Question

Bloques de patio que son hexágonos regulares de $1$ unidad de lado se usan para delinear un jardín colocando los bloques lado con lado con $n$ en cada lado. El diagrama indica el camino de bloques alrededor del jardín cuando $n = 5.$

Si $n = 202,$ entonces el área del jardín encerrado por el camino, sin incluir el propio camino, es $m\left(\sqrt{3}/2\right)$ unidades cuadradas, donde $m$ es un entero positivo. Halla el residuo cuando $m$ se divide entre $1000.$

Patio blocks that are regular hexagons $1$ unit on a side are used to outline a garden by placing the blocks edge to edge with $n$ on each side. The diagram indicates the path of blocks around the garden when $n = 5.$

If $n = 202,$ then the area of the garden enclosed by the path, not including the path itself, is $m\left(\sqrt{3}/2\right)$ square units, where $m$ is a positive integer. Find the remainder when $m$ is divided by $1000.$

Respuesta

Solución:

El jardín encerrado por el camino es en sí mismo una disposición hexagonal de hexágonos unitarios con $n - 1$ en cada lado. Contando desde el centro hacia afuera en anillos de $6, 12, \ldots$ hexágonos, contiene $\begin{aligned} &1 + 6 + 12 + \cdots + 6(n-2) \\ &= 1 + 3(n-2)(n-1) \end{aligned}$ bloques, lo que para $n = 202$ es $1 + 3 \cdot 200 \cdot 201 = 120601.$

Cada hexágono unitario consta de $6$ triángulos equiláteros de lado $1,$ así que su área es $6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.$ El área del jardín es por tanto $3 \cdot 120601 = 361803$ veces $\frac{\sqrt{3}}{2},$ de modo que $m = 361803,$ y el residuo al dividir entre $1000$ es $803.$

The garden enclosed by the path is itself a hexagonal arrangement of unit hexagons with $n - 1$ on each side. Counting from the center outward in rings of $6, 12, \ldots$ hexagons, it contains $\begin{aligned} &1 + 6 + 12 + \cdots + 6(n-2) \\ &= 1 + 3(n-2)(n-1) \end{aligned}$ blocks, which for $n = 202$ is $1 + 3 \cdot 200 \cdot 201 = 120601.$

Each unit hexagon consists of $6$ equilateral triangles of side $1,$ so its area is $6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.$ The garden's area is therefore $3 \cdot 120601 = 361803$ times $\frac{\sqrt{3}}{2},$ so $m = 361803,$ and the remainder upon division by $1000$ is $803.$

2002 AIME II Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años