Question

En el paralelogramo $ABCD,$ el punto $M$ está sobre $\overline{AB}$ de modo que $\frac{AM}{AB} = \frac{17}{1000},$ y el punto $N$ está sobre $\overline{AD}$ de modo que $\frac{AN}{AD} = \frac{17}{2009}.$ Sea $P$ el punto de intersección de $\overline{AC}$ y $\overline{MN}.$ Halla $\frac{AC}{AP}.$

In parallelogram $ABCD,$ point $M$ is on $\overline{AB}$ so that $\frac{AM}{AB} = \frac{17}{1000},$ and point $N$ is on $\overline{AD}$ so that $\frac{AN}{AD} = \frac{17}{2009}.$ Let $P$ be the point of intersection of $\overline{AC}$ and $\overline{MN}.$ Find $\frac{AC}{AP}.$

Respuesta

Solución:

Coloca $A$ en el origen y sean $\mathbf{b} = \overrightarrow{AB}$ y $\mathbf{d} = \overrightarrow{AD},$ de modo que $C = \mathbf{b} + \mathbf{d},$ $M = \frac{17}{1000}\mathbf{b},$ y $N = \frac{17}{2009}\mathbf{d}.$ Como $P$ está sobre $\overline{AC},$ escribe $P = s\,(\mathbf{b} + \mathbf{d})$ donde $s = \frac{AP}{AC};$ como $P$ también está sobre la recta $MN,$ escribe $P = tM + (1 - t)N$ para algún $t.$

Como $\mathbf{b}$ y $\mathbf{d}$ son independientes, los coeficientes deben coincidir: $s = \frac{17t}{1000}$ y $s = \frac{17(1-t)}{2009}.$ Así $t = \frac{1000s}{17}$ y $1 - t = \frac{2009s}{17};$ al sumar se obtiene $1 = \frac{3009s}{17}.$

Por tanto $\frac{AC}{AP} = \frac{1}{s} = \frac{3009}{17} = 177.$

Place $A$ at the origin and let $\mathbf{b} = \overrightarrow{AB}$ and $\mathbf{d} = \overrightarrow{AD},$ so that $C = \mathbf{b} + \mathbf{d},$ $M = \frac{17}{1000}\mathbf{b},$ and $N = \frac{17}{2009}\mathbf{d}.$ Since $P$ lies on $\overline{AC},$ write $P = s\,(\mathbf{b} + \mathbf{d})$ where $s = \frac{AP}{AC};$ since $P$ also lies on line $MN,$ write $P = tM + (1 - t)N$ for some $t.$

Because $\mathbf{b}$ and $\mathbf{d}$ are independent, the coefficients must agree: $s = \frac{17t}{1000}$ and $s = \frac{17(1-t)}{2009}.$ Thus $t = \frac{1000s}{17}$ and $1 - t = \frac{2009s}{17};$ adding gives $1 = \frac{3009s}{17}.$

Therefore $\frac{AC}{AP} = \frac{1}{s} = \frac{3009}{17} = 177.$

2009 AIME I Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años