Question

Halle el número de enteros menores o iguales que $100$ que son iguales a $a + b + ab$ para alguna elección de enteros positivos distintos $a$ y $b.$

Find the number of integers less than or equal to $100$ that are equal to $a + b + ab$ for some choice of distinct positive integers $a$ and $b.$

Respuesta

Solución:

Como $a + b + ab = (a+1)(b+1) - 1,$ un entero $n$ es representable exactamente cuando $n + 1 = xy$ para enteros distintos $x = a + 1$ y $y = b + 1$ que son cada uno al menos $2.$ Así contamos los enteros $n + 1$ en $\{2, 3, \ldots, 101\}$ que admiten tal factorización.

Un primo no tiene factorización en dos factores que sean ambos al menos $2,$ y el cuadrado de un primo $p^2$ se factoriza así solo como $p \cdot p,$ lo cual no está permitido. Todo otro compuesto $M$ funciona: si $p$ es su menor factor primo, entonces $M = p \cdot \frac{M}{p}$ con $\frac{M}{p} \gt p$ ya que $M \gt p^2.$ En $\{2, \ldots, 101\}$ hay $26$ primos (los $25$ primos menores que $100,$ junto con $101$ ) y $4$ cuadrados de primos ( $4,$ $9,$ $25,$ $49$ ).

El total es $100 - 26 - 4 = 70.$

Since $a + b + ab = (a+1)(b+1) - 1,$ an integer $n$ is representable exactly when $n + 1 = xy$ for distinct integers $x = a + 1$ and $y = b + 1$ that are each at least $2.$ So we count integers $n + 1$ in $\{2, 3, \ldots, 101\}$ that admit such a factorization.

A prime has no factorization into two factors that are both at least $2,$ and the square of a prime $p^2$ factors that way only as $p \cdot p,$ which is not allowed. Every other composite $M$ works: if $p$ is its smallest prime factor, then $M = p \cdot \frac{M}{p}$ with $\frac{M}{p} \gt p$ since $M \gt p^2.$ In $\{2, \ldots, 101\}$ there are $26$ primes (the $25$ primes below $100,$ together with $101$ ) and $4$ prime squares ( $4,$ $9,$ $25,$ $49$ ).

The count is $100 - 26 - 4 = 70.$

2026 AIME I Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años