Question

Jen entra en una lotería seleccionando $4$ elementos distintos de $S = \{1, 2, 3, \ldots, 9, 10\}.$ Luego se extraen al azar cuatro elementos de $S.$ Jen gana un premio si al menos dos de sus números fueron extraídos, y gana el gran premio si sus cuatro números fueron extraídos. La probabilidad de que Jen gane el gran premio dado que Jen gana un premio es $\frac{m}{n}$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Jen enters a lottery by selecting $4$ distinct elements of $S = \{1, 2, 3, \ldots, 9, 10\}.$ Then four elements of $S$ are drawn at random. Jen wins a prize if at least two of her numbers were drawn, and wins the grand prize if all four of her numbers were drawn. The probability that Jen wins the grand prize given that Jen wins a prize is $\frac{m}{n}$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 116

Conceptos:probabilidad condicional combinaciones

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Ganar el gran premio obliga a ganar un premio, así que la probabilidad condicional es $\frac{P(\text{gran premio})}{P(\text{premio})}$

Winning the grand prize forces winning a prize, so the conditional probability is $\frac{P(\text{grand})}{P(\text{prize})}$

Pista grande:

Cuenta las extracciones que comparten exactamente $2,$ $3,$ o $4$ números con el boleto de Jen; cada extracción de $4$ números es igualmente probable

Count draws that share exactly $2,$ $3,$ or $4$ numbers with Jen’s ticket — every draw of $4$ numbers is equally likely

Solución:

Las $\binom{10}{4} = 210$ extracciones son igualmente probables. La cantidad de extracciones que comparten exactamente $k$ números con el boleto de Jen es $\binom{4}{k}\binom{6}{4-k},$ así que la cantidad que gana un premio es $\begin{aligned} &\binom{4}{2}\binom{6}{2} + \binom{4}{3}\binom{6}{1} \\ &\quad {}+ \binom{4}{4}\binom{6}{0} \\ &= 90 + 24 + 1 = 115, \end{aligned}$ y exactamente $1$ de estas gana el gran premio.

Como el gran premio implica un premio, la probabilidad condicional es $\frac{\frac{1}{210}}{\frac{115}{210}} = \frac{1}{115},$ así que $m + n = 1 + 115 = 116.$

All $\binom{10}{4} = 210$ draws are equally likely. The number of draws sharing exactly $k$ numbers with Jen’s ticket is $\binom{4}{k}\binom{6}{4-k},$ so the number winning a prize is $\begin{aligned} &\binom{4}{2}\binom{6}{2} + \binom{4}{3}\binom{6}{1} \\ &\quad {}+ \binom{4}{4}\binom{6}{0} \\ &= 90 + 24 + 1 = 115, \end{aligned}$ and exactly $1$ of these wins the grand prize.

Since the grand prize implies a prize, the conditional probability is $\frac{\frac{1}{210}}{\frac{115}{210}} = \frac{1}{115},$ so $m + n = 1 + 115 = 116.$

2024 AIME I Problema 4

Respuesta: 116

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años