Question

En el arreglo de $13$ cuadrados que se muestra abajo, $8$ cuadrados se colorean de rojo, y los $5$ cuadrados restantes se colorean de azul. Si se elige al azar uno de todos los coloreados posibles, la probabilidad de que el arreglo coloreado elegido se vea igual al rotarlo $90^\circ$ alrededor del cuadrado central es $\frac{1}{n},$ donde $n$ es un entero positivo. Halla $n.$

In the array of $13$ squares shown below, $8$ squares are colored red, and the remaining $5$ squares are colored blue. If one of all possible such colorings is chosen at random, the probability that the chosen colored array appears the same when rotated $90^\circ$ around the central square is $\frac{1}{n},$ where $n$ is a positive integer. Find $n.$

Respuesta

Solución:

La rotación permuta cíclicamente los cuatro brazos en forma de L, así que un coloreado simétrico colorea los cuatro brazos de manera idéntica, y los $12$ cuadrados exteriores contienen $4$ copias de lo que muestre el brazo. Por lo tanto, la cantidad de cuadrados rojos entre los doce exteriores es múltiplo de $4.$ Como en total hay $8$ cuadrados rojos, el centro debe ser azul y cada brazo debe contener exactamente $2$ cuadrados rojos y $1$ cuadrado azul.

El cuadrado azul dentro del brazo puede elegirse de $3$ maneras, así que exactamente $3$ de los $\binom{13}{5} = 1287$ coloreados equiprobables son simétricos. La probabilidad es $\frac{3}{1287} = \frac{1}{429},$ por lo que $n = 429.$

The rotation cycles the four L-shaped arms, so a symmetric coloring colors all four arms identically, and the $12$ outer squares contain $4$ copies of whatever the arm shows. The number of red squares among the outer twelve is therefore a multiple of $4.$ Since there are $8$ red squares in all, the center must be blue and each arm must contain exactly $2$ red squares and $1$ blue square.

The blue square within the arm can be chosen in $3$ ways, so exactly $3$ of the $\binom{13}{5} = 1287$ equally likely colorings are symmetric. The probability is $\frac{3}{1287} = \frac{1}{429},$ so $n = 429.$

2013 AIME I Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años