Question

Una caja rectangular de $a \times b \times c$ se construye con $a \cdot b \cdot c$ cubos unitarios. Cada cubo unitario se colorea de rojo, verde o amarillo. Cada una de las $a$ capas de tamaño $1 \times b \times c$ paralelas a las caras $(b \times c)$ de la caja contiene exactamente $9$ cubos rojos, exactamente $12$ cubos verdes y algunos cubos amarillos. Cada una de las $b$ capas de tamaño $a \times 1 \times c$ paralelas a las caras $(a \times c)$ de la caja contiene exactamente $20$ cubos verdes, exactamente $25$ cubos amarillos y algunos cubos rojos. Halla el menor volumen posible de la caja.

An $a \times b \times c$ rectangular box is built from $a \cdot b \cdot c$ unit cubes. Each unit cube is colored red, green, or yellow. Each of the $a$ layers of size $1 \times b \times c$ parallel to the $(b \times c)$ -faces of the box contains exactly $9$ red cubes, exactly $12$ green cubes, and some yellow cubes. Each of the $b$ layers of size $a \times 1 \times c$ parallel to the $(a \times c)$ -faces of the box contains exactly $20$ green cubes, exactly $25$ yellow cubes, and some red cubes. Find the smallest possible volume of the box.

Respuesta

Solución:

Cada capa $1 \times b \times c$ tiene exactamente $9$ cubos rojos y $12$ verdes, por lo que tiene exactamente $bc - 21$ amarillos; cada capa $a \times 1 \times c$ tiene exactamente $20$ verdes y $25$ amarillos, por lo que tiene exactamente $ac - 45$ rojos. Contar los cubos verdes de toda la caja de ambas maneras da $12a = 20b,$ así que $3a = 5b.$ Contar los amarillos de ambas maneras da $a(bc - 21) = 25b = 15a,$ así que $bc = 36.$ Contar los rojos de ambas maneras da $b(ac - 45) = 9a,$ y $\frac{9a}{b} = 15,$ así que $ac = 60.$

Así $a = \frac{60}{c}$ y $b = \frac{36}{c}$ son enteros positivos, así que $c$ divide a $\gcd(60, 36) = 12,$ y el volumen es $abc = \frac{60 \cdot 36}{c} = \frac{2160}{c},$ mínimo cuando $c = 12:$ volumen $180$ con $(a, b, c) = (5, 3, 12).$

Esto es alcanzable: colorea cada capa $1 \times 3 \times 12$ con tres filas idénticas RRRGGGGYYYYY. Entonces cada capa $1 \times 3 \times 12$ tiene $9$ cubos rojos, $12$ verdes y $15$ amarillos, y cada capa $5 \times 1 \times 12$ tiene $15$ rojos, $20$ verdes y $25$ amarillos. Así que el menor volumen posible es $180.$

Each $1 \times b \times c$ layer has exactly $9$ red and $12$ green cubes, hence exactly $bc - 21$ yellow; each $a \times 1 \times c$ layer has exactly $20$ green and $25$ yellow, hence exactly $ac - 45$ red. Counting green cubes in the whole box both ways gives $12a = 20b,$ so $3a = 5b.$ Counting yellow both ways gives $a(bc - 21) = 25b = 15a,$ so $bc = 36.$ Counting red both ways gives $b(ac - 45) = 9a,$ and $\frac{9a}{b} = 15,$ so $ac = 60.$

Thus $a = \frac{60}{c}$ and $b = \frac{36}{c}$ are positive integers, so $c$ divides $\gcd(60, 36) = 12,$ and the volume is $abc = \frac{60 \cdot 36}{c} = \frac{2160}{c},$ smallest when $c = 12:$ volume $180$ with $(a, b, c) = (5, 3, 12).$

This is achievable: color every $1 \times 3 \times 12$ layer with three identical rows RRRGGGGYYYYY. Then each $1 \times 3 \times 12$ layer has $9$ red, $12$ green, and $15$ yellow cubes, and each $5 \times 1 \times 12$ layer has $15$ red, $20$ green, and $25$ yellow cubes. So the smallest possible volume is $180.$

2016 AIME II Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años