\ &= \log_{10}\frac{11}{101}. \end{aligned}$

To check existence rather than merely use the promised $x,$ note that $y \ne 1.$ Setting $\ln x=\frac{y\ln 20-\ln 22}{1-y}$ makes $\ln(22x)=y\ln(20x).$ Also $\begin{aligned} \ln(202x)-\ln(22x) &= \ln\frac{101}{11} \\ &= y\ln\frac{1}{10}, \end{aligned}$ so $\ln(202x)=y\ln(2x)$ as well. This positive $x$ is neither excluded value (neither one satisfies the displayed linear equation), so both logarithm bases are valid. Since $\gcd(11,101)=1,$ we get $m+n=11+101=112.$

2022 AIME II Problema 4

Respuesta: 112

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años