Solución:

Como los ángulos interiores son todos de $135^\circ$ y los lados de $\sqrt{2}$ son diagonales de cuadrados unitarios, el octágono encaja en una red: $C = (0, 0),$ $A = (1, 1),$ $R = (2, 1),$ $O = (3, 0),$ $L = (3, -1),$ $I = (2, -2),$ $N = (1, -2),$ $E = (0, -1).$ El camino $CORNELIA$ queda invariante bajo la rotación de $180^\circ$ alrededor de $(\tfrac{3}{2}, -\tfrac{1}{2}).$ Sean $Y$ y $Z$ los puntos donde $AI$ y $RN$ cortan a $CO,$ y sea $W = AI \cap RN.$ El segmento $AI$ tiene pendiente $-3,$ así que $Y = (\tfrac{4}{3}, 0),$ y por simetría $Z = (\tfrac{5}{3}, 0)$ y $W = (\tfrac{3}{2}, -\tfrac{1}{2}).$

Las seis regiones encerradas son los cuatro triángulos congruentes de las esquinas, como $CAY$, y los dos pequeños triángulos congruentes, como $YZW.$ El triángulo $CAY$ tiene base $CY = \tfrac{4}{3}$ y altura $1,$ así que su área es $\tfrac{2}{3}.$ El triángulo $YZW$ tiene base $YZ = \tfrac{1}{3}$ y altura $\tfrac{1}{2},$ así que su área es $\tfrac{1}{12}.$ Por lo tanto $$\begin{aligned} K &= 4 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{1}{12} \\ &= \frac{8}{3} + \frac{1}{6} = \frac{17}{6}, \end{aligned}$$ y $a + b = 17 + 6 = 23.$