Question

Existe un número real positivo $x$ que no es igual a $\frac{1}{20}$ ni a $\frac{1}{2}$ tal que $\log_{20x}(22x) = \log_{2x}(202x).$ El valor $\log_{20x}(22x)$ se puede escribir como $\log_{10}\left(\frac{m}{n}\right),$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

There is a positive real number $x$ not equal to either $\frac{1}{20}$ or $\frac{1}{2}$ such that $\log_{20x}(22x) = \log_{2x}(202x).$ The value $\log_{20x}(22x)$ can be written as $\log_{10}\left(\frac{m}{n}\right),$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Sea $y$ el valor común. En logaritmos naturales, $y = \frac{\ln 22x}{\ln 20x} = \frac{\ln 202x}{\ln 2x}.$ Cuando dos fracciones son iguales, cada una también es igual al cociente de las diferencias de numeradores y denominadores: $\begin{aligned} y &= \frac{\ln 202x - \ln 22x}{\ln 2x - \ln 20x} \\ &= \frac{\ln \frac{101}{11}}{\ln \frac{1}{10}} \\ &= -\log_{10}\frac{101}{11} \\ &= \log_{10}\frac{11}{101}. \end{aligned}$

(Tal $x$ existe: la ecuación se reordena en una condición resoluble, y los valores excluidos $\frac{1}{20}, \frac{1}{2}$ solo descartan bases degeneradas.) Como $\gcd(11, 101) = 1,$ obtenemos $m + n = 11 + 101 = 112.$

Let $y$ be the common value. In natural logarithms, $y = \frac{\ln 22x}{\ln 20x} = \frac{\ln 202x}{\ln 2x}.$ When two fractions are equal, each also equals the quotient of the differences of numerators and denominators: $\begin{aligned} y &= \frac{\ln 202x - \ln 22x}{\ln 2x - \ln 20x} \\ &= \frac{\ln \frac{101}{11}}{\ln \frac{1}{10}} \\ &= -\log_{10}\frac{101}{11} \\ &= \log_{10}\frac{11}{101}. \end{aligned}$

(Such an $x$ exists: the equation rearranges to a solvable condition, and the excluded values $\frac{1}{20}, \frac{1}{2}$ only rule out degenerate bases.) Since $\gcd(11, 101) = 1,$ we get $m + n = 11 + 101 = 112.$

2022 AIME II Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años