Question

Un dado justo estándar de seis caras se lanza cuatro veces. La probabilidad de que el producto de los cuatro números obtenidos sea un cuadrado perfecto es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

A standard six-sided fair die is rolled four times. The probability that the product of all four numbers rolled is a perfect square is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

El producto es un cuadrado perfecto exactamente cuando cada uno de los primos $2,$ $3,$ y $5$ aparece con exponente par. Solo un lanzamiento de $5$ aporta el primo $5,$ así que la cantidad de $5$ es par: $0,$ $2,$ o $4.$ Clasifique los demás valores según las paridades de sus exponentes de $2$ y $3:$ los lanzamientos de $1$ y $4$ aportan $(0, 0),$ un $2$ aporta $(1, 0),$ un $3$ aporta $(0, 1),$ y un $6$ aporta $(1, 1).$ El exponente de $2$ es par si y solo si la cantidad de $2$ más la cantidad de $6$ es par, y de manera análoga para los $3$ y los $6$ , así que una colección de lanzamientos que no son $5$ funciona exactamente cuando las cantidades de $2$ , $3$ y $6$ son todas pares o todas impares.

Sin ningún $5$ , los cuatro lanzamientos provienen de $\{1, 2, 3, 4, 6\}.$ Casos todos pares: sin $2$ , $3$ ni $6$ da $2^4 = 16$ secuencias (cada lanzamiento es $1$ o $4$ ); exactamente dos de un mismo tipo da $3 \cdot \frac{4!}{2!\,2!} \cdot 2^2 = 72;$ dos de cada uno de dos tipos da $3 \cdot \frac{4!}{2!\,2!} = 18;$ cuatro de un tipo da $3.$ Caso todos impares: un $2,$ un $3,$ un $6,$ y un lanzamiento de $\{1, 4\}$ da $4! \cdot 2 = 48.$ Subtotal $16 + 72 + 18 + 3 + 48 = 157.$ Con dos $5$ , elija sus posiciones de $\binom{4}{2} = 6$ maneras; los otros dos lanzamientos deben estar en la misma clase de paridad, dando $2^2 + 1 + 1 + 1 = 7$ pares ordenados, para $42$ secuencias. Con cuatro $5$ hay $1$ secuencia.

En total $157 + 42 + 1 = 200$ de las $6^4 = 1296$ secuencias funcionan, así que la probabilidad es $\frac{200}{1296} = \frac{25}{162},$ y $m + n = 25 + 162 = 187.$

The product is a perfect square exactly when each of the primes $2,$ $3,$ and $5$ appears with even exponent. Only a roll of $5$ contributes the prime $5,$ so the number of $5$ s is even: $0,$ $2,$ or $4.$ Classify the other values by the parities of their exponents of $2$ and $3:$ rolls of $1$ and $4$ contribute $(0, 0),$ a $2$ contributes $(1, 0),$ a $3$ contributes $(0, 1),$ and a $6$ contributes $(1, 1).$ The exponent of $2$ is even iff the count of $2$ s plus the count of $6$ s is even, and similarly for $3$ s and $6$ s, so a collection of non- $5$ rolls works exactly when the counts of $2$ s, $3$ s, and $6$ s are all even or all odd.

With no $5$ s, all four rolls come from $\{1, 2, 3, 4, 6\}.$ All-even cases: no $2$ s, $3$ s, or $6$ s gives $2^4 = 16$ sequences (each roll is $1$ or $4$ ); exactly two of a single kind gives $3 \cdot \frac{4!}{2!\,2!} \cdot 2^2 = 72;$ two of each of two kinds gives $3 \cdot \frac{4!}{2!\,2!} = 18;$ four of one kind gives $3.$ All-odd case: one $2,$ one $3,$ one $6,$ and one roll from $\{1, 4\}$ gives $4! \cdot 2 = 48.$ Subtotal $16 + 72 + 18 + 3 + 48 = 157.$ With two $5$ s, choose their positions in $\binom{4}{2} = 6$ ways; the other two rolls must lie in the same parity class, giving $2^2 + 1 + 1 + 1 = 7$ ordered pairs, for $42$ sequences. With four $5$ s there is $1$ sequence.

In total $157 + 42 + 1 = 200$ of the $6^4 = 1296$ sequences work, so the probability is $\frac{200}{1296} = \frac{25}{162},$ and $m + n = 25 + 162 = 187.$

2019 AIME II Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años