Question

El director de una banda de marcha desea colocar a los integrantes en una formación que los incluya a todos y no tenga posiciones vacías. Si se ordenan en una formación cuadrada, sobran $5$ integrantes. El director descubre que si se ordenan en una formación rectangular con $7$ filas más que columnas, se obtiene el resultado deseado. Halle el número máximo de integrantes que puede tener esta banda.

The director of a marching band wishes to place the members into a formation that includes all of them and has no unfilled positions. If they are arranged in a square formation, there are $5$ members left over. The director finds that if they are arranged in a rectangular formation with $7$ more rows than columns, the desired result can be obtained. Find the maximum number of members this band can have.

Respuesta

Solución:

Supongamos que la banda tiene $n$ integrantes, con $n = s^2 + 5$ para la formación cuadrada y $n = x(x + 7)$ para la formación rectangular con $x$ columnas. Multiplicar $x^2 + 7x = s^2 + 5$ por $4$ y completar el cuadrado da $(2x + 7)^2 - (2s)^2 = 69,$ así que $(2x + 7 - 2s)$ $\cdot (2x + 7 + 2s) = 69.$

Escribiendo $69 = 1 \cdot 69 = 3 \cdot 23$ con el factor mayor en segundo lugar: de $1 \cdot 69$ obtenemos $2x + 7 = 35$ y $2s = 34,$ así que $x = 14,$ $s = 17,$ y $n = 17^2 + 5 = 294.$ De $3 \cdot 23$ obtenemos $2x + 7 = 13$ y $2s = 10,$ así que $x = 3,$ $s = 5,$ y $n = 30.$

El máximo es $294,$ alcanzado por un rectángulo de $21 \times 14.$

Let the band have $n$ members, with $n = s^2 + 5$ for the square formation and $n = x(x + 7)$ for the rectangular formation with $x$ columns. Multiplying $x^2 + 7x = s^2 + 5$ by $4$ and completing the square gives $(2x + 7)^2 - (2s)^2 = 69,$ so $(2x + 7 - 2s)$ $\cdot (2x + 7 + 2s) = 69.$

Writing $69 = 1 \cdot 69 = 3 \cdot 23$ with the larger factor second: from $1 \cdot 69$ we get $2x + 7 = 35$ and $2s = 34,$ so $x = 14,$ $s = 17,$ and $n = 17^2 + 5 = 294.$ From $3 \cdot 23$ we get $2x + 7 = 13$ and $2s = 10,$ so $x = 3,$ $s = 5,$ and $n = 30.$

The maximum is $294,$ achieved by a $21 \times 14$ rectangle.

2005 AIME I Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años