Question

Sea $R = (8, 6).$ Las rectas cuyas ecuaciones son $8y = 15x$ y $10y = 3x$ contienen los puntos $P$ y $Q,$ respectivamente, de modo que $R$ es el punto medio de $\overline{PQ}.$ La longitud $PQ$ es igual a $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Let $R = (8, 6).$ The lines whose equations are $8y = 15x$ and $10y = 3x$ contain points $P$ and $Q,$ respectively, such that $R$ is the midpoint of $\overline{PQ}.$ The length $PQ$ equals $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Los puntos de las dos rectas se pueden escribir $P = (8t, 15t)$ y $Q = (10u, 3u).$ Como $R = (8, 6)$ es el punto medio de $\overline{PQ},$ $8t + 10u = 16$ y $15t + 3u = 12.$

La segunda ecuación da $u = 4 - 5t;$ sustituyendo en la primera, $8t + 40 - 50t = 16,$ así que $t = \frac{4}{7}$ y $u = \frac{8}{7}.$ Por tanto $P = \left(\frac{32}{7}, \frac{60}{7}\right)$ y $Q = \left(\frac{80}{7}, \frac{24}{7}\right).$

Entonces $PQ = \sqrt{\left(\frac{48}{7}\right)^2 + \left(\frac{36}{7}\right)^2}$ $= \frac{12}{7}\sqrt{4^2 + 3^2}$ $= \frac{60}{7},$ así que $m + n = 60 + 7 = 67.$

Points on the two lines can be written $P = (8t, 15t)$ and $Q = (10u, 3u).$ Since $R = (8, 6)$ is the midpoint of $\overline{PQ},$ $8t + 10u = 16$ and $15t + 3u = 12.$

The second equation gives $u = 4 - 5t;$ substituting into the first, $8t + 40 - 50t = 16,$ so $t = \frac{4}{7}$ and $u = \frac{8}{7}.$ Thus $P = \left(\frac{32}{7}, \frac{60}{7}\right)$ and $Q = \left(\frac{80}{7}, \frac{24}{7}\right).$

Then $PQ = \sqrt{\left(\frac{48}{7}\right)^2 + \left(\frac{36}{7}\right)^2}$ $= \frac{12}{7}\sqrt{4^2 + 3^2}$ $= \frac{60}{7},$ so $m + n = 60 + 7 = 67.$

2001 AIME II Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años